19.3.2矩形的判定提优训练 （含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
19.3.2矩形的判定
1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列条件中，不能判定□ABCD 为矩形的是( ).
A. ∠A=90° B. ∠B=∠C
C. AC=BD D. AC⊥BD
2.如图，依据所标数据，能判定为矩形的四边形的个数为( ).
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3. 如图,点 M在 ABCD 的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项中:①∠1=∠2;②AM = DM;③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件,使 ABCD 为矩形.
(1)你添加的条件是 ；(填序号)
(2)添加条件后，请证明□ABCD 为矩形.
4.如图,A,B 为5×5 的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形 BCDE,连接AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD 的面积分别为S,S ,S ,若要求出 的值，只需知道( ).
A. △ABE 的面积
B. △ACD的面积
C. △ABC的面积
D. 矩形 BCDE 的面积
6.如图，在等边三角形ABC中，D 是边BC的中点，以AD 为边作等边三角形ADE.
(1)求∠CAE 的度数;
(2)取边AB 的中点F,连接CF，CE，试证明四边形AFCE 是矩形.
7.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E是AD 的中点,过点 A 作AF∥BC 交CE 的延长线于点F.
(1)求证:FA=BD;
(2)连接BF,若AB=AC,求证:四边形 ADBF 是矩形.
8.如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 BD=10cm,AC=16cm,AC,BD 相交于点O,若E，F是AC上两动点，分别从A，C 两点以相同的速度向C,A 运动,其速度为0.5cm/s.
(1)证明:当 E 在AO 上运动,F 在CO 上运动,且 E 与 F 不重合时,四边形 DEBF 是平行四边形.
(2)点E,F在AC 上运动过程中,以D,E,B,F 为顶点的四边形是否可能为矩形 若能，求出此时的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由.
9.如图,在□ABCD 中,O 是AD 的中点,连接BO,BO,CD 的延长线相交于点 E,连接 AE,BD.
(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；
(2)若∠BOD=2∠C,求证:四边形ABDE 是矩形.
10.如图,在△ABC 中,O 是AC 边的中点,过点O作BC 的平行线交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点 F.
(1)求证:四边形CEAF 是矩形;
(2)若AE=3,EC=4,AB=12,BC=13,求四边形 ABCF 的面积.
11.如图(1),四边形ABCD 是平行四边形,BD是它的一条对角线，过顶点 A，C分别作AM⊥BD,CN⊥BD,垂足为M,N.
(1)求证:AM=CN.
(2)如图(2)，在对角线 DB 的延长线及反向延长线上分别取点E,F,使BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,试探究:当 EF 满足什么条件时,四边形 AECF 是矩形 并加以证明.
12.如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：
(1)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF是矩形
(2)当△ABC 满足什么条件时,以A,D,E,F 为顶点的四边形不存在
13.如图,四边形 ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条件:①AB∥CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD 是矩形；
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD 的面积.
第2课时 矩形的判定
1. D [解析]根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可知选项 A 正确；根据平行四边形性质得 AB∥CD,则∠B+∠C=180°,再根据∠B=∠C得∠B=∠C=90°，然后根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可知选项 B正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可知选项C正确；选项D不能判断平行四边形是矩形.故选 D.
2. C
3.(1)①(或②)
(2)选择①∠1=∠2.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC,AB=DC,∴∠A+∠D=180°,
在△ABM 和△DCM中,
∴△ABM≌△DCM(SAS),∴∠A=∠D,
∴∠A=∠D=90°,∴□ABCD 为矩形.
4. D [解析]如图所示,
以AB 为对角线的格点矩形有3个，
以AB 为边的格点矩形有1个，
∴以A，B为顶点的格点矩形共可以画出4个.
故选 D.
易错警示 本题考查了矩形的判定，分类画出以A，B为顶点的格点矩形是解题的关键.值得注意的是考虑问题要全面，避免漏解.
5. C [解析]如图,过点A 作AG⊥ED 于点G,交 BC于点F.
∵四边形 BCDE 是矩形,∴∠FBE=∠BEG=∠FGE=90°,BC∥ED,BC=ED,BE=CD,
∴四边形 BFGE 是矩形,∠AFB=∠FGE=90°,
∴FG=BE=CD,AF⊥BC,
S△ABC,∴只需知道 S△ABC,就可求出 的值.
故选 C.
6.(1)在等边三角形ABC 中,
∵D 是边BC的中点,
∴∠DAC=30°.
又△ADE 是等边三角形,∴∠DAE=60°.
∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=30°.
(2)在等边三角形ABC中，
∵F是边AB 的中点,D 是边BC 的中点,
∴CF=AD,∠CFA=90°.
又AD=AE,∴AE=CF.
由(1)知
∵AE=CF,∴四边形AFCE 是平行四边形.又∠CFA=90°,∴平行四边形AFCE 是矩形.
7.(1)∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.
∵E为AD的中点,∴AE=DE,
∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC.
∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴AF=BD.
(2)∵AF=BD,AF∥BD,
∴四边形 ADBF 是平行四边形.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴四边形 ADBF 是矩形.
8.(1)∵E,F是AC上两动点,分别从 A,C 两点以相同的速度向C,A 运动,∴AE=CF.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD=OB,OA=OC,
∴OA-AE=OC--CF,∴OE=OF,
∴四边形 DEBF 是平行四边形.
(2)点E,F在AC上运动过程中,以D,E,B,F为顶点的四边形能为矩形.理由如下：
分为两种情况：
①当四边形DEBF 是矩形时,BD=EF=10cm,
AE=CF=0.5tcm,∴EF=AC--AE--CF=16-0.5t-0.5t=10,解得t=6;
②当四边形DFBE 是矩形时，
则0.5t+0.5t-16=10,解得t=26.
综上所述,当运动时间t=6s或26s时,以D,E,B,F为顶点的四边形是矩形.
归纳总结本题考查了矩形的性质和判定、平行四边形的性质和判定等知识点，综合运用以上知识和分类讨论、数形结合的方法进行推理和运算是解题的关键.
9.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠BAD=∠EDA.
∵O是AD的中点,∴AO=DO.
在△BOA 和△EOD 中,
∴△BOA≌△EOD(ASA),∴AB=DE.
∵AB∥DE,∴四边形ABDE 是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠OAB=∠C.
∵∠BOD=∠OAB+∠OBA,∠BOD=2∠C,
∴∠BOD=2∠OAB,
∴∠OAB=∠OBA,∴OA=OB.
∵四边形 ABDE 为平行四边形，
∴AD=2OA,BE=2OB,
∴BE=AD,∴平行四边形ABDE 是矩形.
10.(1)∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE.
∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠OCE.
∴∠OEC=∠OCE.∴EO=CO.
同理FO=CO.∴EO=FO.
又O是AC的中点,∴AO=CO.
∴四边形CEAF 是平行四边形.
∵EO=FO=CO,∴EO=FO=AO=CO.
∴EF=AC. ∴四边形CEAF 是矩形.
(2)∵四边形CEAF 是矩形,∴∠AEC=90°.
∵AE=3,EC=4,∴AC=5.
13 =BC .∴∠BAC=90°.
∴四边形ABCF 的面积
11.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADM=∠CBN.
∵AM⊥BD,CN⊥BD,∴∠AMD=∠CNB=90°.
在△AMD 和△CNB 中
∴△AMD≌△CNB(AAS),∴AM=CN.
(2)当EF=AC时,四边形AECF 是矩形.证明如下:由(1),得△AMD≌△CNB,∴DM=BN.
∵BE=DF,
∴DM+DF=BN+BE,即MF=NE.
在△AMF 和△CNE 中
∴△AMF≌△CNE(SAS).
∴AF=CE,∠AFE=∠CEF.
∴AF∥CE.∴四边形AECF 是平行四边形.
又EF=AC,∴四边形AECF 是矩形.
素向考向 本题运用平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，通过推理论证，使问题得以解决.主要考查了推理能力的核心素养.
12.(1)当△ABC 中,∠BAC=150°时,四边形 ADEF为矩形.理由如下：
∵△ABD,△EBC都是等边三角形,
∴AD=BD=AB,BC=BE = EC,∠DBA =∠EBC=60°.
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA.
∴∠DBE=∠ABC.
∴△DBE≌△ABC(SAS).∴DE=AC.
又△ACF是等边三角形,∴AC=AF.∴DE=AF.
同理AD=EF,∴四边形ADEF 是平行四边形.
当∠BAC=150°时, ∴平行四边形ADEF 为矩形.
故当∠BAC=150°时,四边形ADEF 是矩形.
(2)当∠BAC=60°时,以A,D,E,F 为顶点的四边形不存在.理由如下：
若∠BAC = 60°,则,
此时点A,D,E,F四点共线,
∴以A，D，E，F为顶点的四边形不存在.
13.(1)选择①, ∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴四边形ABCD 是矩形.
选择②,∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD 是矩形.
(2)∵∠ABC=90°,AB=3,AC=5,
又四边形ABCD 是矩形，
∴四边形ABCD的面积=AB·BC=3×4=12.