特殊四边形的性质与判定期末专题整合提优(三) 提优训练 （含答案）

特殊四边形的性质与判定期末专题整合提优(三)
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一、选择题
1.(2024·绥化中考)如图,四边形 ABCD 是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是( ).
A. B. 6 C. D. 12
2.平行四边形的周长为25 cm，两组对边的距离分别为2cm，3cm，则这个平行四边形的面积为( ).
3.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点 E,∠BCD 的平分线交 AD 于点 F,若AB=3,AD=4,则EF 的长是( ).
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
4.菱形OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 的坐标是(6，0)，点A 的纵坐标是1,则点 B 的坐标是( ).
A. (3,1) B. (1,3)
C. (3,-1) D. (1,-3)
5.(2023·常德中考)如图,在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且 EF∥AD,连接 AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED 的度数为( ).
A. 80° B. 90° C. 105° D. 115°
6.(2024·河北张家口桥西区期末)嘉嘉在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系.以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是( ).
A.有一个内角是90° B.有一组邻边相等
C.对角线互相平分D.对角线相等
7.(宁波宁海中学创新班自主招生)如图，四边形ABCD与BEFG是并列放在一起的两个正方形，O是BF 与 EG 的交点.如果正方形 ABCD 的面积是9,CG=2,则△DEO的面积为( ).
A. 1 B. C. 4 D.
8.(2024·吉林长春汽开区期末)如图,在矩形 ABCD中,AB=3,BC=5,∠ABC 的平分线 BE 交AD 于点E,点 M 在边BC 上,且BM=2,P,N 分别是线段BE,CD上的动点,连接 PM,PN.若PM+PN=5,则 BP 的长为( ).
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
9.(2024·成都锦江区模拟)如图所示,O 是矩形 ABCD的对角线AC的中点，E为AD 的中点.若AB=6,BC=8,则△BOE 的周长为( ).
A. 10
D. 14
10.如图,在正方形ABCD中,点 E 在边 CD 上,且CD=3DE,将△ADE 沿AE 对折至△AFE,延长EF 交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②∠GAE=45°;③BG=GC;④AG∥CF;⑤△GCF 是等边三角形.其中正确结论的个数为( ).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题
11.(2024·北京师大附属实验中学开学)如图,□ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,点 E 是AD的中点,连接OE,若 OE=3,则 CD 的长为 .
12.(2024·山东德州平原期末)如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形 ABCD 的面积为 .
13.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,点 E 是AD上的一点，有AE=4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F,交AB 于点H,连接EF交CD 于点G,若G是CD 的中点,则 BC 的长是 .
14.(2024·广东中考)如图,菱形 ABCD 的面积为24,点 E 是AB 的中点,点 F 是 BC 上的动点.若△BEF 的面积为4，则图中阴影部分的面积为 .
15.(2023·滨州中考)如图,矩形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点 E,F 分别是线段OB,OA上的点,若AE=BF,AB=5,AF=1,BE=3,则BF 的长为 .
16.如图,已知正方形ABCD 的边长为6cm,E为边AB 上一点,且 AE 长为1 cm,动点 P从点B 出发以每秒1 cm的速度沿射线 BC方向运动.把△EBP 沿EP 折叠,点 B 落在点B'处，设运动时间为t秒.
(1)当t= 时,∠B'PC为直角;
(2)若点 B'到直线AD 的距离为3cm,则BP长为 .
三、解答题
17.如图,在矩形 ABCD 中,将△ABE 沿着AE折叠至△AFE 的位置，点 F 在对角线AC上,若BE=3,EC=5,求线段CD的长.
18.(2024·江苏无锡梁溪区期中)如图,在△ABC 中,D,E,F分别是边AB,BC,AC 的中点.
(1)求证:AE 与DF 互相平分;
(2)当AB=AC=13,BC=10时,求四边形ADEF 的面积.
19.(2024·贵州遵义期末)如图,在△ABC 中,D 为BC 的中点,过点 D 分别作DE∥AB,DF∥AC,分别交AC,AB 于点E,F.
(1)求证:△BDF≌△DCE;
(2)下列是两位同学的对话：
小杰：若添加条件AB=AC,则四边形 AFDE是菱形.
小兰：若添 加 条 件∠BAC=90°,则四边形AFDE 是矩形.
请选择其中一位同学的说法加以证明.
20.(2024·上海普陀区三模)如图,四边形 ABCD 是菱形,过点 A 作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,AE,AF 分别交BD 于点G,H.
(1)求证:AG=AH;
(2)延长AF,BC 相交于点 P,当 BG=GH时，求证：
21.满足条件的结论开放(2024·哈尔滨中考)四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,AD∥BC,OA=OC,AB=BC.
(1)如图(1),求证:四边形ABCD 是菱形;
(2)如图(2),AB=AC,CH⊥AD于点H,交BD 于点E,连接AE,点 G 在 AB 上,连接EG 交AC 于点F,若∠FEC=75°,在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE 相等的线段(线段CE 除外).
22.如图,在正方形ABCD 中,AB=4,点 E 为边AD 上一动点，连接CE，以CE 为边，作正方形CEFG(点 D,F 在CE 所在直线的同侧),H为CD 中点,连接FH.
(1)如图(1),连接BE,BH,若四边形BEFH 为平行四边形，求四边形 BEFH 的周长；
(2)如图(2),连接EH,若AE=1,求△EHF的面积；
(3)直接写出点 E 在运动过程中，HF 的最小值.
23.在矩形 ABCD 中,AB=4 cm,BC=8cm,AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD,BC 于点E,F,垂足为O.
(1)如图(1),连接AF,CE,求证:四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长.
(2)如图(2),动点 P,Q 分别从A,C两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周,即点 P 自A→F→B→A 停止,点Q 自C→D→E→C 停止,在运动过程中,点 P 的速度为1 cm/s,设运动时间为 t s.
①在运动的过程中，以A，P，C，Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗 若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由.
②若点 Q 的速度为0.8cm/s,当以A,P,C,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值.
1. A [解析]∵四边形 ABCD 是菱形,CD=5,BD=8,∴BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,∴∠BOC=90°.在Rt△OBC中,由勾股定理,得 ∵菱形ABCD 的面积 OB·AC,∵ 故选 A.
2. A [解析]∵平行四边形的两组对边的距离分别是2cm，3cm，∴平行四边形的较短边与较长边的比是2：3.又平行四边形的周长是25 cm，∴平行四边形的较短边长是5cm，较长边长是7.5cm，则平行四边形的面积是5×3=15(cm ).故选 A.
3. B [解析]∵BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,∴∠ABE=∠CBE,∠BCF =∠DCF.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD,BC∥AD,∴∠CBE=∠AEB,∠BCF=∠CFD,∴∠ABE=∠AEB,∠DCF=∠CFD,∴AB=AE,DF=DC,∴AE=DF=AB.∵AE+DE=DF+AF=AD,∴EF=AE+DF-AD=3+3-4=2.故选B.
4. C [解析]由菱形的性质可得点A，B关于x轴对称，故点 B 纵坐标为-1.因为菱形的对角线相互垂直平分，所以点 B 的横坐标为3.故点 B 的坐标为(3,-1).故选C.
5. C [解析]∵四边形ABCD 为正方形,∴OA=OD,∠OAD=∠ODA=45°.
∵EF∥AD,
∴∠OEF=∠OAD=45°,∠OFE=∠ODA=45°,
∴∠OEF=∠OFE=45°,
∴∠AEF=∠DFE=135°,OE=OF.
∵OA=OD,∴AE=DF.
在△AEF 和△DFE 中,
∴△AEF≌△DFE(SAS),
∴∠CAF=∠FDE=15°,
∴∠ADE=∠ODA-∠FDE=45°-15°=30°,
∴∠AED=180°-∠OAD-∠ADE=180°-45°- 故选C.
题方法诠释本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，解答本题的关键是依据正方形的性质得出判定△AEF 和△DFE 全等的条件.先根据正方形的性质及 EF∥AD 得∠OEF=∠OAD=45°,∠OFE=∠ODA =45°,进而得∠AEF=∠DFE=135°,OE=OF,然后证△AEF 和△DFE 全等,得∠CAF=∠FDE=15°，从而得出∠ADE=30°，最后利用三角形的内角和定理可求出∠AED 的度数.
6. C [解析]根据平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定依次判断即可.矩形属于平行四边形，它的对角线相等且互相平分，因此不能说对角线互相平分的矩形是正方形，故选项C填写错误，符合题意.故选C.
7. D [解析]如图,连接BD.∵正方形ABCD 的面积是9,∴BC=3.
∵CG=2,∴BG=BC+CG=3+2=5,∴正方形BEFG 的面积=25.
∵四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，
∴∠ABD=∠BEG=45°,∴BD∥EG,
∴△DOE 的面积=△BOE 的面积 正方形BEFG 的面积 故选 D.
思路引导本题考查了正方形的性质、三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
8. C [解析]过点 P 分别作 PH⊥AB 于点 H,PG⊥BC 于点 G,延长 HP 交 CD 于点 F,∴四边形PHBG 是矩形.∵BE 平分∠ABC,∴PG=PH,
∴四边形PHBG 是正方形.
∵PM≥PG,PN≥PF,
∴PM+PN≥PG+PF,即PM+PN≥PH+PF.
∵PH⊥AB,∠ABC=∠C=90°,
∴四边形 HBCF 是矩形,
∴HF=BC=5,即PH+PF=5.
∵PM+PN=5,∴PM与PG重合,PN与PF重合.
∵四边形PHBG 为正方形,∴PH=PG=BM=2,
故选C.
融 思路引导 本题考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线性质，作出适当的辅助线是解题关键.
9. C [解析]∵四边形ABCD 是矩形,AB=6,BC=8,∴AB=CD=6,AD=BC=8.
∵点O是AC的中点，E为AD的中点，
在Rt△ABE中,AE=4,AB=6,
由勾股定理，得
在 Rt△ABC 中,根据勾股定理,得
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°.
∵点O是AC的中点,∴BO=5.
∴△BOE 周长: 故选 C.
知识拓展 本题考查了矩形的性质以及中位线定理.矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等.
10. C [解析]由翻折变换可知,AD=AF,∠DAE=∠FAE,DE=FE,∠D=∠AFE,
在Rt△ABG 和Rt△AFG 中,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),因此①正确;
∴∠BAG=∠FAG.
又∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE=90°,
因此
②正确；由翻折变换可知，DE=EF，由全等三角形可知BG=GF,设正方形的边长为a,BG=x,DE= 则
在 Rt△ECG 中,由勾股定理,得. 即 解得 即
∴BG=CG,因此③正确;
∴BG=CG=FG,
∴∠GCF=∠GFC,由①可得,∠AGB=∠AGF.
又∠AGB+∠AGF+∠FGC=180°=∠FGC+∠GCF+∠GFC,∴∠AGB=∠FCG,
∴AG∥FC,因此④正确;
.
∵AG∥CF,∴∠FCG=∠AGB≠60°,
∴△GCF 不是等边三角形，因此⑤不正确.故选 C.
廊 方法诠释 本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定，本题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用.根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角三角形ECG中，根据勾股定理可证 BG=CG；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,由平行线的判定可得 AG∥CF;由于 求得∠AGB≠60°,根据平行线的性质得到∠FCG=∠AGB≠60°,求得△GCF 不是等边三角形.
11.6 [解析]根据平行四边形的性质，得OC=OA.又点E 是 AD 的中点,∴OE 是△ACD 的中位线,∴CD=2OE=6.
12.6 [解析]∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形.∵两张纸条的宽度都是3,∴S四边形ABCD=AB·3=BC·3,∴AB=BC,
∴平行四边形 ABCD 是菱形，即四边形 ABCD 是菱形.
如图,过点 A 作AE⊥BC,垂足为E,
∵∠ABC=60°,∴∠BAE=90°-60°=30°,∴AB=2BE.
在Rt△ABE中,
即 解得
思路引导 本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用等积法求出边长相等是判定菱形的关键.
13.7 [解析]∵在矩形 ABCD中,G 是CD 的中点,
在△DEG 和△CFG 中, ∴△DEG≌△CFG(ASA),∴DE=CF,EG=FG.设DE=x,则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x.
在Rt△DEG中,
∵FH 垂直平分BE,∴BF=EF,
解得x=3,
∴AD=AE+DE=4+3=7,∴BC=AD=7.
■ 方法诠释 本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理.根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG 和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF,EG=FG,设 DE=x,表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可
得 BF=EF，然后列出方程求出x 的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD.
14.10 [解析]如图,连接BD,EC.
∵E是AB 的中点,
同理可得S△BEC=S△AED=6.
6-4-4=10.
■思路引导 本题考查菱形的性质及三角形的面积计算，根据同高三角形的底之比等于面积之比计算出空白部分三角形面积是解题的关键.
[解析]如图,过点A作 AN⊥BD于 点N,过点B 作BM⊥AC 于点M,
∴∠ANO=∠ANB=∠BMO=∠BMA=90°.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴OB=OA.
又AE=BF,∴Rt△ANE≌△BMF(HL),
∴FM=EN.设FM=EN=x.
∵AF=1,BE=3,
∴BN=3-x,AM=1+x.
易证Rt△BAM≌△Rt△ABN,∴BN=AM,
∴3-x=1+x,∴x=1,∴FM=1,∴AM=2.
16.(1)5 或15 [解析](1)∵正方形ABCD的边长为6 cm,E 为边 AB 上一点且 AE 长为1 cm,∴BE=5cm.
当∠B'PC=90°时,
由折叠，得
又∠B=90°,∴∠BEP=45°,∴BP=BE=5cm.
∵点 P 从点B 出发以每秒1 cm的速度沿射线 BC方向运动,∴t=5÷1=5.
(2)过点 B'作MN∥AB,交AD,BC 于点M,N,过点E 作EH∥AD,交MN 于点 H.
∵AD∥BC,MN∥AB,
∴四边形ABNM 是平行四边形.
又∠A=90°,∴平行四边形 ABNM 是矩形.
同理可得四边形AEHM 是矩形.
①如图(1),
若点 B'在AD 下方,则 B'M=3cm,B'N=3cm.
∵MH=AE=1cm,
由折叠，可得.
在Rt△EB'H中,
∴BN=AM=EH= cm.
设
在 Rt△PB'N 中,由勾股定理,得 B'N ,即 解得
②如图(2),
若点 B'在AD上方,则. 同理,可得EH=3cm,设BP= tcm,∴B'P= tcm,PN=(t--3) cm.∵在 Rt△PB'N 中, 解得t=15.
综上所述，BP 的值为 或15.
方法诠释 本题考查了折叠问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.(1)根据当∠B'PC=90°时, 即可得到△BEP 为等腰直角三角形,进而得到 BP=BE=5cm,再根据点 P 从点B 出发以每秒1 cm的速度沿射线 BC 方向运动，即可得到t的值;(2)过点 B'作MN∥AB,交 AD,BC 于点M,N,过点E 作EH∥AD,交MN 于点H,进而得出四边形 ABNM 是矩形，四边形 AEHM 是矩形.再分两种情况进行讨论：①若点 B'在AD 下方;②若点B'在AD 上方,分别根据 Rt△PB'N 中, 即可得到 BP 的值.
17.∵四边形ABCD 为矩形,
∴AB=CD,∠B=90°.
由折叠的性质,得AF=AB,EF=BE,∠AFE=
∵BE=3,EC=5,∴EF=3,BC=8.
在Rt△EFC中,EF=3,EC=5,
由勾股定理，得
设CD=x,则AB=AF=x,
∴AC=AF+CF=4+x.
在Rt△ABC中,AB=x,BC=8,AC=4+x,
由勾股定理，得.
即 解得x=6,∴CD=6.
18.(1)∵D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点,
∴DE∥AC,EF∥AB,∴DE∥AF,EF∥AD,
∴四边形ADEF 是平行四边形，
∴AE与DF互相平分.
(2)∵AB=AC=13,点 E为BC中点,BC=10,
根据勾股定理，得
∵点E 为BC中点,
∵D,F 分别是边AB,AC的中点,
∴四边形ADEF 的面积=S△ADE+S△AFE=30.
思路引导 本题考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是利用数形结合的方法，综合运用以上知识是解答本题的关键.
19.(1)∵D 为BC的中点,∴BD=CD.
∵DE∥AB,DF∥AC,
∴∠B=∠CDE,∠BDF=∠C.
在△BDF与△DCE 中, ∴△BDF≌△DCE(ASA).
∵D 是BC的中点,∴BD=CD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DF∥AC,DE∥AB,
∴∠FDB=∠C,∠EDC=∠B,
∴∠B=∠C=∠FDB=∠EDC.
在△BDF 和△CDE中.
∴△BDF≌△CDE(ASA),∴DF=DE,∴平行四边形 AFDE 是菱形.
选择小兰:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形 AFDE是平行四边形.
∵∠BAC=90°,∴平行四边形AFDE 是矩形.
思路引导 本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.
20.(1)∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB=AD,AB∥CD,AD∥BC,
∴∠ABD=∠ADB.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴AE⊥AD,AF⊥AB,
∴∠DAG=∠BAH=90°,
∴AH=AG.
(2)∵BG=GH,
∴点G 是直角三角形ABH 斜边BH 的中点，
∴AG=BG=GH.
由(1)知,AH=AG,∴AG=AH=GH,∴△AGH是等边三角形，
∴∠AHG=60°,∴∠ABH=30°,∴∠ABC=60°.
∵AF⊥AB,∴∠BAP=90°,∴∠P=30°,∴PF= CF.
如图，连接AC.
∵∠ADC=∠ABC=60°,AD=CD,
∴△ADC 是等边三角形.
∵AF⊥CD,∴CF=L
解后反思 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质.
21.(1)∵AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO.
在△ADO和△CBO中
∴△ADO≌△CBO(AAS),∴OD=OB,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵AB=BC,∴平行四边形 ABCD 是菱形.
(2)与线段CE 相等的线段有AE,DE,AG,CF.理由如下：由(1)知，四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD.
∵AB=AC,∴AB=BC=CD=AD=AC,
∴△ABC 和△ADC为等边三角形.
∵CH⊥AD,∴AH=DH,即CH 为AD 的垂直平分线,∴AE=DE.
同理CE=AE,∴AE=DE=EC.
∵△ADC 为等边三角形,CH⊥AD,
∴∠EFC=∠FEC,∴CF=CE.
∵△ABC 和△ADC为等边三角形,
∴∠BAC=∠CAD=60°.
∵CE=AE,∴∠EAC=∠ECA=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°,∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=120°,
∴∠AEG=∠AEC-∠FEC=45°,
∴△AGE 为等腰直角三角形,∴AE=AG,
∴AG=EC.
■ 思路引导 本题主要考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
22.(1)∵四边形BEFH 为平行四边形,
∴BE=HF,BH=EF.
∵四边形EFGC,四边形 ABCD 都是正方形,
∴EF=EC,BC=CD=AD=AB=4.
∴BH=CE,
∴Rt△BHC≌Rt△CED.∴CH=DE.
∵H为CD的中点,∴CH=2=DE.
∴AE=AD-DE=2=DE.
又AB=CD,∠BAD=∠ADC=90°,
∴Rt△ABE≌Rt△DCE.∴BE=EC.
∴BE=EF=HF=BH=EC.
∵CH=2,BC=4,
∴四边形BEFH 的周长=BE+BH+EF+FH=8
(2)如图,连接DF,过点 F作FM⊥AD,交AD 的延长线于点M，
∵AE=1,∴DE=3.
∵∠FEM+∠CEM=90°,∠CEM+∠ECD =90°,
∴∠FEM=∠ECD.
又CE=EF,∠EDC=∠FME=90°,
∴△EFM≌△CED.
∴EM=CD=4,FM=DE=3.∴DM=1.
(3)如图,过点 F 作 FN⊥CD,交 CD 的延长线于点N,
由(2)可知,△EFM≌△CED.
∴EM=CD,FM=DE.
∴CD=AD=EM.∴AE=DM.
设AE=DM=x,则DE=FM=4-x.
∵FN⊥CD,FM⊥AD,ND⊥AD,
∴四边形 FNDM 是矩形.
∴FN=DM=x,DN=FM=4-x.
∴NH=4-x+2=6-x.
在Rt△NFH 中,
∴当x=3时，HF有最小值为
23.(1)∵EF 是AC的垂直平分线,
∴AO=OC,AE=EC,AF=FC.
∵四边形ABCD 是矩形,∴AD∥BC,
∴∠EAC=∠BCA.
∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.∴AE=CF.
∴AE=CF=EC=AF.∴四边形AFCE 为菱形.设AF= xcm,则FC= xcm,BF=(8-x) cm,在 Rt△ABF 中,. 解得x=5,即AF=5.故AF 的长为5cm.
(2)①在运动的过程中，以A，P，C，Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当点 P 运动到点B，点Q运动到点D 时，以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是矩形,点 P 运动的时间为(5+3)÷1=8(s),点 Q的速度为4÷8=0.5(cm/s).
即当以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是矩形时，运动的时间为8s,此时点 Q 的速度是0.5cm/s.
②分为三种情况：
(i)当点 P 在AF 上时,0≤t≤5,
∵点 P 的速度为1cm/s,点Q 的速度为0.8cm/s,
∴Q 只能在CD上,此时以A,P,C,Q四点为顶点的四边形不可能是平行四边形；
(ii)当 P 在BF上时,5∵AQ=8-(0.8t-4),CP=PF+FC=PF+AF=t,∴8-(0.8t-4)=t,解得
(iii)当 P 在 AB 上时,8综上所述，当以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，