二次根式与勾股定理期末专题整合提优(一) （含答案）

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二次根式与勾股定理期末专题整合提优(一)
一、选择题
1.(2024·安徽合肥高新区期中)下列各式中，一定是二次根式的是( ).
A. D.
2.(2024·浙江杭州萧山区期末)下列等式成立的是( ).
3.已知 M,N 是线段 AB 上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点 A 为圆心,AN长为半径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧,两弧交于点 C,连接AC,BC,则△ABC一定是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.实验班原创计算 的结果是( ).
B. -2 D.
5.若三角形的三边长为 ,，2，则此三角形的面积为( ).
C.
6.(2024·安徽安庆期中)若 2,则 等于( ).
A. 1 B. 5 C. - 5 D. - 1
7.若x≤0,则化简 的结果是( ).
A. 1-2x B. 2x--1 C. - 1 D. 1
8.化简 等于( ).
9.(2024·山东日照实验中学月考)在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中.则当a=24时，b+c的值为( ).
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
C 10 17 26 37 50 …
A. 162 B. 200 C. 242 D. 288
10.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为 S 的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM 较长直角边, 则正方形ABCD的面积为( ).
A. 11S B. 12S C. 13S D. 14S
二、填空题
11.(2024·重庆渝中区巴蜀中学期末)若二次根式 有意义，则x的取值范围是 .
12.传统文化《算法统宗》《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十.广斜相并五十步，不知几亩及分厘.”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步.不知该田有几亩 请帮他算一算，该田有 亩(1亩=240平方步).
13.(2024·河南周口西华月考)如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上.则以AB，CD， 为边的三角形的形状为 .
14.如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠BAC= 点M,N在边 BC上,且∠MAN=45°,CN=1,MN 的长为 .
15. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB =5cm,AC=3cm,动点 P 从点B 出发,沿射线BC 以2cm/s的速度移动，设运动时间为ts，当t= 时,△ABP 为直角三角形.
16.(重庆两江新区自主招生)如图，在等腰直角三角形ABC中, 点 D为斜边AB 的中点，点E 为线段BC 上一点，连接AE,在AE 上取点F,连接 BF,DF,若∠BFD=45°,且. 则线段CF 的长为 .
三、解答题
17.按要求解答下列各题.
(1)计算:
(2)先化简，再求值： 其中x=
18.中考新考法 过程纠错改错 (2024·湖南长沙浏阳期中)先化简，再求值： 其中a=1007.如图是小亮和小芳的解答过程.
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(3)先化简，再求值： 其中a=-2024.
19.(2023·石家庄五模)如图,一棵高10m 的大树倒在了高8m的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题.
(1)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了2m，那么大树的另一端点是否也向左滑动了2m 说明理由.
(2)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点是否也向左滑动了a m 说明理由.
20.(2024·安徽芜湖期中)请观察式子： 仿照上面的方法解决下列问题：
(1)化简: (a<0).
(2)把 中根号外的因式移到根号内，化简的结果是 .
21.新情境 判断是否会受到台风的影响(2024·重庆渝北区期末)如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A 的东北方向，岛屿B 在岛屿A 的正东方向，A，C两岛的距离为20 km,A,B 两岛的距离为68km.
(1)求出 B,C两岛的距离.
(2)在岛屿 B 产生了台风，风力影响半径为25km(即以台风中心 B 为圆心,25 km为半径的圆形区域都会受到台风影响)，台风中心以20km/h的速度由 B 向A 移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C 持续时间有多长
22.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,点 D 是边 BC 上的一个动点(不运动至点 B,C),点 E 在 BC 所在直线上,连接AD,AE,且∠DAE=45°.
(1)若点 E 是线段BC 上一点,如图(1),作点 D 关于直线AE 的对称点 F,连接 AF,CF,DF,EF.
①求证:△ABD≌△ACF;
②若BD=1,DE=2,求CE 的长;
(2)如图(2),若 求 CE 的长.(直接写出答案即可)
1. C [解析]根据二次根式的定义逐个判断即可.形如 的形式，叫二次根式.故选 C.
2. C [解析 故选项 A不符合题意； ，故选项 B不符合题意； 2 ，故选项C符合题意； 故选项D不符合题意.故选C.
3. B [解析]本题主要考查了勾股定理的逆定理.
如图所示,AC=AN=4,BC=
BM=3,AB=2+2+1=5,
∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90°.故选 B.
思路引导 题目没有给出图形，所以在解题前需根据题意画出几何图形，依据作图即可得到AC=AN=4，BC=BM=3,AB=2+2+1=5,进而得到AC + ，即可得出△ABC是直角三角形.
4. B [解析]原式 故选 B.
5. A [解析]本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式的知识. ∴该三角形是以 为斜边的直角三角形，∴三角形面积 故选 A.
6. A [解析] 0且2-2x≥0,∴x=1,
.
故选 A.
7. D [解析]因为x≤0,所以原式=1-x--(-x)=1.故选 D.
8. B [解析]由题意可知a<0，所以原式 故选 B.
9. D [解析]根据表格中数据，得 并且c=b+2,则
当a=24时,2 ,解得b=143,则c=143+2=145,
∴b+c=143+145=288.故选 D.
■思路引导 本题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定a，b，c的数量关系.
10. C [解析]设AM=2a,BM=b,则正方形 ABCD的面积 由题意,得 EF=(2a--b)-2(a-b)=b.
∵正方形EFGH 的面积为(s,
∴正方形 ABCD 的面积 故选C.
11.3≤x<4 [解析]∵二次根式 有意义,∴x-3≥0,4-x>0,解得3≤x<4.
思路引导本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零和分母不为零是解题的关键.
12.2 [解析]设该矩形的宽为x步，则对角线为(50-x)步，由勾股定理，得 解得x=16.
故该矩形的面积=30×16=480(平方步),480平方步=2亩.
廉 关键提醒本题考查了勾股定理的应用.根据矩形的性质、勾股定理求得长方形的宽，然后用矩形的面积公式解答.
13.直角三角形 [解析]由图可得
20=AB ,
∴以AB，CD，EF 三条线段为边的三角形的形状为直角三角形.
思路引导 本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
14. [解析]如图,把△ACN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABD,连接MD.
∵△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=
∴∠ABC=∠C=45°,
∵△ABD 是由△ACN 旋转90°所得,
∴∠ABD=∠C=45°,BD=CN=1,∠DAN=90°,AD=AN,
∵∠MAN=45°,∴∠MAD=90°-45°=45°,
∴∠MAN=∠MAD.
在△AMD 和△AMN 中. ∴△AMD≌△AMN,∴MD=MN.
设MN=MD=x,则 BM=BC--CN--MN=3--x,
在Rt△DBM 中,由勾股定理,得
即
解得
15.2或 [解析]∵∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,∴BC=4cm.
①当∠APB为直角时,点 P 与点 C 重合,BP=BC=4cm,∴t=2;
②当∠BAP 为直角时,BP=2t cm,
CP=(2t-4) cm,AC=3cm.
在 Rt△ACP 中,
在Rt△BAP 中,
解得
综上所述，当△ABP 为直角三角形时，t=2或
关键提醒本题考查勾股定理知识，解答时要注意当△ABP 为直角三角形时,有两种情况:①∠APB=90°;②∠BAP=90°，所以要分两种情况分别进行解答.
[解析]如图，连接CD,作 DM⊥DF 交 BF 于点M,作DN⊥BF 于点N,
∴∠MDF=90°.
∵∠MFD=45°,∴△MDF为等腰直角三角形，
∵AC=BC,∠ACB=90°,D为AB 中点,
在△DBM 和△DCF 中
∴△DBM≌△DCF(SAS),∴BM=CF,
思路引导本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键.
17.(1)原式
x+y.
当 时，原式
18.(1)小亮
(3)原式 将a=-2024代入,则原式=6+2024=2030.
思路引导本题考查的是二次根式的混合运算和化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键.
19.(1)是.理由如下:
如图，由题意可知，△ABC 是直角三角形.
∵AC=8m,AB=DE=10m,
∴由勾股定理，得
∵AD=2m,
∴CD=AC-AD=8-2=6(m),
∴BE=CE--BC=8-6=2(m),
∴大树的另一端点也向左滑动了2m.
(2)不一定.理由如下：
∵AD= am,
∴CD=AC-AD=(8-a)m,
当BE=AD时,
解得a=2或a=0(舍去),
∴只有当a=2时，大树的顶端沿着墙面向下滑动了 am，那么大树的另一端点也向左滑动了am.
思路引导本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理得出线段的长度.(1)根据勾股定理得出BC 的长，进而解答即可；(2)根据勾股定理得出CE的长，进而解答即可.
[解析]
21.(1)如图,过点 C 作CD⊥AB 于点 D.
由题意,知∠ACD=45°,∴∠A=∠ACD=45°,∴CD=AD.
在Rt△ACD 中,
由勾股定理，得
解得AD=20km(负值已舍),∴CD=20km,
在Rt△BCD中,BD=AB-AD=68-20=48(km),
由勾股定理，得 52(km).
故B,C两岛的距离为52km.
(2)会受影响，如图，以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB 交于点 E,F,则EF=2DE,在 Rt△CDE 中,由勾股定理，得 15(km),∴EF=30km,30÷20=1.5(h).
故台风影响岛屿C持续时间为1.5h.
思路引导 本题考查勾股定理的应用.(1)过点C 作CD⊥AB 于点 D,在 Rt△ACD 中,利用勾股定理可求出AD，CD，再在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求出 BC，从而解决问题；(2)由25>20，可知会受影响.以点C 为圆心，25km长为半径画弧与AB 交于点E，F，利用勾股定理求出DE，进而得到EF的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间.
22.(1)①∵点 D 与点F 关于直线AE 对称,
∴AE 垂直平分DF,∴AD=AF,
∴∠DAE=∠FAE=45°,即∠DAF=90°,
∴∠DAC+∠FAC=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠DAC+∠BAD=90°,
∴∠BAD=∠FAC.
在△ABD与△ACF中
∴△ABD≌△ACF(SAS).
②由①,得△ABD≌△ACF,
∴∠B=∠ACF=45°,BD=CF=1,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°.
∵AE 垂直平分DF,∴DE=EF=2,
∴在 Rt△ECF 中,
(2)如图(1)所示,当点 E 在 BC 延长线上时,作点 D 关于直线AE 的对称点F,连接AF,CF,EF,根据△ABD≌△ACF,可得
在等腰直角三角形ABC 中，
在 Rt△CEF中,
解得CE=3;
如图(2)所示，当点E 在线段BC上时，作点 D 关于直线 AE 的对称点 F,连接 AF,BF,EF,根据△ABF≌△ACD,可得
又BE=BC-CE=2-CE,在Rt△BEF 中, 解得 故CE 的长为3或