趋势真题特训期末专题整合提优(五)提优训练 （含答案）

趋势真题特训期末专题整合提优(五)
新情境
1.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设左图中空白部分的面积为S ，右图中空白部分的面积为 S ，则下列S ,S 的等式成立的是( ).
2.(2024·内蒙古呼和浩特五中月考)二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用.如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是 宽是 ，那么圆的半径应是( ).
3.如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线 AC，BD 就可以判断，其推理依据是( ).
A.矩形的对角线相等
B.矩形的四个角是直角
C.对角线垂直的平行四边形是矩形
D.对角线相等的平行四边形是矩形
4.(2024·河南洛阳偃师区期末)“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为( ).
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
5.(2024·岳阳模拟)近几年我国航天领域的发展突飞猛进，2024年4月 25 日神舟十八号成功发射.为树立“热爱科学崇尚科学”的风尚，某校举办科普知识竞赛.某班的甲、乙两名同学进行了多次模拟练习，该表是他们近五次模拟成绩的平均数及方差，班主任应选择 同学参加校级比赛.
甲 乙
平均数 96分 96分
方差 1.2 0.4
6.如图，数轴与正方形网格线恰好重合，正方形的顶点 A 在数轴上表示的数为-1，以A 为圆心，以正方形边长为半径的圆弧与数轴相交于点 M，N，则M 点在数轴上表示的数为 ,MN= .
五一广场是市民放风筝的场所之一，小明和小华在学习了“勾股定理”之后，进行了一次实践活动，操作如下：如图，测量风筝距地面高度CE=5.7米,水平距离BD=3米,小明身高1.7米.若小明想让风筝沿 CD 方向下降1米至点G，则他应该往回收线多少米
8.[知识背景]古代军队通常包括军人和随军民夫，各自携带一定数量的粮食，据当时估算，陆路行军，1名军人平均每天消耗粮食1.5千克，自身可携带粮食7.5千克；1名随军民夫平均每天消耗粮食1千克，借助运输工具可携带粮食150千克.军队(含军人和随军民夫)每天行进10~20千米.
[知识运用]古时一支有1万名军人的军队计划沿指定路线至212.5千米外的军营，假设粮食充足，下面仅从粮食角度分析.
(1)如果这支军队每天行进17千米，当军人和随军民夫到达军营后，合计还携有 25 000 千克粮食，求随军民夫的人数；
(2)出发前因军情变化，需要改变部分线路，若
(1)中军队每天行进18.7千米，行军的路程增加了一个百分数1.2a，随军民夫数量也增加了一个百分数a，这样所携粮食支撑到军队抵达军营时刚好用完，求这个百分数a.
9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=168，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为( ).
A. 7 B. 24 C. 17 D. 25
10.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A =90°，BD=3,BC=13,则正方形 ADOF 的面积是 .
11.(2024·江西景德镇期中)明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯(如图(1)),其示意图如图(2),已知AB=AC=200cm,AC 与AB 的张角∠BAC 记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是 BC为固定张角α大小的锁链.则锁链 BC长度的最大值为 cm.
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12.题目:已知在△ABC 中AC= ,BC=4, ，求△ABC 的面积.小溪是一个善于思考的孩子，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求△ABC 的期末专题整合提优(五)
面积.以下是他的思考过程.
思路1：可以利用课本“阅读与思考”中的海伦—秦九韶公式求△ABC 的面积；
海伦公式：
秦九韶公式：
思路2：可以利用正方形网格构造三角形求△ABC 的面积.
(1)通过计算小溪发现这个题目利用秦九韶公式更为简便，请根据公式直接写出S△ABC= .
(2)请你结合思路2，在如图所示的网格中，(正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点).
①画出△ABC，要求三个顶点都在格点上；
②结合图形，请写出△ABC 面积的计算过程.
13.据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度(单位：m)近似满足公式 (不考虑风速的影响，,g≈10m/s ),从40m高空抛物到落地的时间为 s.(结果保留根号)
14.某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间t(h)可以用公式 来估计，其中d(km)是
雷雨区域的直径.
(1)如果雷雨区域的直径为8km，那么这场雷雨大约能持续多长时间
(2)如果一场雷雨持续了2h，那么这场雷雨区域的直径大约是 km.
15.小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见“高空抛物 害人害己”的提示.为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式 (不考虑风速的影响，
(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家楼顶坠落一个物品，求该物品落地的时间.(结果保留根号)
(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能(焦)=10×物体质量(千克)×高度(米)，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人
16.如图，正方形 ABCD 的边长为2，其面积标记为 S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S ，…，按照此规律继续下去，则S 的值为( ).
17.(2023·重庆永川区一模)定义：如果代数式 A 是常数)与 是常数)，满足 则称这两个代数式 A 与 B 互为“同心式”，下列四个结论：
(1)代数式 的“同心式”为
(2)若 与 互为“同心式”，则( 的值为1；
(3)当 时，无论 x 取何值，“同心式”A与B 的值始终互为相反数；
(4)若A,B 互为“同心式”,且 0，则A-2B=0有两个相等的实数根.
其中，正确的结论有( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
18.(2023·邯郸一模)对于题目，“在长为7 的线段AE 上取一点B,使AB=3,以AB 为边向上作矩形 ABCD,且 AD=2,点 N 从点 D 出发，沿射线 DC 方向以每秒2个单位长度的速度运动，点M 从点 E 出发，先以每秒1个单位长度的速度向点 B 运动，到达点 B 后，再以每秒3个单位长度的速度沿射线 BE 方向运动，已知 M，N同时出发，运动时间为t(s)，若以E，M，C，N为顶点的四边形是平行四边形,求t 的值”,甲答:1;乙答:3.则( ).
A.只有甲答得对
B.只有乙答得对
C.甲、乙答案合在一起才完整
D.甲、乙答案合在一起也不完整
19.观察等式： 按上述规律，若 则
20.如图(1),在四边形ABCD 中,∠PAD,∠QCD是四边形 ABCD 的外角.
(1)若∠B=40°,∠ADC=120°,则∠PAD+∠QCD= °;
(2)如图(2),AE 平分外角∠PAD,CF 平分外角∠QCD,AE 与 CF 相交于点 M,若∠ADC=∠B+90°,求∠AMC 的度数;
(3)如图(3),AE 平分外角∠PAD,CF 平分外角∠QCD,若∠ADC=∠B,判断AE 与CF 的位置关系，并说明理由.
1. B [解析]观察题右图可知 ab,故C,D错误;又因为 ，由勾股定理可得 .故选 B.
■知识拓展 通过拼图证明命题的思路：
(1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.
(2)根据同一个图形的面积的不同表示方法列出等式.
(3)利用等式性质变换验证结论成立.
拼出图形，写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.
2. D [解析]设圆的半径为r cm，根据题意，得 解得 (负值舍去).故选 D.
3. D [解析]推理依据是对角线相等的平行四边形ABCD 是矩形，故选项D符合题意.故选D.
4. B [解析]正n边形的一个内角 135°,则 解得n=8.故选 B.
■解后反思 本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键.
5.乙 [解析]因为甲、乙两名同学近五次模拟成绩的平均数相同，但乙的方差比甲小，
所以乙的成绩比甲稳定，所以班主任应选择乙同学参加校级比赛.
[解析]由题意可知,OA=1,由勾股定理可知， ∴点 M 在数轴上表示的数为
7.∵CD=CE--DE,CE=5.7米,DE=AB=1.7米,BD=3米,∴CD=4米.
在Rt△BCD 中,
(米),
在 Rt△BDG中,
(米),
(米).
故他应该往回收线约0.8米.
8.(1)设随军民夫的人数为x人，根据题意，得
x)+25000,解得x=1000.
故随军民夫的人数为1000人.
(2)由题意,得现在民夫有1000(1+a)人,行程为212.5(1+1.2a)千米,天数为 天，携带的粮食为7.5×10000+150×1000(1+a),每天消耗的粮食为1.5×10000+1×1000(1+a),
故可列方程为7.5×10000+150×1000(1+a)= 解得a=0.5或 (舍),即这个百分数为50%.
9. C [解析]由题意可知，中间小正方形的边长为a—b,
每一个直角三角形的面积为 由题图可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
∵a-b>0,∴a-b=17.故选 C.
10.4 [解析]设正方形 ADOF 的边长为x.
∵BD=3,BC=13,
∴BE=BD=3,CE=CF=13-3=10.
在Rt△ABC中,
即
整理，得
解得x=2或x=-15(舍去),∴x=2,
即正方形ADOF 的边长是2，面积是4.
[解析]由题意,得当α=120°时,BC长度有最大值，
如图所示，过点 A 作AD⊥BC于点D,
∵AB=AC=200 cm,
100 (cm),∴BC=2BD=200 (cm).
思路引导 本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
12.(1)4 [解析]∵AC= ,BC=4,AB=
(2)①如图所示.(答案不唯一)
②△ABC的面积
[解析]当h=40m,g≈10m/s 时,
其中d=8km,
∴这场雷雨大约能持续 h.
(2)60 [解析]根据 其中it=2h,∴d =3600.∵d>0,∴d=60km,
∴这场雷雨区域的直径大约是 60km.
15.(1)∵小明家住20层，每层的高度近似为3米，∴h=20×3=60(m),
∴该物品落地的时间为
(2)该玩具最低的下落高度为 ∴最少经过3.5776s落地就可能会伤害到楼下的行人.
思路引导 本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.
(1)根据题意可先求得h=60m，根据 代入计算即可求解；(2)由题意可知“高度(米)=高空抛物动能(焦)”，以此求出该玩具最低的下落高度，再由 代入求解即可.
16. C [解析]∵△CDE 是等腰直角三角形,
∴DE=CE,∠CED=90°,
即等腰直角三角形的直角边为斜边的 倍，
…,
故选 C.
■ 关键提醒 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律中数字的变化类型，根据面积的变化找出变化规律 是解题的关键.
17. B [解析](1)代数式 的“同心式”为 ，故结论(1)不正确，不符合题意；
(2)若 与 互为“同心式”，则8m+6n=0,n=-4,∴m=3,
故结论(2)不正确，不符合题意；
(3)当 时，
∴当 时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数，故结论(3)正确，符合题意；
(4)∵A,B 互为“同心式”,
有两个相等的实数根，故结论(4)正确，符合题意.故选 B.
18. D [解析]由题意,得DN=2t.
∵四边形ABCD 是矩形,∴NC∥ME,
∴若NC=ME,则以E,M,C,N为顶点的四边形是平行四边形.
当M从E 向B 运动时,EM=t,
当N在DC上，即 时，
∵DC=AB=3,∴CN=3-2t.
得3-2t=t,∴t=1.
当点 N 在射线 DC 上的点C 右侧时，即 4时,CN=2t-3,∴2t-3=t,∴t=3.
当点 M 从点 B 向点 E 运动且点M 在BE 上,即 时,ME=4-3(t-4),
∴4-3(t-4)=2t-3,∴t= (舍去).
当点 M 从点B 向点E 方向运动且点M 在点E 右侧，即 时,ME=3(t-4)-4,
∴3(t-4)-4=2t-3,∴t=13.
综上所述，t的值为1或3 或13.故选 D.
温馨提示 本题考查了矩形、平行四边形的性质及判定的应用，判断动点的位置、准确求出动点路程是解题关键.由题得出共四种情况，当点 M 从点 E 向点B 运动时,点 N 在 DC 上时;当点 N 在射线 DC上的点C右侧时；当点 M 从点 B 向点E 运动且点M 在BE 上时;当点 M 从点 B 向点 E 方向运动且点M 在点 E 右侧时，根据每种情况，分别求出 NC和ME,令 NC=ME,再求出t 即可.
19.1 [解析]
∴用n(n≥3)表示式子为 当n=15时，式子为
20.(1)160 [解析]如图(1),连接BD.
∵∠PAD 是△ABD 的外角,∠QCD 是△BCD 的外角,∴∠PAD=∠ABD +∠ADB,∠QCD =∠CBD+∠CDB.
∵∠ABD+∠CBD=∠ABC=40°,∠ADB+∠CDB=∠ADC=120°,
∴∠PAD+∠QCD=∠ABD+∠ADB+∠CBD+∠CDB=∠ABC+∠ADC=160°.
∵∠AGC 是△CGM的外角,
∴∠AGD=∠AMC+∠DCM.
∵∠ADC 是△ADG 的外角,
∴∠ADC=∠DAM+∠AGC=∠DAM+∠DCM+∠AMC.
由(1)可知,∠PAD+∠QCD=∠ABC+∠ADC.
∵AE 平分∠PAD,CF 平分∠QCD,
∠ABC+45°,
∴∠ABC+90°=∠AMC+∠ABC+45°,
∴∠AMC=45°.
(3)AE∥CF.理由如下:
如图(3),过点 D 作DN∥AE.
由(1)知,∠PAD+∠QCD=∠B+∠ADC.
∵∠ADC=∠B,
∴∠PAD+∠QCD=2∠ADC.
∵AE 平分∠PAD,CF 平分∠QCD,
∵AE∥DN,∴∠DAE=∠ADN,
∴∠CDN=∠DCF,∴DN∥CF,∴AE∥CF.