巧用勾股定理解折叠问题专题提优特训6 提优训练 （含答案）

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巧用勾股定理解折叠问题专题提优特训6
题型1 求折叠中图形的面积
1.如图,将长方形 ABCD 沿直线BD 折叠,点 C 落在C'处,BC'交AD 于点E,已知AD=16,AB=8,则△BED 的面积为( ).
A. 32 B. 40 C. 42 D. 48
2.如图，在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,沿着 EF 线翻折,使得点B 与点D 重合,求四边形A'DFE 的面积.
题型2 求折叠中线段的长
3.已知，如图，在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点 B 与 D 重合，折痕为 EF，则BE 的长为( ).
A. 3cm B. 4 cm C. 5cm D. 6cm
4.如图，在长方形ABCD中,AB=6,AD=10,点 E 是边CD 上一点,连接AE,长方形ABCD 沿AE 折叠,点 D 的对应点恰好落在边BC上的点F 处，则AE 的长为( ).
B. C. 2
5.如图，在长方形纸片ABCD中,AB=8,BC=10,E为CD 边上一点.将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠,BC的对应边B'C'恰好经过点D，求DE 的长.
如图(1)是一个直角三角形纸片,∠A=30°,BC=4cm，将其折叠，使点 C 落在斜边上的点C'处,折痕为 BD,如图(2),再将△ADE 沿DE 折叠，使点 A 落在 DC'的延长线上的点A′处,如图(3).
(1)求证:AD=BD;
(2)求折痕DE 的长.
题型3 探究线段之间的数量关系
7.如图,将长方形ABCD 沿直线 EF 折叠,使点 C与点A 重合,折痕交AD 于点E,交BC于点 F,连接CE.
(1)求证:AE=AF=CE=CF;
(2)设AE=a,ED=b,DC=c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式.
8.小明剪了一些直角三角形纸片，他取出其中的几张进行了如下的操作：
操作一：如图(1)，将Rt△ABC 沿某条直线折叠，使斜边的两个端点 A 与 B 重合，折痕为DE.如果∠CAD:∠CDA=1:2,CD=1cm,试求AB 的长；
操作二：如图(2)，小明拿出另一张 Rt△ABC纸片，将其折叠，使直角边 AC 落在斜边AB上，且与AE 重合，折痕为AD.已知两直角边AC=6cm,BC=8cm,请你求出CD 的长;
操作三：如图(3)，小明又拿出另一张Rt△ABC纸片，将纸片折叠，折痕CD⊥AB 于点 D.请写出 BC,AD,AC与BD 之间的关系式.
1. B [解析]由折叠的性质，得
∵四边形ABCD 是长方形,∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠CBD=∠ADB=∠C'BD,∴ED=EB.
设ED=x,则.
在Rt△DEC'中,由勾股定理,得 解得x=10,即DE=1(
■ 关键提醒本题考查折叠的性质、勾股定理等知识，根据折叠推出DE=BE，再根据勾股定理列出方程是解决问题的关键.
2.在长方形ABCD中,由折叠可知,AB=DC=A'D=6,BC=AD=8,
若设BF=DF=x,则CF=8-x,
在Rt△CDF 中, 即 解得
∵∠A'DE+∠EDF=∠EDF+∠CDF=90°,
∴∠A'DE=∠CDF.
∴△A'DE≌△CDF(ASA),∴A'E=CF,
故四边形 A'DFE 的面积为24.
■ 解后反思 本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理等知识，掌握折叠的性质、长方形的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系，运用勾股定理列出方程是关键.
3. C [解析]根据折叠的性质可得 BE=ED,设AE=x,则ED=9-x,BE=9-x.
在 Rt△ABE 中,. 即 (9-x) ,解得x=4,∴AE的长是4,
∴BE=9-4=5.故选C.
4. D [解析]∵四边形 ABCD 是长方形,∴CD=AB=6,BC=AD=10,∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠,得AF=AD=10,FE=DE,
∴CF=BC-BF=10-8=2.
,且CE=6-DE,
解得
5.由长方形的性质,得CD=AB=8,∠B=∠C=90°,AD=BC=10.
由折叠的性质,得∠B'=∠B=90°,∠C'=∠C=90°,B'C'=BC=10,CE=C'E.
在 Rt△AB'D 中,由勾股定理,得
设DE=x,则(
在 Rt△DC'E中,由勾股定理,得 解得x=5,∴DE=5.
6.(1)由翻折可知,
在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=4cm,
∴AB=2BC=8cm,
又
∴DC'垂直平分线段AB,∴AD=BD.
(2)由(1),知AD=BD,
∴在 Rt△DC'B中,
∴BD=2DC'.
在Rt△DC'E中,易知
设 则DE=2x cm,
7.(1)由翻折知,AF=CF,AE=CE,∠CFE=∠AFE.
又四边形ABCD 是长方形,∴AD∥BC,
∴∠AEF=∠CFE,∴∠AFE=∠AEF,∴AE=AF=EC=CF.
理由如下:由题意知,AE=EC=a,ED=b,DC=c,由∠D=90°,知 即
8.操作一:∵∠CAD:∠CDA=1:2,∠C=90°,
故设∠CAD=x,则∠CDA=2x,
∴x+2x=90°,解得x=30°,
故∠CAD=30°,则AD=2CD=2.
由勾股定理，得
∵将Rt△ABC 沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合,折痕为 DE,
∴BD=AD,∠DBA=∠DAB.
∵∠CDA=2x=60°,∴∠B=30°,
操作二:∵AC=6cm,BC=8cm,
根据折叠性质,得AC=AE=6cm,DE=CD,
∴BE=AB-AE=10-6=4(cm).
设CD= xcm,则BD=(8-x) cm,DE= xcm,在Rt△BDE中,由题意,得 解得x=3.故CD=3cm.
操作三:在 Rt△BCD 中,由勾股定理,得. 即
在 Rt△ACD 中,由勾股定理,得 即
即
故 BC,AD,AC 与 BD 之间的关系式是