一元二次方程与三角形的综合应用专题提优特训5 （含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程与三角形的综合应用专题提优特训5
题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合应用
1.一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长为 .
2.若方程( 的三个根可以作为一个三角形的三边长，则m 的取值范围为 .
3.已知关于x 的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC 的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边 BC的长为4，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.
4.根据一元二次方程根的定义，解答下列问题.
一个三角形两边长分别为3cm和7cm，第三边长为a cm，且整数a满足 求三角形的周长.
解：由已知可得4当a=5时，代入 0，故a=5不是方程的根.
同理可知a=6,a=8,a=9都不是方程的根.
∴a=7是方程的根.(第二步)
∴△ABC 的周长是3+7+7=17(cm).
上述过程中，第一步的根据是什么 第二步应用了什么数学思想，确定a 的值的根据是什么
题型2 一元二次方程与等腰三角形的综合应用
5.若等腰三角形ABC 的两边分别为方程(x—2)(x--3)=x-2的两个根,则△ABC 的周长为( ).
A. 7 B. 10 C. 7或8 D. 8或10
6.方程 的两个根分别为x ，x ，是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长是 7.设三角形ABC 的三边为a,b,c,方程 有两个相等的实数根，且a，b,c满足3a-2c=b.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)若a,b 为方程x -2kx+(--2k+3)=0的两根，求k 的值.
8.(1)已知 b(b--a)=13,求代数式 ab 的值;
(2)已知等腰三角形ABC 的两边分别为a，b，且a，b满足 求△ABC 的周长.
9.已知关于x 的方程
(1)求证：无论k 取任意实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC 的两腰长b，c 恰好是这个方程的两个根，求第三边a 的取值范围.
10.已知关于x的方程(
(1)求证：无论k取何实数，这个方程总有实数根；
(2)若这个方程的两个实数根x ,x 满足|x - 求k的值；
(3)当等腰三角形 ABC 的一边长a=4,另两边长b，c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长.
题型3 一元二次方程与动态几何的综合应用
11.中考新考法 动点问题(2024·云南文山州月考)如图，在△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8.点 P 从点A 开始沿边AB 向点 B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边 BC 向点C 以2cm/s的速度移动.设 P,Q 分别从A，B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动.解答下列问题：
(1)填空:BQ= cm,PB= cm(用含t的代数式表示).
(2)经过几秒,△PBQ 的面积等于8cm
(3)是否存在这样的时刻t，使线段 PQ 恰好平分△ABC 的面积 若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由.
一元二次方程与三角形的综合应用
1.12 [解析] 转化为(x-2)(x-4)=0,x-2=0或.x--4=0,所以. 又2+3=5，不能构成三角形，所以三角形第三边的长为4，所以三角形的周长为3+4+5=12.
[解析]:
∴x-1=0或
∴原方程的一个根为1.
设 的两个根为a，b，
则△=4-4m≥0,a+b=2, ab=m.
又
∴0≤4-4m<1,解得
∴方程有两个不相等的实数根.
(x-k)[x-(k+1)]=0,
即△ABC 的另外两边的长为k,k+1.
当AB=BC时，即k=4，满足三角形构成条件；
当AC=BC时,即k+1=4,解得 k=3,满足三角形构成条件.
综上所述,k=4或k=3.
4.第一步的根据是三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，第二步应用了分类讨论的数学思想，确定a 的值的根据是方程根的定义.
5. B [解析]解方程(x-2)(x-3)=x-2,移项,得(x-2)(x-3)--(x-2)=0,整理,得(x--2)(x-4)=0,解得 因为2+2=4，所以该等腰三角形的腰长为4，底边长为2，所以△ABC 的周长为4+4+2=10.故选 B.
易错警示 本题综合考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，先解方程得到方程的解，然后根据三角形三边关系确定等腰三角形的腰长和底边长，最后三边相加得到三角形的周长.较易出现错误的是没有考虑三角形三边关系，得到腰长为2，底边长为4的错误答案.
6.13或14 [解析]解方程 因式分解得(x-4)(x--5)=0,解得 当等腰三角形的腰长为4，底边长为5时，三角形的周长为4+4+5=13；当等腰三角形的腰长为5，底边长为4时，三角形的周长为5+5+4=14.
■ 方法诠释 本题考查一元二次方程解法和等腰三角形性质.先解方程得到方程的根，然后分两种情况确定等腰三角形的底边长和腰长，从而计算出三角形的周长.
7.(1)∵方程 有两个相等的实数根，
即a=2b-c.
∵3a-2c=b,∴3(2b--c)-2c=b,即b=c,
将b=c代入a=2b-c,得a=b,
∴a=b=c.故△ABC是等边三角形.
(2)∵a,b为方程 的两个根,且a=b,
，即 3=0,解得k=1或k=-3.
当k=-3时，方程为
解得 (舍去);
当k=1时，方程为 解得 1(符合题意).故k=1.
8.(1)由
得 即a-b=3,
两边同时平方，得 )
由a(a+b)+b(b--a)=13,得
即 ②
把②代入①，得13-2ab=9,∴ab=2.
(2)由
得
整理，得
∴a-3=0,b-7=0,∴a=3,b=7.
当3为腰时,三边为3,3,7,
∵3+3<7，∴不能构成三角形，此种情况不成立；
当7为腰时，三边为7，7，3，能构成三角形，此时△ABC的周长=7+7+3=17.
9.(1)当k=0时,方程 可化为-2x+2=0,有实数根x=1;
当k≠0时, ∴方程总有实数根.
综上所述，无论k取任意实数，方程总有实数根.
(2)∵b,c 为方程的等根,∴由(1)知,k=2,∴b=c=1,∴010.(1)方程整理成一般形式为 2=0,
∵△≥0，∴无论k取何实数，方程总有实数根.
(2)∵x ，x 是这个方程的两个实根，
4×(4k-2)=25,解得k=4或k=-1.
(3)当b=c时, 解得
又2+2=4，不符合三边关系，舍去；
当两边长b，c有一边是4时， 4k+2,解得
关于x的方程( 即 8=0,∴x=2或x=4,
∴等腰三角形ABC的三边为2,4,4,此时△ABC的周长为2+4+4=10.
11.(1)2t (6-t)
即 解得t=2或4,
故经过2秒或4秒,△PBQ的面积等于8cm .
(3)不存在这样的时刻 t，使线段 PQ 恰好平分△ABC 的面积.理由如下：
设经过 y秒，线段 PQ 恰好平分△ABC 的面积，
∴△PBQ的面积等于 y)×2y=12,|即
∴△PBQ 的面积不会等于12cm ,故线段 PQ 不能平分△ABC 的面积.
■归纳总结 本题考查了一元二次方程的应用.关键是用含t的代数式准确表示BP 和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解.
一元二次方程根与系数的关系，可知α+β=-1②；将①式代入 得α -3β=2-3α-3β=2-3(α+β)=2-3×(-1)=5.
关键提醒 本题主要考查了方程的根的定义、一元二次方程根与系数的关系.解题关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解.
3.设
由①②,得
所以x，y是方程 的两个实数根，
因此△≥0,且
即 且9-M≥0,
解得1≤M≤9,
即 的最大值为9，最小值为1.
归纳总结 本题主要考查根与系数的关系及根的判别式.抓住两个式子的特点，巧用根与系数的关系列出方程，进一步利用根的判别式解答即可.
4.∵x ，x 是关于x的一元二次方程. 的两个实数根，
∴△≥0,即 (a-5)(a-1)≥0,∴a≥5或a≤1.
由韦达定理，得 而
即
整理，得 解得a=3或
∵a≥5或a≤1,
∴实数a的值为