巧用勾股定理求最短路径的长专题提优特训7 提优训练 （含答案）

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巧用勾股定理求最短路径的长专题提优特训7
题型1长方体上的最短路径问题
1.如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B 离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点B，需要爬行的最短路程是( ).
B. 5
2.如图，将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和10 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm.
3.一块长方体木块的各棱长如图所示，一只小蚂蚁在木块的一个顶点 A 处，一块糖在这个长方体上和小蚂蚁相对的顶点 B 处，小蚂蚁想尽快吃到糖，沿着长方体的表面向上爬.
(1)如果 D 是棱的中点，小蚂蚁沿“AD→DB”路线爬行，它从点 A 爬到点 B 所走的路程为多少
(2)你认为“AD→DB”是最短路线吗 如果你认为不是，请计算出最短的路程.
题型2 圆柱上的最短路径问题
4. 传统文化 葛藤绕木 (2024·山东泰安岱岳实验中学期中)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何 ”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上.
(1)若绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺
(2)若绕 n周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺
题型3 台阶上的最短路径问题
5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于100 cm,60 cm,20cm,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点 B 的最短路线有多长
1. B [解析]如图，将正面和右面展开,连接AB,
则BD=1+2=3,AD=4.
由勾股定理，得 故选 B.
2.5 [解析]由勾股定理，得底面对角线长 =10(cm)，则细木棒在盒中最长长度 =20(cm)，所以细木棒露在盒外面的最短长度=25-20=5(cm).
思路引导 细木棒在盒中最长长度放置方法是一端在底面一角，上端则靠在对角上，底面对角线与高和盒中细木棒部分组成一个直角三角形，先利用勾股定理得到底面对角线长，再利用勾股定理得到盒中细木棒长度，进而得到露在盒外的细木棒长度.
3.(1)从点 A 爬到点 B 所走的路程为AD+BD=
(2)不是，分三种情况讨论：
①将下面和右面展开到一个平面内，
②将前面与右面展开到一个平面内，
③将前面与上面展开到一个平面内，
∴小蚂蚁从点 A 爬到点B所走的最短路程为6 cm.
4.(1)如图所示,在 Rt△ABC 中,
BC=20,AC=5×3=15,
(尺).
故葛藤的最短长度为25尺.
(2)在Rt△ABC中,BC=20,AC=3n, (尺).故葛藤的最短长度为 尺.
■归纳总结 求最短路径问题主要有三种情况：一是通过计算比较解最短路径问题；二是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；三是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路径转化为两点间的距离，然后借助勾股定理求出最短路径(距离).
5.将台阶的上表面展开后如图所示.由题意，得∠C=90°,BC=3×60+3×20=240(cm),AC=100 cm.
由勾股定理，得
故一只蚂蚁从点A 出发经过台阶爬到点B 的最短路线长为260cm.