第 18 章勾股定理提优测评卷 （含答案）
文档属性
| 名称 | 第 18 章勾股定理提优测评卷 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 260.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-15 17:42:17 | ||
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文档简介
第 18 章勾股定理提优测评卷
时间:120分钟 总分:150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1. 如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A 为圆心,对角线AC的长为半径作弧，交数轴于点 M，则点 M 表示的数为( ).
A. 2 B.
2.以下列各组数为三角形的三边，能组成直角三角形的是( ).
A. 3 ,4 ,5 C. 11,12,13 D. 8,15,17
3.从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了.求竹竿有多长.设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程( ).
4.下列各组数中，是勾股数的是( ).
A. 1,2, B. 0.6,0.8,1 D. 9,40,41
5.已知直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为 均重叠部分的面积为S ，则( ).
大小无法确定
6.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( ).
A. CD,EF,GH B. AB,EF,GH C. AB,CD,GH D. AB,CD,EF
7.若3，x，5分别是一个直角三角形的三边长，则x的值是( ).
A. 4 C.4或34 D. 4或
8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)).图(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为( S ,若 则S 的值是( ).
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
9.如图，其中能够验证勾股定理的图形有( ).
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10.如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm 的点 N 处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是( ).
A. 5cm B. 4cm D. 15cm
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.若三角形的三边长a，b，c 满足 则此三角形的形状是 三角形.
12.传统文化《九章算术》勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦.”即 (a为勾，b为股，c为弦)，若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是
13.小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择,直径(单位: cm)分别是:34,34.5,37,39.5,40,42.如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落(鞋柜、衣柜与地面均无缝隙)，在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有 种.
14.如图，在等腰直角三角形ABC 中， 点 P 是 内一点，且 以CP 为直角边，点C 为直角顶点，作等腰直角三角形DCP.
(1)线段AB的长度为 ;
的面积为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
15. (2024·广东广州南沙区期末)如图，在 中， 以点A 为圆心，AC长为半径画弧交AB 于点D，求BD 的长.
16.如图，小肖同学从滑雪台A 处开始向下滑至B 处.已知滑雪台的高度AC为14米，滑雪台整体的水平距离BC 比滑雪台的长度AB 短2米，则滑雪台的长度AB 为多少米
四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
17. 如图,在四边形 ABCD 中, ,对角线AC,BD 相交于点O,且 于点D，若 求 的面积.
18.传统文化 赵爽弦图(2024·清远模拟)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”. Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c，大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：
(1)若(b=2a,则.
(2)如果大正方形的面积是13，a=2，求小正方形的面积.
五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
19.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 的顶点都在格点上.
(1)求四边形ABCD 的周长;
(2)连接AC，试判断△ACD的形状，并说明理由.
20.如图，在△ABC中，AD，AE 分别是高和角平分线.
(1)若∠BAC=86°,∠C=32°,求∠DAE 的度数;
(2)若AB=15,AC=20,AD=12,求证:∠BAC 是直角.
六、(本题满分12分)
21. 阅读:如图(1),在△ABC中,3∠A+∠B=180°,BC=8,AC=10,求AB 的长.
小明的思路:如图(2),作BE⊥AC于点E,在AC 的延长线上取点D,使得DE=AE,连接BD,易得∠A=∠D,△ABD 为等腰三角形,由3∠A+∠ABC=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°,易得∠BCA=2∠A,△BCD 为等腰三角形,依据已知条件可得AE 和AB 的长.
回答下列问题：
(1)在图(2)中,
(2)在△ABC中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c.如图(3),当3∠A+2∠B=180°时,用含a，c的式子表示b.
七、(本题满分12分)
22. [问题情境]
小刚遇到这样一个问题:如图(1),在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB,试判断BC与AC，AD 之间的数量关系.
[操作发现]
小刚发现，如图(2)，利用轴对称做一个变化，在BC上截取( ，连接DA'，得到一对全等的三角形，从而将问题解决.
请回答：(1)在图(2)中，小刚得到的全等三角形是△ ≌△ ；
(2)BC 与AC,AD 之间的数量关系是 .
[解决问题]
参考小刚思考问题的方法，解决问题：
如图(3),在四边形ABCD 中,AC平分∠BAD,BC=CD=5,AC=3 ,AD=2. 求四边形ABCD的面积.
八、(本题满分14分)
23. 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点 P 从点A 开始沿A→B 方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求 PQ 的长.
(2)当点Q 在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB 能形成等腰三角形
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(3)当点Q 在边CA 上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间t.
1. D [解析]由题意,得 故可得 由题意，知点 A 表示的数为-1，∴点 M 表示的数为 故选 D.
易错警示 在 Rt△ABC中利用勾股定理求出AC 的长，继而得出AM的长，但需要注意的是点A 表示的数为-1，所以点 M 表示的数要减去1，即为
2. D [解析] ，不符合题意； 不符合题意； 不符合题意； ，符合题意.故选 D.
3. B [解析]∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，
∴门框的宽为(x-4)尺,长为(x-2)尺,
∴可列方程为 故选 B.
4. D [解析]选项A，B，C的三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；选项 D中， 是勾股数，符合题意.故选 D.
■知识拓展 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方.
5. C [解析]∵直角三角形的三边a,b,c 满足c>a>b，∴该直角三角形的斜边为c.
故选 C.
■ 思路引导 本题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边是解题的关键.由直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，可知该直角三角形的斜边为c，则 所以 依次表示出 S 和S 进行比较即可得到问题的答案.
6. B [解析]设每个正方形的边长为1，则由勾股定理可得 易得 即能构成一个直角三角形三边的线段是AB,EF,GH.故选 B.
7. D [解析]当边长为x的边为直角边时，则5为斜边，由勾股定理，得 当边长为x的边为斜边时，由勾股定理，得 故选 D.
易错警示 本题易出现的错误是看到3，5分别是一个直角三角形的边长，就想到“勾3，股4，弦5”，运用勾股定理求得第三边长为4.其实在运用勾股定理时，斜边不一定是5，斜边也可能是所求的第三边.
8. B [解析]∵图中八个直角三角形全等，由图形可知，
又 故选 B.
9. D [解析]第一个图形：中间小正方形的面积( 化简，得 可以证明勾股定理；第二个图形：中间小正方形的面积(b— 化简，得 可以证明勾股定理；第三个图形：梯形的面积 化简，得 可以证
明勾股定理.故能够验证勾股定理的有3个.故选 D.
关键提醒本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键.
10. D [解析]①如图(1)，为圆柱体侧面展开图，
过点M作MA⊥AN 于点A，作出点 N 关于底面直径所在直线的对称点 N'，连接 MN'，
根据题意可知， 2+5=18(cm),
在 Rt△AMN'中,根据勾股定理,得
②如图(2)，为圆柱体侧面展开图，
过点 N 作NB⊥BM 于点B,作出点 M 关于底面直径所在直线的对称点 M'，连接 M'N，
根据题意，可知 5+2=12(cm),
在 Rt△BM'N 中,根据勾股定理,得
∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是15 cm.故选D.
解后反思 本题考查了平面展开——最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开，根据两点之间线段最短，转化为直角三角形利用勾股定理解答.
11.直角 [解析]将等式展开，得 c ，移项、整理，得 即该三角形为直角三角形.
12.4 [解析]由题意,得“弦”是
∵9<13<16,13-9=4,16-13=3,
∴13更接近于16,∴ 最接近的整数是4.
13.2 [解析]如图，过点 A，B分别作墙的垂线，交于点C,则AC=108-80=28(cm),BC=80--59=21(cm).
在Rt△ABC 中, 即 AB ,解得
∵扫地机能从角落自由进出，
∴扫地机的直径不大于 AB 长，即35cm，
∴小莹可选择的扫地机尺寸直径可以为34，34.5，共2种.
(2)1 [ 解析](1)如图,连接AD.
∵∠DCP=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠BCP.
在△ACD与△BCP 中,
∴△ACD≌△BCP(SAS).
∵∠AED=∠CEB,
∴∠ADB=∠ACB=90°.
∵∠DCP=90°,DC=PC=1,
∴BD=DP+BP=2
15.在 Rt△ABC中,AC=6,BC=8,
∵以点A 为圆心，AC长为半径画弧，交AB 于点 D，
∴AD=AC=6,
∴BD=AB-AD=10-6=4.
16.设AB的长为x米.则BC 的长为(x-2)米.
∵AC=14米,△ABC是直角三角形,∠C=90°,
解得x=50.
故滑雪台的长度AB 为50米.
归纳总结 本题考查勾股定理的实际应用，解答本题的关键是根据题意得到∠C=90°，从而利用勾股定理列方程解决问题.
17.∵BD⊥CD,∴∠CDO=90°.
在Rt△COD 中,由勾股定理,得
∵AD∥BC,∴S△ABD=S△ACD,
解后反思 本题考查了勾股定理、平行线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理，证明 是解题的关键.
18.(1)1:5 [解析]∵大正方形面积为c ,直角三角形面积为 ab，小正方形面积为((b-a) ,b=2a,
1:5.
(2)∵大正方形的面积
∴b=3(负值已经舍去),
∴小正方形的面积
19.(1)由题意知,
∴四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=
(2)△ACD 是直角三角形.理由如下：
)是直角三角形.
20.(1)∵AE 平分∠ABC,
∵AD⊥BC,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=58°-43°=15°.
(2)∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴BC=BD+DC=9+16=25.
21.(1)9 12
(2)如图,作BE⊥AC,交AC延长线于点E,在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，
则 BE 是线段AD的垂直平分线，
∴AB=BD,∠A=∠D.
∵3∠A+2∠ABC=180°,∠A+∠ABC+∠BCA=180°,∴2∠A+∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB=∠D+∠DBC,
∴2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC.
∵∠A=∠D,∴∠A+∠ABC=∠DBC,BD=AB=c,即∠DCB=∠DBC,∴DB=DC=c.
由题意，得
在 Rt△BEC中,
在 Rt△BEA 中,
即 整理，得
22.[操作发现](1)ACD A'CD
(2)BC=AC+AD
[解决问题]根据[操作发现]中小刚的解法，如图，在AB 上截取. ,连接CD',得到△ADC≌△AD'C,
∵BC=CD=5,
是等腰三角形.
过点C作CE⊥AB 于点E,∴BE=D'E.
设
∴在 Rt△ACE 中,由勾股定理,得
在 Rt△BCE 中,由勾股定理,得(
解得x=4,
故四边形ABCD 的面积为18.
■ 解后反思 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
23.(1)由题意,得 BQ=2×2=4(cm),BP=AB-AP=16-2×1=14(cm),∠B=90°,
(2)设出发 t 秒后，△PQB 为等腰三角形，由题意知,BQ=2t cm,BP=(16-t) cm,
根据题意,得2t=16-t,
解得 ，即出发 秒后，△PQB 能形成等腰三角形.
(3)∵∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,∴AC=20cm.
①当CQ=BQ时,如图(1),则∠C=∠CBQ.
∵∠ABC=90°,
∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,
∴∠A=∠ABQ,∴BQ=AQ=CQ,
∴CQ=AQ=10cm,∴BC+CQ=22cm,
∴2t=22,∴t=22÷2=11(秒);
②当CQ=BC时,如图(2),则BC+CQ=24cm,∴2t=24,∴t=24÷2=12(秒);
③当BC=BQ时,如图(3),
过点B 作BE⊥AC于点E,
则
∴CQ=2CE=14.4cm,∴BC+CQ=26.4cm,
∴2t=26.4,∴t=26.4÷2=13.2(秒).
综上所述,当 t 为11 秒或12秒或13.2 秒时,△BCQ为等腰三角形.
时间:120分钟 总分:150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1. 如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A 为圆心,对角线AC的长为半径作弧，交数轴于点 M，则点 M 表示的数为( ).
A. 2 B.
2.以下列各组数为三角形的三边，能组成直角三角形的是( ).
A. 3 ,4 ,5 C. 11,12,13 D. 8,15,17
3.从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了.求竹竿有多长.设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程( ).
4.下列各组数中，是勾股数的是( ).
A. 1,2, B. 0.6,0.8,1 D. 9,40,41
5.已知直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为 均重叠部分的面积为S ，则( ).
大小无法确定
6.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( ).
A. CD,EF,GH B. AB,EF,GH C. AB,CD,GH D. AB,CD,EF
7.若3，x，5分别是一个直角三角形的三边长，则x的值是( ).
A. 4 C.4或34 D. 4或
8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)).图(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为( S ,若 则S 的值是( ).
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
9.如图，其中能够验证勾股定理的图形有( ).
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10.如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm 的点 N 处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是( ).
A. 5cm B. 4cm D. 15cm
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.若三角形的三边长a，b，c 满足 则此三角形的形状是 三角形.
12.传统文化《九章算术》勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦.”即 (a为勾，b为股，c为弦)，若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是
13.小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择,直径(单位: cm)分别是:34,34.5,37,39.5,40,42.如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落(鞋柜、衣柜与地面均无缝隙)，在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有 种.
14.如图，在等腰直角三角形ABC 中， 点 P 是 内一点，且 以CP 为直角边，点C 为直角顶点，作等腰直角三角形DCP.
(1)线段AB的长度为 ;
的面积为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
15. (2024·广东广州南沙区期末)如图，在 中， 以点A 为圆心，AC长为半径画弧交AB 于点D，求BD 的长.
16.如图，小肖同学从滑雪台A 处开始向下滑至B 处.已知滑雪台的高度AC为14米，滑雪台整体的水平距离BC 比滑雪台的长度AB 短2米，则滑雪台的长度AB 为多少米
四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
17. 如图,在四边形 ABCD 中, ,对角线AC,BD 相交于点O,且 于点D，若 求 的面积.
18.传统文化 赵爽弦图(2024·清远模拟)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”. Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c，大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：
(1)若(b=2a,则.
(2)如果大正方形的面积是13，a=2，求小正方形的面积.
五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
19.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 的顶点都在格点上.
(1)求四边形ABCD 的周长;
(2)连接AC，试判断△ACD的形状，并说明理由.
20.如图，在△ABC中，AD，AE 分别是高和角平分线.
(1)若∠BAC=86°,∠C=32°,求∠DAE 的度数;
(2)若AB=15,AC=20,AD=12,求证:∠BAC 是直角.
六、(本题满分12分)
21. 阅读:如图(1),在△ABC中,3∠A+∠B=180°,BC=8,AC=10,求AB 的长.
小明的思路:如图(2),作BE⊥AC于点E,在AC 的延长线上取点D,使得DE=AE,连接BD,易得∠A=∠D,△ABD 为等腰三角形,由3∠A+∠ABC=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°,易得∠BCA=2∠A,△BCD 为等腰三角形,依据已知条件可得AE 和AB 的长.
回答下列问题：
(1)在图(2)中,
(2)在△ABC中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c.如图(3),当3∠A+2∠B=180°时,用含a，c的式子表示b.
七、(本题满分12分)
22. [问题情境]
小刚遇到这样一个问题:如图(1),在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB,试判断BC与AC，AD 之间的数量关系.
[操作发现]
小刚发现，如图(2)，利用轴对称做一个变化，在BC上截取( ，连接DA'，得到一对全等的三角形，从而将问题解决.
请回答：(1)在图(2)中，小刚得到的全等三角形是△ ≌△ ；
(2)BC 与AC,AD 之间的数量关系是 .
[解决问题]
参考小刚思考问题的方法，解决问题：
如图(3),在四边形ABCD 中,AC平分∠BAD,BC=CD=5,AC=3 ,AD=2. 求四边形ABCD的面积.
八、(本题满分14分)
23. 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点 P 从点A 开始沿A→B 方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求 PQ 的长.
(2)当点Q 在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB 能形成等腰三角形
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(3)当点Q 在边CA 上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间t.
1. D [解析]由题意,得 故可得 由题意，知点 A 表示的数为-1，∴点 M 表示的数为 故选 D.
易错警示 在 Rt△ABC中利用勾股定理求出AC 的长，继而得出AM的长，但需要注意的是点A 表示的数为-1，所以点 M 表示的数要减去1，即为
2. D [解析] ，不符合题意； 不符合题意； 不符合题意； ，符合题意.故选 D.
3. B [解析]∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，
∴门框的宽为(x-4)尺,长为(x-2)尺,
∴可列方程为 故选 B.
4. D [解析]选项A，B，C的三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；选项 D中， 是勾股数，符合题意.故选 D.
■知识拓展 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方.
5. C [解析]∵直角三角形的三边a,b,c 满足c>a>b，∴该直角三角形的斜边为c.
故选 C.
■ 思路引导 本题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边是解题的关键.由直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，可知该直角三角形的斜边为c，则 所以 依次表示出 S 和S 进行比较即可得到问题的答案.
6. B [解析]设每个正方形的边长为1，则由勾股定理可得 易得 即能构成一个直角三角形三边的线段是AB,EF,GH.故选 B.
7. D [解析]当边长为x的边为直角边时，则5为斜边，由勾股定理，得 当边长为x的边为斜边时，由勾股定理，得 故选 D.
易错警示 本题易出现的错误是看到3，5分别是一个直角三角形的边长，就想到“勾3，股4，弦5”，运用勾股定理求得第三边长为4.其实在运用勾股定理时，斜边不一定是5，斜边也可能是所求的第三边.
8. B [解析]∵图中八个直角三角形全等，由图形可知，
又 故选 B.
9. D [解析]第一个图形：中间小正方形的面积( 化简，得 可以证明勾股定理；第二个图形：中间小正方形的面积(b— 化简，得 可以证明勾股定理；第三个图形：梯形的面积 化简，得 可以证
明勾股定理.故能够验证勾股定理的有3个.故选 D.
关键提醒本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键.
10. D [解析]①如图(1)，为圆柱体侧面展开图，
过点M作MA⊥AN 于点A，作出点 N 关于底面直径所在直线的对称点 N'，连接 MN'，
根据题意可知， 2+5=18(cm),
在 Rt△AMN'中,根据勾股定理,得
②如图(2)，为圆柱体侧面展开图，
过点 N 作NB⊥BM 于点B,作出点 M 关于底面直径所在直线的对称点 M'，连接 M'N，
根据题意，可知 5+2=12(cm),
在 Rt△BM'N 中,根据勾股定理,得
∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是15 cm.故选D.
解后反思 本题考查了平面展开——最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开，根据两点之间线段最短，转化为直角三角形利用勾股定理解答.
11.直角 [解析]将等式展开，得 c ，移项、整理，得 即该三角形为直角三角形.
12.4 [解析]由题意,得“弦”是
∵9<13<16,13-9=4,16-13=3,
∴13更接近于16,∴ 最接近的整数是4.
13.2 [解析]如图，过点 A，B分别作墙的垂线，交于点C,则AC=108-80=28(cm),BC=80--59=21(cm).
在Rt△ABC 中, 即 AB ,解得
∵扫地机能从角落自由进出，
∴扫地机的直径不大于 AB 长，即35cm，
∴小莹可选择的扫地机尺寸直径可以为34，34.5，共2种.
(2)1 [ 解析](1)如图,连接AD.
∵∠DCP=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠BCP.
在△ACD与△BCP 中,
∴△ACD≌△BCP(SAS).
∵∠AED=∠CEB,
∴∠ADB=∠ACB=90°.
∵∠DCP=90°,DC=PC=1,
∴BD=DP+BP=2
15.在 Rt△ABC中,AC=6,BC=8,
∵以点A 为圆心，AC长为半径画弧，交AB 于点 D，
∴AD=AC=6,
∴BD=AB-AD=10-6=4.
16.设AB的长为x米.则BC 的长为(x-2)米.
∵AC=14米,△ABC是直角三角形,∠C=90°,
解得x=50.
故滑雪台的长度AB 为50米.
归纳总结 本题考查勾股定理的实际应用，解答本题的关键是根据题意得到∠C=90°，从而利用勾股定理列方程解决问题.
17.∵BD⊥CD,∴∠CDO=90°.
在Rt△COD 中,由勾股定理,得
∵AD∥BC,∴S△ABD=S△ACD,
解后反思 本题考查了勾股定理、平行线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理，证明 是解题的关键.
18.(1)1:5 [解析]∵大正方形面积为c ,直角三角形面积为 ab，小正方形面积为((b-a) ,b=2a,
1:5.
(2)∵大正方形的面积
∴b=3(负值已经舍去),
∴小正方形的面积
19.(1)由题意知,
∴四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=
(2)△ACD 是直角三角形.理由如下：
)是直角三角形.
20.(1)∵AE 平分∠ABC,
∵AD⊥BC,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=58°-43°=15°.
(2)∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴BC=BD+DC=9+16=25.
21.(1)9 12
(2)如图,作BE⊥AC,交AC延长线于点E,在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，
则 BE 是线段AD的垂直平分线，
∴AB=BD,∠A=∠D.
∵3∠A+2∠ABC=180°,∠A+∠ABC+∠BCA=180°,∴2∠A+∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB=∠D+∠DBC,
∴2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC.
∵∠A=∠D,∴∠A+∠ABC=∠DBC,BD=AB=c,即∠DCB=∠DBC,∴DB=DC=c.
由题意，得
在 Rt△BEC中,
在 Rt△BEA 中,
即 整理，得
22.[操作发现](1)ACD A'CD
(2)BC=AC+AD
[解决问题]根据[操作发现]中小刚的解法，如图，在AB 上截取. ,连接CD',得到△ADC≌△AD'C,
∵BC=CD=5,
是等腰三角形.
过点C作CE⊥AB 于点E,∴BE=D'E.
设
∴在 Rt△ACE 中,由勾股定理,得
在 Rt△BCE 中,由勾股定理,得(
解得x=4,
故四边形ABCD 的面积为18.
■ 解后反思 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
23.(1)由题意,得 BQ=2×2=4(cm),BP=AB-AP=16-2×1=14(cm),∠B=90°,
(2)设出发 t 秒后，△PQB 为等腰三角形，由题意知,BQ=2t cm,BP=(16-t) cm,
根据题意,得2t=16-t,
解得 ，即出发 秒后，△PQB 能形成等腰三角形.
(3)∵∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,∴AC=20cm.
①当CQ=BQ时,如图(1),则∠C=∠CBQ.
∵∠ABC=90°,
∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,
∴∠A=∠ABQ,∴BQ=AQ=CQ,
∴CQ=AQ=10cm,∴BC+CQ=22cm,
∴2t=22,∴t=22÷2=11(秒);
②当CQ=BC时,如图(2),则BC+CQ=24cm,∴2t=24,∴t=24÷2=12(秒);
③当BC=BQ时,如图(3),
过点B 作BE⊥AC于点E,
则
∴CQ=2CE=14.4cm,∴BC+CQ=26.4cm,
∴2t=26.4,∴t=26.4÷2=13.2(秒).
综上所述,当 t 为11 秒或12秒或13.2 秒时,△BCQ为等腰三角形.