19.4 综合与实践 多边形的镶嵌提优训练 （含答案）
文档属性
| 名称 | 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌提优训练 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 76.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-16 06:02:48 | ||
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文档简介
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19.4 综合与实践 多边形的镶嵌
1.小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为要使地面铺满，小飞应选择另一种( )形状的地砖.
A.正三角形 B.正方形
C.正五边形 D. 正六边形
2.如果铺满地面，那么用正方形和等边三角形，正六边形三种组合的比例应为 .
3.某校“智慧数学教室”重新装修，如图是用边长相等的正三角形和正 n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为( ).
A. 14 B. 12 C. 11 D. 10
4.新情境 背景墙上的几何图案 (2024·临夏州二模)春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型.如图，这个图案是由正六边形 ABCDEF、正方形 EDMN 及△FEN拼成的(不重叠，无缝隙)，则∠EFN 的度数是 .
5.如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，则第6层中含有正三角形个数是 .
6.两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A 的边数是多边形B 的边数的2倍.
(1)若多边形 A 的内角和是多边形B 的内角和的3倍，求多边形A 和多边形B 的边数；
(2)利用边长相等的正多边形 A 型瓷砖和正多边形B 型瓷砖能够镶嵌(不重叠、无缝隙地密铺)地面，在一个顶点的周围有 a 块正多边形A 型和b 块正多边形B 型瓷砖(ab≠0),求a+b的值.
一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角的大小，并画出这样的凸十一边形的草图.
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌
1. B [解析]正八边形、正三角形内角分别为135°,60°,显然不能构成360°的周角，故不能铺满，选项 A不符合题意；正方形、正八边形内角分别为90°，135°，由于135×2+90=360,故能铺满,选项B符合题意;正八边形的内角为135°，正五边形的内角为108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，选项C不符合题意；正六边形和正八边形内角分别为120°，135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，选项D不符合题意.故选 B.
■思路引导 正八边形的一个内角为 135°，依次判断所给的选项中的正多边形其内角与正八边形是否构成360°,即可得解.
2.2：1：1 [解析]设铺满地面需x个正方形，y个等边三角形,z个正六边形,则90x+60y+120z=360,有正整数解x=2,y=1,z=1.故组合比例为2:1: 1.
3. B [解析]∵正三角形的一个内角是60°,∴正 n边形的一个内角为 ∴正 n边形的一个外角为 12.故选 B.
■关键提醒 本题考查了多边形的内角与外角，掌握镶嵌满足的条件：在小正方形的顶点处可以拼成360°是解题的关键.
4.15° [解析]∵正六边形的每个内角为120°，正方形每个内角为 90°,∴∠DEF=120°,∠DEN =90°,∴∠FEN=150°.∵DE=EF,DE=EN,∴EF=EN,
5.66 [解析]第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，每一层比上一层多12个，故第6层中含有正三角形的个数是6+12×5=66(个).
6.(1)设多边形 B 的边数为n，则多边形 A 的边数是2n.
∵多边形A 的内角和是多边形B 的内角和的3倍，
解得n=4,∴2n=2×4=8.
故多边形A 的边数是8，多边形 B 的边数是4.
(2)∵ab≠0,∴a≠0,b≠0.
∵正四边形和正八边形内角分别为90°，135°，由题意,得135a+90b=360,
∴3a+2b=8,∴a=2,b=1,∴a+b=2+1=3.
思路引导 本题考查了平面镶嵌，多边形的内角和和问题.(1)根据多边形A 的内角和是多边形 B 的内角和的3倍列方程即可解答；(2)根据正多边形的组合进行平面镶嵌时，位于同一顶点处的几个角之和为360°列等式即可解答.
7.因为凸十一边形是由正三角形和正方形拼成的，所以各内角的大小只可能是60°,90°,120°,150°.设这4个角的个数分别为x，y，z，w，
则
化简,得3x+2y+z=1,
其非负整数解为x=y=0,z=1,w=10.
这说明，所求凸十一边形一个角是120°，它由两个正三角形的内角拼成，其余10个角都是 150°，它们由一个正三角形的内角和一个正方形的内角拼成.如图所示.
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌
1.小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为要使地面铺满，小飞应选择另一种( )形状的地砖.
A.正三角形 B.正方形
C.正五边形 D. 正六边形
2.如果铺满地面，那么用正方形和等边三角形，正六边形三种组合的比例应为 .
3.某校“智慧数学教室”重新装修，如图是用边长相等的正三角形和正 n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为( ).
A. 14 B. 12 C. 11 D. 10
4.新情境 背景墙上的几何图案 (2024·临夏州二模)春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型.如图，这个图案是由正六边形 ABCDEF、正方形 EDMN 及△FEN拼成的(不重叠，无缝隙)，则∠EFN 的度数是 .
5.如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，则第6层中含有正三角形个数是 .
6.两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A 的边数是多边形B 的边数的2倍.
(1)若多边形 A 的内角和是多边形B 的内角和的3倍，求多边形A 和多边形B 的边数；
(2)利用边长相等的正多边形 A 型瓷砖和正多边形B 型瓷砖能够镶嵌(不重叠、无缝隙地密铺)地面，在一个顶点的周围有 a 块正多边形A 型和b 块正多边形B 型瓷砖(ab≠0),求a+b的值.
一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角的大小，并画出这样的凸十一边形的草图.
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌
1. B [解析]正八边形、正三角形内角分别为135°,60°,显然不能构成360°的周角，故不能铺满，选项 A不符合题意；正方形、正八边形内角分别为90°，135°，由于135×2+90=360,故能铺满,选项B符合题意;正八边形的内角为135°，正五边形的内角为108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，选项C不符合题意；正六边形和正八边形内角分别为120°，135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，选项D不符合题意.故选 B.
■思路引导 正八边形的一个内角为 135°，依次判断所给的选项中的正多边形其内角与正八边形是否构成360°,即可得解.
2.2：1：1 [解析]设铺满地面需x个正方形，y个等边三角形,z个正六边形,则90x+60y+120z=360,有正整数解x=2,y=1,z=1.故组合比例为2:1: 1.
3. B [解析]∵正三角形的一个内角是60°,∴正 n边形的一个内角为 ∴正 n边形的一个外角为 12.故选 B.
■关键提醒 本题考查了多边形的内角与外角，掌握镶嵌满足的条件：在小正方形的顶点处可以拼成360°是解题的关键.
4.15° [解析]∵正六边形的每个内角为120°，正方形每个内角为 90°,∴∠DEF=120°,∠DEN =90°,∴∠FEN=150°.∵DE=EF,DE=EN,∴EF=EN,
5.66 [解析]第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，每一层比上一层多12个，故第6层中含有正三角形的个数是6+12×5=66(个).
6.(1)设多边形 B 的边数为n，则多边形 A 的边数是2n.
∵多边形A 的内角和是多边形B 的内角和的3倍，
解得n=4,∴2n=2×4=8.
故多边形A 的边数是8，多边形 B 的边数是4.
(2)∵ab≠0,∴a≠0,b≠0.
∵正四边形和正八边形内角分别为90°，135°，由题意,得135a+90b=360,
∴3a+2b=8,∴a=2,b=1,∴a+b=2+1=3.
思路引导 本题考查了平面镶嵌，多边形的内角和和问题.(1)根据多边形A 的内角和是多边形 B 的内角和的3倍列方程即可解答；(2)根据正多边形的组合进行平面镶嵌时，位于同一顶点处的几个角之和为360°列等式即可解答.
7.因为凸十一边形是由正三角形和正方形拼成的，所以各内角的大小只可能是60°,90°,120°,150°.设这4个角的个数分别为x，y，z，w，
则
化简,得3x+2y+z=1,
其非负整数解为x=y=0,z=1,w=10.
这说明，所求凸十一边形一个角是120°，它由两个正三角形的内角拼成，其余10个角都是 150°，它们由一个正三角形的内角和一个正方形的内角拼成.如图所示.