浙教版数学期末总复习学案：一元二次方程
一．一元二次方程的概念：形如：叫一元二次方程。
例题1.一元二次方程：有一个零根，则（ ）
A. B. C. D.
巩固练习：
1.关于m的一元二次方程的一个根为2，则（ ）
A. B. C. D.
2.是关于的一元二次方程，则的值应为（ ）
A.＝2 B. C. D.无法确定
3.已知2是关于x的方程－2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为( )21世纪教育网版权所有
A.10 B.14 C.10或14 D.8或10
4.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为－1，则另一个根为（ ）
A．－2 B．2 C．4 D．－3
5.设 为的两个实根，则__________
二．一元二次方程根与系数的关系：
（1）一元二次方程：，①有两个不相等的实数根：且；②有两个相等的实数根：且；③无实数根：且；
（2）一元二次方程：，两根为，
例题2.若关于x的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为
（ ）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
巩固练习：
6.下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A. B. C． D．
7.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
8.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是（ ）A．5 B．7 C．5或7 D．10
9.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（ ）
10.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例题3已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．
(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
巩固练习：
11.已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x－m(m＋2)＝0.
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若x＝－2是此方程的一个根，求实数m的值．
12.已知关于x的方程x2－4x＋3a－1＝0有两个实数根．
(1)求实数a的取值范围；(2)若a为正整数，求方程的根．
13.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；(2)若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
14.已知关于x的方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．
15.已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求k的值．
例题4.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？21教育网
巩固练习：
16.某工厂一种产品2013年的产量是300万件，计划2015年的产量达到363万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；（2）2014年这种产品产量应达到多少万件？21cnjy.com
17.某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．
例题5.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
巩固练习：
18.已知：关于的方程
（1）不解方程：判断方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求的值.
19.为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米.
（1）用含的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
浙教版数学期末总复习学案：一元二次方程答案
一．一元二次方程 的概念：形如：叫一元二次方程。
例题1.解析：一元二次方程有一零根，只要常数项等于零即可，再考虑二次项系数不为零即可。
【解答】：因为一元二次方程：有一个零根，所以
，解方程得：，由于方程为一元二次方程，所以
所以满足条件的，故选择B
【分析】：本题的关键理解一元二次方程序的定义，二次项系数不等于零。
巩固练习：
1.答案：C
解析：将代入，得：，两边同除以得：
，再两边平方即可解决问题。
【解答】：因为m的一元二次方程的一个根为2，代入得：
，方程两边同除以得：，两边平方得：
故选择C
2.答案：C
解析：由题意得，解得.故选C.
答案：B
解析：将x=2代入方程可得4－4m+3m=0，解得m=4，则此时方程为－8x+12=0，解得方程的根为=2， =6，则三角形的三边长为2、2、6，或者为2、6、6.因为2+2＜6，所以无法构成三角形.因此三角形的三边长分别为2、6、6，所以周长为2+6+6=14.故选择B
4.答案：A
解析：根据根与系数的关系得，∴－1+，∴.故选择A
答案：
解析：因为 为的两个实根，所以，，
所以
故答案为：
二．一元二次方程根与系数的关系：
（1）一元二次方程：，①有两个不相等的实数根：且；②有两个相等的实数根：且；③无实数根：且；
（2）一元二次方程：，两根为，
例题2.解析：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，∴且，
∴整数的最大值为0．故选择B．
巩固练习：
答案：C
解析：因为，，方程无实数根，故A选项错误；因为，，方程无实数根，故B选项错误；因为，，方程有两相等的实数根，故C选项符合要求；因为，，方程有两个不相等的实数根，故D不符合要求，故选择Cwww.21-cn-jy.com
7.答案：
解析：依题意得解得且.故选B．
8.答案：B
解析：解方程，，解得
∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；
∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选B．
9.答案：B
解析：∵有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选B．
10.答案：C
解析：①两个整数根且乘积为正，两根同号，所以，
，这两个方程的根都为负数，故①正确；
②由根的判别式得：，，
，故②正确；
③，
都是负整数，不妨令，则，不在与1之间，故③错误。故选择C
例题3.解析：(1)证明：可知Δ＝b2－4ac＝(m＋2)2－4×2×m＝m2＋4m＋4－8m
＝m2－4m＋4＝(m－2)2≥0.∴方程总有两个实数根．
(2)由公式法解方程可得：，
由题意得方程的两个实数根均为整数，∴x2必为整数．
又∵m为正整数，∴m＝1或2.
巩固练习：
11.解析：(1)证明：＝4m2－8m＋4＋4m2＋8m＝8m2＋4.
∵8m2≥0，∴8m2＋4＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵x＝－2是此方程的一个根，
∴(－2)2－2×(－2)(m－1)－m(m＋2)＝0.
整理得m2－2m＝0.解得m1＝0，m2＝2.
12．解析：(1)∵关于x的方程x2－4x＋3a－1＝0有两个实数根，
∴Δ＝(－4)2－4(3a－1)≥0. 解得a≤.
∴a的取值范围为a≤.
(2)∵a≤，且a为正整数，∴a＝1.
∴方程x2－4x＋3a－1＝0可化为x2－4x＋2＝0.
∴此方程的根为x1＝，x2＝.
13．解析：(1)Δ＝(－6)2－4(k＋3)＝36－4k－12＝－4k＋24.
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴－4k＋24>0. 解得k<6.
(2)∵k<6且k为大于3的整数，∴k＝4或5.
①当k＝4时，方程x2－6x＋7＝0的根不是整数．
∴k＝4不符合题意．
②当k＝5时，方程x2－6x＋8＝0的根为x1＝2，x2＝4均为整数．
∴k＝5符合题意．综上所述，k的值是5.
14.解析：(1)证明：∵k≠0，
是关于x的一元二次方程．
∵，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)由求根公式，得， ∴x1＝，x2＝
∵方程的两个实数根都是整数，且k是整数，∴k＝－1或k＝1.
15.解析：(1)证明：Δ＝(4k＋1)2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2.
∵kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0是一元二次方程，∴k≠0，
∵k是整数，∴k≠，即2k－1≠0，∴Δ＝(2k－1)2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)解方程得
∴x＝3或x＝1＋.
∵k是整数，方程的根都是整数，∴k＝1或k＝－1.
例题4.解析：设降价x元，则售价为(60-x)元，销量为(300+20x)件，
根据题意，得(60-x-40)(300+20x)=6080，解得=1,=4.
又要顾客得实惠，故取x=4，即定价为56元.
答：应将销售单价定为56元.
16.解析：（1）根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为x，则第一年的常量是300（1+x），第二年的产量是300（1+x）2，即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量．（2）2014年的产量是300（1+x）．21教育网
【解答】：（1）2013年到2015年这种产品产量的年增长率x，则
300（1+x）2=363，解得 x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）．
答：2013年到2015年这种产品产量的年增长率10%．
（2）2014年这种产品的产量为：300×（1+0.1）=330（万件）．
答：2014年这种产品的产量应达到330万件．
17.解析：（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．
【解答】：解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）（1+x）万元．则2500（1+x）（1+x）=3025，21cnjy.com
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．
【分析】：本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
例题5解析：（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．21·cn·jy·com
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【解答】：解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
解得：
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
【分析】：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
巩固练习：
18解析：（1）找出方程a、b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值.21世纪教育网版权所有
【解答】：（1）（1）∵a=1，b=2m，c=m2－1，
∵△=b2－4ac=（2m）2－4×1×（m2－1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2－1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2－1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+m2－1=0，
解得:m=－4或m=－2．
19.解析：（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；
（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写出自变量的取值范围即可．
