5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 教学设计（表格式）

教学设计
课题 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课型 新授课 章/单元复习课 专题复习课 习题/试卷讲评课 学科实践活动课 其他
教学内容分析
对于画正弦函数的图象，教材突出了单位圆的作用，充分利用了三角函数周期性的特点，从画函数图象上任一点出发，明确作图的原理，再画出具有代表性的点，初步感受图象的特点，最后画出足够多的点，得到对正弦图象的直观认识。借助已知的直线函数图象来画余弦函数的图象，加强了两者的联系，体现了化归思想。
学习者分析
本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦 函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数 的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用。
学习目标确定
1.理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法，培养逻辑推理、直观想象的核心素养； 2.通过利用y=sinx, x∈R的图象，作出y=cosx, x∈R的图象的方法，渗透数形结合和化归的数学思想，培养逻辑推理的核心素养； 3.通过正弦函数与余弦函数的图象的应用，提升直观想象的核心素养。
学习重点难点
重点：正弦函数、余弦函数的图象的画法及应用； 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．
学习评价设计
（1）学生能先根据正弦函数的定义绘制一个点，再绘制其他等分点，进而绘制出正弦函数在一个周期内的图象，最后通过平移得到正弦函数的图象；能说出正弦函数图象的特点，并能用五点法绘制正弦函数的图象． （2）学生能用图象变换的方法，由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象，并能就一个具体的点清晰地解释图象的变换方式及原因：能用“五点法”绘制余弦函数的图象．
学习活动设计
过程学习内容与教师活动（引领性问题）学生任务或学习活动设计设计意图或评价目标情境引入内容1. （创设情境） 简谐运动的图象实验 教师活动：（1）将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象. （2）【想一想】通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数图象的直观印象是怎样的？有表达式么？大致有什么函数性质？学生任务1. 回顾以前学过的物理知识，进一步学习正余弦函数的图象。 学生学习活动： 正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线；有，y=sinx,x∈R，y=cosx,x∈R;也有单调性，对称性等。 设计意图：通过实验观察，让学生与学过的简谐振动联系起来，体会学科之间相互融合，交叉学习。 评价目标：提升数学直观想象核心素养。绘制一个周期的正弦曲线内容2. 探索交流，解决问题 问题1：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点．对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值并画出点T( 师生活动：教师引导学生，根据定义分析确定，对应的几何量． 问题2：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，类比指数函数、对数函数图象的画法，接下来，如何画出函数，的图象？你能想到什么办法？ 师生活动：学生给出设想，选择一种或者多种适合的方法实施． 预设的答案： 方案1：在区间内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接． 方案2：为方便操作，可以在区间内取等分点，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接． 追问：这两种绘制方法的异同是什么？（两种方法本质相同，在信息技术条件支持下都容易实现，在手工操作的条件下，用方案2比较可行） 师生活动：学生用方案2绘制函数图象，教师借助信息技术，用方案1绘制函数图象． 利用信息技术，可使在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（，）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数， ∈［0,2π］的图象. 学生任务2. 回顾正弦函数的定义。 学生学习活动： 学生用“手工细线缠绕”的方法，使用自制教具完成． 具体步骤：找一根没有弹性的细线，在x轴上量出横坐标的长度，然后将长度为的细线以为起点沿逆时针方向缠绕在单位圆上，细线的末端就是，于是图象上的点随之确定． 学生任务3. 的值分别为, , ,…2π时，对应描出T点。 学生学习活动：根据单位圆描点。 设计意图：（通过学生完成任务2，能描出点 T（，），为后面任务3做准备）。评价目标：提升数学逻辑推理，直观想象数学核心素养。 设计意图：确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷； 评价目标：提升逻辑推理数学核心素养。 绘制正弦曲线、余弦曲线内容3. 正弦函数的图象 问题 3：根据函,的图象，你能想象正弦函数，的图象吗？依据是什么？画出该函数的图象． 师生活动：学生画图，教师予以指导． 学生任务4.回顾学过的诱导公式，并利用上面问题得到的部分图象，延伸出整个正弦函数的图象。 学生学习活动： 由诱导公式一可知，函数， ∈ ［２kπ，２(k＋1)π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与， ∈［0,2π］的图象形状完全一致．图2设计意图：通过该部分的学习，让学生联系之前的知识，温故而知新，并培养说理的习惯； 评价目标：提升逻辑推理数学核心素养。小结：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．设计意图：培养学生概括总结的表达能力。问题4：如何画出函数，图象的简图？ 师生活动：教师提出问题，引导学生观察图2，并说出他们的想法． 学生任务5.在函数，的图象上，找到五个点，，，，在确定图象形状时起关键作用，因此只要描出这五个点。设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法；评价目标：提升直观想象，逻辑推理数学核心素养。 绘制余弦曲线内容4. 余弦函数的图象 问题5：如何画出余弦函数的图象？ 师生活动：学生可能会类比正弦函数图象的画法，提出用类似的方法画余弦函数的图象，对此教师应予以肯定，并进一步提出追问的问题． 追问（1）：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数．诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化．相应地，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象？ 师生活动：学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据，教师引导学生通过比较进行选择．从数的角度看，可以选择关系．记，则．因此函数的图象，可以看作将函数的图象上的点向左平移个单位得到． 追问（2）：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？ 师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范．教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析，得到图象之后还可以再利用图象进行验证． 预设的答案：设是函数图象上任意一点，则有． 令，则，即在函数图象上有对应点． 比较两个点：与．因为，即． 所以点可以看做是点向左平移个单位得到的，只要将函数图象上的点向左平移个单位可得到函数的图象学生任务6. 思考正弦函数与余弦函数的密切相关性．联系诱导公式相互转换。 学生学习活动： 根据已学的正弦函数图象得到余弦函数的图象。 设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两个函数图象之间的联系性的认识； 评价目标：提升数学直观想象，逻辑推理数学核心素养。 问题7：类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何作出余弦函数的简图？ 追问：余弦函数在区间上相应的五个关键点是哪些？学生任务7. 类比正弦函数，找出对应的余弦函数五点。 学生学习活动： 请将它们的坐标填入下表，然后作出，的简图． 设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”． 例题讲解例题讲解： 例1画出下列函数的简图： （1），； （2），． 师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答． 【思考】你能利用函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cos x，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cos x，x∈[0,2π] 的图象？ 解：（1）按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来 （2）按五个关键点列表： 学生任务8.能够通过变换得到函数图象。 学生学习活动： 将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位，得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象； 将函数y＝cos x，x∈[0,2π] 图象关于x轴对称得到y＝-cos x，x∈[0,2π] 的图象。 设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基技能．通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫． 【类题通法】简单三角函数图像画法 1、五点作图法：掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点. 2、图象变换 巩固练习：教科书第200页——1、2学生任务9. 1、五点作图法： 2、图象变换： 学生学习活动： 五点作图法： 在函数，的图象上，五个点，，，，； 在函数，的图象上，五个点，，，，； 2、图象变换设计意图：通过总结，让学生对知识点掌握更清晰。 课堂小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，回答下面的问题： （1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？ （2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？余弦函数呢？ （1）正余弦曲线是具有相同形状的“波浪形”曲线． （2）根据定义得到图象，然后由诱导公式将图象平移得到整个图象，最后用“五点法”作简图。余弦函数的图象由正弦函数的图象平移得到。设计意图：过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解．
板书设计
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 1、正弦函数的图象 3、余弦函数图象 4、例题讲解： 作图法： 五点法作简图； 变换法