5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
普通高中数学 人教版（2019） 必修第一册
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
第五章 三角函数
登高揽胜 拓界展怀
1.学习内容分析
学习内容分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第四节《三角函数的图象与性质》。以下是本节的课时安排：
课时内容 正弦函数、余弦函数的图象 正弦函数、余弦函数的性质 正切函数的图象与性质
所在位置 教材第196页 教材第201页 教材第209页
新教材内容分析 对于画正弦函数的图象，教材突出了单位圆的作用，充分利用了三角函数周期性的特点，从画函数图象上任一点出发，明确作图的原理，再画出具有代表性的点，初步感受图象的特点，最后画出足够多的点，得到对正弦图象的直观认识。借助已知的正弦函数图象来画余弦函数的图象，加强了两者的联系，体现了化归思想。 借助对图象特征的观察获取函数的性质是一个基本方法。教材通过探究，引导学生明确三角函数性质的研究内容，选择适当的研究方法。 教材首先通过诱导公式，先从代数的角度获得正切函数的周期性与奇偶性，将正切函数在整个定义域内的性质归结为区间 上的图象与性质，利用正切函数的定义，可以得到正切函数值的变化趋势，从而确定函数的单调性，体现了数形结合的思想。
核心素养培养 通过正弦余弦函数的图象及应用，提升逻辑推理、直观想象的核心素养. 通过图象，引导学生探究正弦、余弦函数的性质，培养直观想象的核心素养。 通过图象，引导学生探究正切函数的性质，培养直观想象的核心素养。
教学主线 三角函数的图象
目标引领 逐个击破
2.学习目标
学习目标
1. 理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法，培养逻辑推理、直观想象的核心素养；
2.通过利用y=sinx, x∈R的图象，作出y=cosx,x∈R的图象的方法，培养逻辑推理的核心素养。
3.通过正弦函数与余弦函数的图象的应用，提升直观想象的核心素养。
突出重点 攻克疑难
3.学习重点难点
重点：正弦函数、余弦函数的图象的画法及应用；
难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.图(2)就是某个简谐运动的图象.
通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数图象的直观印象是怎样的？想一想，这两个函数有表达式么？大致有什么函数性质？
【想一想】
【提示】正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线；有。y=sinx,x∈R;y=cosx,x∈R;也有单调性，对称性等。
（一）新知导入
2.合作探究，展示反馈
【探究1】从画函数，x∈[0,2π］的图象开始．在[0,2π］上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值，并画出点 T，）？
【提示】在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为 A（１，０）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点 T（）.
（一）新知导入
【探究2】若把x轴上从０到２π这一段分成１２等份，使的值分别为0, , , … 2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，你能否按上述画点T（）的方法，画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点？
（一）新知导入
【探究3】如何作出函数， x∈［0,2π］的图象？
【提示】利用信息技术，可使在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点 T（）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数，x∈[0,2π］的图象.
方案1：在区间[0,2π]内任取足够多的横坐标x0的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．
方案2：为方便操作，可以在区间[0,2π]内取等分点，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．
思考：这两种绘制方法的异同是什么？小组内说一说。
（二）正弦、余弦函数的图象
【思考1】根据函数x∈[0,2π]的图象，你能作出函数
x∈R 的图象吗？
【提示】由诱导公式一可知，函数x∈ [２kπ，２(k＋1)π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数， ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数∈R的图象。
正弦函数的图象
正弦函数的图象叫做 ，是一条“ ”的连续光滑曲线．
【思考2】在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
【提示】　观察图，在函数∈[0,2π]的图象上，以下五个点：
正弦曲线
波浪起伏
（二）正弦、余弦函数的图象
【思考3】你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
【提示】对于函数， 由诱导公式 得∈R ．
而函数∈R 的图象可以通过正弦函数∈R 的图象向左平移 个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移 个单位长度，就得到余弦函数的图象
余弦函数的图象：
【提示】画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
余弦函数的图象叫做 ，是一条“ ”的连续光滑曲线．
余弦曲线
波浪起伏
【思考4】类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间［0，2π］上相应的五个关键点？
（三）典型例题
1.“五点法”作正弦、余弦函数的图象
例1. 用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]；
(2)y＝-cos x，x∈[0,2π].
【解析】　(1)列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1＋sin x 1 2 1 0 1
描点连线 ：
(2)列表：
x 0 π π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
-1 0 1 0 -1
描点连线，如图
x
sin x
1＋sin x
x
cos x
（三）典型例题
【变式探究 】你能利用函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cosx，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cosx，x∈[0,2π] 的图象？
【提示】将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位，得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象；将函数y＝cosx，x∈[0,2π] 图象关于x轴对称得到y＝-cosx，x∈[0,2π] 的图象.
【类题通法】简单三角函数图像画法
1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.
2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换.
（三）典型例题
【提升练习】画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．
【解析】【方法一】按 个关键点列表：
x 0 π
sinx 0 1 0
y＝|sinx| 0 1 0
【方法二】先作出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，使x轴上方图象不变，将x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，再不断向左、向右平移，每次个单位，就得到y＝|sinx|，x∈R的图象。
x
sinx
y＝|sinx|
三
五点法
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，再不断向左、向右平移，每次平移π个单位，就得到y＝|sinx|，x∈R的图象
（三）典型例题
【课后习题】
【实践作业】
（四）当堂检测
1．（多选）以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是(　　 )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
2．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　)
A．0，，π，，2π　　B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
3．点M在函数y＝sin 2x的图象上，则m等于(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．2
4．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
5．若m≥|cos x|恒成立，则实数m的取值范围是__________．
ACD
B
C
m≥1
A