5.4.2.2 正、余弦函数的性质 学习任务单（无答案）

§5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质（学习任务单）
【学习目标】
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值,培养数学运算的核心素养；
2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小，提升逻辑推理的核心素养；
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间，提升数学运算的核心素养；会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴、对称中心，提升数学运算的核心素养。
【重点难点】
重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；
难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.
【学法提示】
需要提前回顾周期性和奇偶性的研究过程及笔记，本节课关键点为理解最值原理；基于理解最值性质后，还需要模仿，自主练习，进而逐步熟悉并掌握求单调区间、对称轴、对称中心的基本步骤。
【学习材料】
<自主预习>
复习—— ①正弦函数的图象： ②余弦函数的图象：
③周期性： ④奇偶性：
预习——
正弦、余弦函数单调性：
正弦、余弦函数的最值：
正弦函数、余弦函数的对称性：
3.课本阅读资料+课外资料： .
【学习过程】
情境引入
所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征．从前面的研究中，我们已经看到，三角函数具有周期性、奇偶性，今天我们继续研究单调性和最值．
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转几个循环路径.
【说一说】　(1)函数y＝sin x与y＝cos x也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这些对应的是它们的哪些性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，分别对应y＝sin x，y＝cos x的哪些性质？y＝sin x，y＝cos x在最大(小)值时，是否有规律，有何规律？
（二）正弦、余弦函数的单调性与最值
1.正(余)弦函数的单调性
问题1：研究正弦函数的单调性和最值，我们是否需要其在全体实数集上的图象？
问题2：观察右图，正弦函数y=sin x图像（一个周期内），描述你看到的图象．
问题3：由函数的单调性，根据5.4-2上表，请同学们描述一个周期内，正弦函数单调性？
问题4：如何描述整个R上的正弦函数的单调性？
问题5：观察余弦函数在一个周期区间（如）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入下表5.4-3，请同学们说一说，余弦函数一个周期内的单调性，以及整个定义域内的单调情况。
结论：由此可得，函数，在区间 上单调递增，其值从增大到1；在区间 _____上单调递减，其值从1减小到.
由余弦函数的周期性可得，余弦函数在每一个闭区间 ______ 上都单调递增，其值从增大到1；在每一个闭区间 ________ 上都单调递减，其值从1减小到.
2.正(余)弦函数的最值
讨论完正弦、余弦函数的单调性，我们比较容易得到它们的最值。
问题6：正、余弦函数的最大值与最小值分别是多少？分别在何时取到？
正弦函数y=sin x,当且仅当= 时取得最大值1，当且仅当= 时取得最小值；
余弦函数当且仅当= 时取得最大值1，当且仅当= 时取得最小值.
3.正(余)弦函数的对称轴和对称中心
【探究】正弦函数y=sin x的对称轴方程为_______________；对称中心为________________.
余弦函数y=sin x的对称轴方程为_____________; 对称中心为________________.
【小结】正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域 ___________ ___________
单调性 在 (k∈Z)上单调递增， 在 (k∈Z)上单调递减 在 ________ (k∈Z)上单调递增， 在 ________ (k∈Z)上单调递减
最值 x＝ (k∈Z)时，ymax＝1； x＝ (k∈Z)时，ymin＝－1 x＝ _________ (k∈Z)时，ymax＝1； x＝ ________ (k∈Z)时，ymin＝－1
对称轴 x=________(k∈Z) x=________(k∈Z)
对称中心 _____________(k∈Z) _____________(k∈Z)
【思考】正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？
（三）典型例题
课本例题：
补充练习：
1. 正、余弦函数的单调性
例1.求函数y=sin(3x+) ，x∈的单调减区间.
【变式练】求函数y＝2sin的单调递减区间．
【类题通法】求单调区间的步骤
(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：
第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cos x)的相应单调区间；
第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解关于x的不等式．
(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．
【巩固练习2】求下列函数的单调递增区间：
(1)y＝cos 2x；(2)y＝sin，x∈.
2. 正弦函数、余弦函数单调性的应用
例2. 比较下列各组中函数值的大小：
（1）cos与cos；(2)sin 194°与cos 160°.
【类题通法】比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；(3)利用函数的单调性比较大小．
【巩固练习2】比较大小：(1)cos与cos ；(2)sin 与cos .
3. 正、余弦函数的值域与最值问题
例3. 求下列函数的值域:
(1)y=cos(x+),x∈[0,];(2)y=cos2x-4cos x+5.
【类题通法】求三角函数值域的常用方法
(1)求解形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
【巩固练习3】1. 函数y=2cos2x+5sin x-4的值域为　　　　.
2.设f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+)的最大值为　　　　.
4.正弦、余弦函数的对称性
例4.函数y＝sin的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．
【类题通法】正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.
y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)．
y＝cos x的对称中心为(k∈Z)，对称轴为x＝kπ(k∈Z)．
【巩固练习4】函数图象的一条对称轴可能是直线（ ）
A． B． C． D．
【课堂小结】
通过这节课，你学到了什么知识？
在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【学习评价】
【自我学习评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【任务单使用评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【建议】 你对本节导学案的建议：
【作业布置】
完成教材：第209页 练习 第1，2，3,4,5题； 第213页 习题5.4 第4,5,6题
【达标检测】
5．函数y＝－cos x在区间上是(　　)
A．增函数 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数
6．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　)
A．y轴 B．x轴 C．直线x＝ D．直线x＝π
7．y＝cos在[0，π]上的单调递减区间为(　　)
A. B.
C. D.
8.函数y＝sin2x＋sin x－1的最大值为________ ，最小值为________．
【拓展延伸】
1.函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2.设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
3.下列不等式中成立的是(　　)
A．sin>sin B．sin 3>sin 2
C．sin π>sin D．sin 2>cos 1
4. (多选题)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中错误的是(　　)
A.f(x)在上是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)的最大值为2
5.函数单调减区间为_________
6.函数的单调递增区间为_________
7.若在上为严格减函数，则的最大取值为_______
8.已知函数f(x)＝2cos.(1)若f(x)＝1，x∈，求x的值；(2)求f(x)的单调递增区间．
9.若，且，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10.函数在上的值域是___________.
11.已知函数，在内的值域为，则的取值范围为___________.
12.求函数y＝3sin的单调递增区间．
13.已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
14. 已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.