七年级数学下册试题 17.4 三角形全等的判定小节复习题--沪教版（含答案）

17.4 三角形全等的判定小节复习题
题型一 用SSS证明三角形全等
1．已知：如图，点C、D在的异侧，，，请说明 ABC与全等的理由．

2．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，，
(1)求证：
(2)若，，求的度数
3．如图，点在一条直线上，，求证：．
4．如图，在四边形中，，连接，试说明．
题型二 用SAS证明三角形全等
1．已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证：
(1)BC＝EF；
(2)BC∥EF．
2．如图，，，和全等吗？为什么？
3．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：．
4．如图，已知A、B、C、D在同一直线上，，，且，
求证：．

题型三 用ASA或AAS证明三角形全等
1．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？
解：因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），
所以∠DBC＝（ ），∠ECB＝（ 　 　）．
由∠ABC＝∠ACB（已知），
所以∠DBC＝∠ECB（ 　 　）．
在△BDC与△CEB中，
　 　，
　 　 （ 　 　），
　 　 （ ）．
所以△BDC≌△CEB（ASA）．
2．如图，在中，点是边的中点，过点作直线使，交的延长线于点．试说明的理由．
解：因为（已知），
所以 ( )
因为点是边的中点，
所以
在和中，
所以( )
所以( )
3．如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？
4．如图，已知是中边上的中线，、是直线上的点，且说明和全等的理由．
题型四 用HL证明三角形全等
1．已知：如图，，，平分，．求证：平分．
2．已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC.
3．如图，已知，，，，与交于点O．
(1)求证：．
(2)求．
4．如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，E，F为垂足，且；
求证：
(1)
(2)．
题型五 倍长中线模型
1．安安同学遇到这样一个问题：如图， ABC中，，，是中线，求的取值范围.
宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答：
(1)和全等吗？请说明理由；
(2)求出的取值范围.
2．如图所示，是的边的中线．

(1)画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形；
(2)若，，求的长的取值范围．
3．如图，在 ABC中，，
(1)求边的长的取值范围？
(2)若是 ABC的中线，求取值范围？
4．（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围；
（2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
题型六 旋转模型
1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
2．【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
3．
如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
4．已知：，，．
(1)如图1当点在上，______．
(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）
题型七 垂线模型
1．如图，已知：在 ABC中，，，直线经过点，，．
（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．
2．如图，三点在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)当 ABC满足__________时，？
3．如图，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求证：
4．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
【问题发现】
（1）如图2，已知， ABC中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ；
【问题提出】
（3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ．
（4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ．
题型八 添加条件使三角形全等
1．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，，请你再添加一个条件使得，并说明理由．
2．如下图，在 ABC与中，已知．
(1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）；
(2)根据（1）中添加的条件，分别说明．
3．如图，点为 ABC和 ADE的公共顶点，已知，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线段和字母）
(1)你添加的条件是______．
(2)根据你添加的条件，写出证明过程．
4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在 ABC与中，已知．
(1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号），
①；②；③；④；
(2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法．
题型九 全等三角形综合问题
1．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）BF和BD相等吗？为什么？
2．如图，在三角形ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C相等吗？为什么？
3．如图，已知AF与BE相交于点O，C、D分别是AF与BE上的两点，EF∥AB，并且∠A+∠ACD＝180°．
(1)请说明CD∥EF的理由；
(2)分别连结CE、DF，若OE＝OF，请说明△ECD≌△FDC的理由．
4．如图，四边形，点E，F在边上，满足，，．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
参考答案
题型一 用SSS证明三角形全等
1．解：在△ABC与中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS）．
2．（1）证明：，
，
即，
在△ABC和中，
，
．
（2）解：，，，
，
．
3．证明：∵，
∴，
即，
在和中
，
∴．
4．解： 在△ABD和△CBD中，
，
∴∠ABD≌△CBD（SSS）
题型二 用SAS证明三角形全等
1．（1）证明：（1），
，
，
，
在△ABC与 中
，
，
．
（2）（2），
，
．
2．解：，理由为：
在和中，
，
∴．
3．解：∵，
∴，
即：，
∵
∴
在△ABC和中，
∴．
4．证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
题型三 用ASA或AAS证明三角形全等
1．解：△BDC与△CEB全等，
因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），
所以∠DBC＝（∠ABC），∠ECB＝（∠ACB），
由∠ABC＝∠ACB（已知），
所以∠DBC＝∠ECB（ 等量代换），
在△BDC与△CEB中，
，
所以△BDC≌△CEB（ASA），
故答案为：∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知．
2．解：因为（已知），
所以∠E（两直线平行，内错角相等）
因为点是边的中点，
所以BD=CD．
在和中，
（对顶角相等）
所以（AAS）
所以（全等三角形的对应边相等）
3．解：△BDO与△CEO全等；
∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB，
又∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO，
∵在△BDO与△CEO中，，
∴△BDO≌△CEO（AAS）．
4．证明：是△ABC中边上的中线，
，
，
，．
在与中，
，
≌．
题型四 用HL证明三角形全等
1．证明：在上取一点，使，
平分，
，
在与中，
，
，
，，，
，
∴，
，
，
在与中，
，
，
，
即平分．
2．证明：在Rt△ABD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴∠EAD＝∠ADC，
∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ADC.
3．（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
4．（1）证明：∵于E点，于F点
∴在与中
∴
∴；
（2）证明：在直角三角形中，
∴
∴
∵E、C，F三点共线
∴
∴．
题型五 倍长中线模型
1．（1）解：∵是中线，
∴，
延长到，使，
又，
∴
（2）由（1）可知，，，
在中，，，
∴，即，
∴.
2．（1）解：如图所述，以点为对称中心旋转，得，

∴与关于点成对称中心图形．
（2）解：由（1）可知，与关于点成对称中心图形，
∴，
∴，，
在中，，即，
∴，
∵，
∴，解得，，
∴的长的取值范围．
3．（1）解：由三角形的三边关系可知：，
∵，
∴；
（2）解：延长至E，使，连接，
在中，∵，
∴，
∴，
由三角形的三边关系：，
∴，
∴．
4．（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF，
在和中，
∴(SAS)，
∴DE=MF=3，
∵DF-MF＜DM＜DF+MF，
∴7-3＜DM＜7+3，
即4＜DM＜10，
∵，
∴4＜2DG＜10，
∴2＜DG＜5；
（2）AD=CD+AB，理由如下：
解：延长AE，DC相交于点F，
∵，
∴∠BAE=∠F，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
在和中，
∴（AAS），
∴AB=CF，
∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=FD，
∵FD=CD+CF，CF=AB，
∴AD=CD+AB．
题型六 旋转模型
1．（1）∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
（2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
（3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
2．解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
3．（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：
将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°，
∴ CE⊥BD．
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD
由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°-
∴∠CFA=∠DFC=
4．（1）解：，
，
又，，
，
在中，，
故答案为：．
（2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知：
，，，
（同角的余角相等），
在与中有：
（），
，
，，
，，
，
故答案为：．
题型七 垂线模型
1．解：（1）证明：如图1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
（3）DE=BE-AD；
如图3，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
2．（1）证明：在△ABC和中
，
∴；
∴，
∵，
∴．
（2）解：当时，．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
3．（1）证明：是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△BC与△BDE中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（1）证明：由题意可得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，，
∴；
（2），
证明：由题意可得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，，
∴；
（3）设，则，
∴
∵，
∴
∴；
（4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，
由（1）可得
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵面积为18
∴
∴，
∵的长为9，
∴，
∴
题型八 添加条件使三角形全等
1．解：添加的条件为，理由如下：
因为，
所以，
即，
在和中，
，
所以．
2．(1)①③
(2)解：选①时，
在△ABC和中，
，
；
选③时，
在△ABC和中，
，
．
题型九 全等三角形综合问题
1．（1）AD＝CB，
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
同理可得，∠ADB＝∠CBD，
在△ABD与△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝CB；
（2）BF＝BD，
理由
∵AD＝CB，BE＝AD，
∴BC＝BE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBF，
∵∠DEF＝∠ADC，
∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，
即∠EFB＝∠CDB，
在△EFB与△CDB中，
，
∴△EFB≌△CDB（AAS），
∴FB＝DB．
2．解：∠B与∠C相等，
理由：∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC，
又∵∠FDC＝∠B+∠BFD，
∴∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，
又∵∠FDE＝∠B，
∴∠BFD＝∠EDC，
在△BFD和△CDE中
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠C．
3．（1）∵∠A+∠ACD＝180°，
∴，
∵，
∴．
（2）∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE，
∵，
∴∠OEF＝∠ODC，∠OFE＝∠OCD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴OC＝OD，
∴OC+OF＝OD+OE，
即CF＝DE，
在△ECD和△FDC中，
，
∴△ECD≌△FDC（SAS）．
4．（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在和中，
，
，
．