2024-2025学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二下期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二下期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在处的导数为，则( )
A. B. C. D.
2.设等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
3.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.当实数变化时，方程表示的曲线不可能是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
5.为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，月日这天高二年级至班共个班级决定去个不同林场植树，若要求每组个班，且班班在同一组，则符合条件的不同方法数是( )
A. B. C. D.
6.若在上恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的导函数为偶函数，函数为偶函数，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知元一次方程的正整数解的个数为，则方程满足的整数解的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列，均为等比数列，则下列选项一定为等比数列的是( )
A. B. C. D.
10.已知椭圆的离心率为，焦点为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点，则( )
A.
B.
C. 当与，不重合时，
D. 设在轴上的射影为，且，则点的轨迹方程是
11.已知函数，，，则下列说法正确的有( )
A. 函数可能无零点
B. 若，则函数可能存在最值
C. 若函数存在两个极值点，则且
D. 若是函数的极大值点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式展开式中的系数为 ．
13.若数列满足，，，设数列的前项和为，则当取最大值时， ．
14.设为原点，双曲线的方程是，离心率直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，与圆相切于点若，，则直线的斜率为 ，双曲线的实轴长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点在曲线上．
求双曲线的标准方程．
若，证明数列是等差数列．
在的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和．
16.本小题分
某大型电影院在春节期间推出了哪吒等部备受瞩目的大片，某天个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法
某市年初科创展览会上，，，三家科技公司分别推出了件，件，件机器人进行展览，工作人员需要把台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，共有多少种排法
树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分别参与抽签决定出场顺序抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”请你根据这些信息推测所有可能的出场顺序数．
17.本小题分
已知函数，
讨论的单调性．
证明：当时，．
18.本小题分
已知平面上动点的坐标满足，，
求点的轨迹方程．
设点为直线上的任意一点，过点作曲线的两条切线，．
(ⅰ)证明：直线过定点．
(ⅱ)设为原点，，的面积分别为，，令，当点在轴下方时，求的最大值．
19.本小题分
“勤于思考，乐于探索，勇于创新”是学习数学的必备思维品质某同学在学习了“杨辉三角”后发现杨辉三角与数列紧密相关，自主构造了下述数阵数阵的第一行是个连续的自然数，从第二行起每一行的数字均等于它肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数字．
请仔细观察数阵，解决下列问题：
求数阵中数字为奇数的项数．
设数阵第行的第一个数字为，请直接写出与的等量关系，并求．
设数阵所有行第一个数字之和为，试判断与的大小关系，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由题意可设双曲线的标准方程为，
则，解得，
所以双曲线的标准方程为．
因为点在曲线上，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
由可知，，
由于，所以，
所以，
所以．
16.解：个家庭依次选择，均有种方法，
根据分步计数原理，所有不同的方法数为．
由题意知，先可以使用“捆绑法”将家公司的产品排在一起，再与公司的件产品一起组成个不同的元素排列，最后让公司产品插空．
所以符合条件的排法数为．
若甲所在班级第个出场，丙所在班级可以第或第个出场，乙、丁、戊所在班级可以在其他场次出场，符合条件的出场顺序数为，
若甲所在班级不是第个出场，则丁或戊所在班级第个出场，丙所在班级可以第或第个出场，甲在剩余的中间场中选择一场，符合条件的出场顺序数为，
所以所有可能的出场顺序数为
17.解：函数的定义域为，
，
当时，在上恒成立，在上单调递增
当时，由得，
由得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：当时，由知，
要证，只需证，
即证，
令，
因为，再令，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，．
18.解：因为，，所以，，
由得，，所以，即点的轨迹方程为
设，，，，
所以曲线在点处的切线方程为，整理得，
同理曲线在点处的切线方程为
由于是两切线的交点，
所以，
所以直线的方程为，
整理得，
令得，
所以直线过定点．
由知直线的方程为，当点在轴下方时，．
因为
因为，，所以
令，则
当且仅当，即，时等号成立所以的最大值为．
19.解：观察数阵知，第一行的数奇偶性相间，第二行的数都为奇数，从第三行起所有数是偶数，
所以当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以；
由题意知，，即，
变形得，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以；
；
理由如下：因为，
相减得，
，
所以；
又因为
，
令，，则，
又，
所以在上单调递增，所以，所以．
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