2024-2025学年湖北省华中科技大学附属中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省华中科技大学附属中学高二下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.个班分别从个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有( )
A. B. C. D.
2.已知曲线上一点，记为函数的导数，则( )
A. B. C. D.
3.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于( )
A. B. C. D.
4.南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为已知，若，，则的值可以是( )
A. B. C. D.
5.数列满足，且对任意的都有，则下列表述不正确的是( )
A. B. 数列的前项和为
C. 数列的前项和为 D. 数列的第项为
6.“四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明“四平方和定理”的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，其中为自然对数的底数，记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有是自然对数的底数，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
10.定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 方程有三个根
C. 若关于的方程在区间上有两解，则或
D. 若函数在区间上有最大值，则
11.下列不等式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有男女共名学生被分派去三个公司实习，每个公司至少人，且公司要且只要个女生，共有 种不同的分派方法用数字作答
13.已知数列：，，，，，依此类推记数列的前项和为，则 ．
14.汉诺塔，是一个源于印度古老传说的益智玩具如图所示，有三根相邻的标号分别为、、的柱子，柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，记至少移动的次数为，例如：，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的展开式中，第，，项的二项式系数依次成等差数列．
证明：展开式中没有常数项；
求展开式中系数最大的项．
16.本小题分
若函数．
若函数在点处的切线方程为，求实数、的值；
已知为自然对数函数的底数，若在区间上的最小值为，求实数的值．
17.本小题分
万州区为提高市民的健康水平，拟在半径为米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场如图所示的阴影部分分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，，，三点在圆弧上，中点恰好在圆心设，健身广场的面积为．

求出关于的函数解析式；
当角取何值时，健身广场的面积最大？其最大面积是多少？
18.本小题分
设是等差数列，数列的前项和为，满足且，，
求与的通项公式；
设，求数列的前项和；
若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；
当时，讨论方程的根的个数．
函数的图象上是否存在两点其中，使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：证明：由二项式定理可知：第，，项的二项式系数为依次成等差数列，，，
舍或．
二项展开式中第项，令，
所以展开式中没有常数项得证．
由知二项展开式中第项的系数为，设第项系数最大，则且，化简得
又或，则展开式中系数最大的项是第二项和第三项．
16.解：因为，其中，则，
由导数的几何意义可得，则，所以，，
因为点在直线上，所以，，解得．
综上所述，，．
因为，其中，则，
因为，则，由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，解得，合乎题意．
综上所述，．
17.解：由已知得，
等腰底边上的高为，
而，
，
，得到．
设，则，
令，由，可得，令，可得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则时，有，
故，即时，健康广场的面积最大，最大值为．
18.解：当时，，解得，
，当时，，
上面两式相减得，故，
所以是以为首项，为公比的等比数列，故，
所以，，
设的公差为，则，解得，
故，
故，．
当为奇数时，，
记，则有
，
，
得：，
，
，
当为偶数时，，
记
，
．
由与恒成立，
可得恒成立，
恒成立，先求出的最大值，
设，
，
单调递增，
又，
，
．
19.解：解：因为，可得定义域为，
由函数在定义域内是增函数，所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，即时，取得最大值，最大值为，所以，
所以实数的取值范围是．
解：由，即，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
因为，，故函数有唯一零点；
当时，由，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则极大值为，
设，可得恒成立，
故函数单调递增，所以，
故函数在上无零点，
因为，，
故函数在上有唯一零点．
综上所述，当时，方程有且仅有一个根．
解：由斜率公式，可得
，
且，
令，可得，即，即，
令，不妨设，则，记
所以，所以在上是增函数，
所以，所以方程无解，
故满足条件的两点不存在．

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