2024-2025学年湖北省楚天教科研协作体高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省楚天教科研协作体高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
2.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知为等差数列的前项和，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.点是曲线上任意一点，则点处切线倾斜角的取值范围为( )
A. B. ， C. D. ，
5.若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为且焦点在轴上，则该双曲线的标准方程为( )
A. B. 或
C. D. 或
6.已知，且，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D. 若，则
7.已知数列的前项和为，前项的积为，若，当取最小值时，( )
A. B. C. D. 或
8.设，，，则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，圆则下列命题正确的有( )
A. 直线过定点
B. 若直线过点，则
C. 存在实数，使得直线与圆相切
D. 若直线与圆相交于，两点，则，两点间的最短距离为
10.对任意实数，有则下列结论正确的是( )
A. B. 的最大值为
C. D.
11.已知函数存在两个极值点，，且，设的零点个数为，方程的实根个数为，则( )
A. B. 的取值为、、
C. D. 的取值为、、
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 ．
13.某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团。高二年级有名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团。若每名同学必须参加且只能参加个社团且每个社团至多两人参加，则这个同学中至多有人参加“舞动青春”社团的不同方法数为 用数字作答
14.已知且，集合和集合，若，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列．
求的值．
记，求被除的余数．
16.本小题分
已知数列满足，
证明：数列是等比数列．
设，求．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程
若函数有最小值，且的最小值大于，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，设直线，的斜率分别是和．
求抛物线的标准方程及其准线方程．
求证：为定值．
求面积的最小值．
19.本小题分
已知函数．
证明：当时，．
设，令．
(ⅰ)讨论的单调性．
(ⅱ)若存在两个极值点，，证明：．
参考答案
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15.解：展开式的第项，第项，第项的二项式系数分别为：，
所以，，
解得或舍，
所以的值为；
的通项为，
当时，，
时，， 能被整除，
，被除的余数为，
所以被除的余数为．
16.解：由已知得，于是，
所以，
又，
是首项为，公比为的等比数列；
由知，，
，
，
．
17.解：当时，，
，
，．
故曲线在处的切线方程为，
即．
因为．
所以．
当时，，为增函数，此时函数没有最小值，不符合题意；
当时，令，则，令，则，
所以在上为减函数，在上为增函数，
故的最小值为，
由题意可得：，即，
因为，所以，即，
令，由对数函数和一次函数的单调性可知在上为增函数，
且，
所以的解集为．
所以的取值范围是．
18.解：由题意知抛物线的标准方程为，
，，
抛物线的标准方程为，准线方程为．
设点的坐标为，，
由题意知过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为，
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程组，
消去，得，
，得．
又，为方程的两根，
为定值．
设直线的方程为，，
联立方程组，
整理得，
，．
，
，
整理得，
代入有，
，
且，，
故直线过定点．
，，
．
点到直线的距离为，
，
当时，．
19.解：令，其定义域为，求导得，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，当时，当时，．
又因为，当时，，
设，即，则，，
当时，，单调递减当时，，单调递增．
所以，
所以，即，当时，得证；
(ⅰ)当时，，，则，定义域为，
求导得，
令，当，即时，恒成立，
，在上单调递减，
当，即或时，方程的两根为，，
当时，，在和上，，单调递减
在上，，单调递增，
当时，，，在上，，单调递减；
因为，是的两个极值点，所以，是方程的两个根，
所以，，
--
则．
要证，即证，即证．
因为，即证，即证
令，则，又，
所以，，，
则，，
即证，即证
令，求导得，
令，求导得，
当时，，单调递减当时，，单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以得证．
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