2024-2025学年浙江省杭州四中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州四中高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量与之间的夹角为( )
A. B. C. D.
2.已知复数是关于的二次方程的一个解，则( )
A. B. C. D.
3.已知的展开式中所有项的系数之和为，则该展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
4.设，函数与在上的值域相同，则( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为( )
A. B. C. D.
6.已知，函数，存在常数，使为偶函数，则的值可能为( )
A. B. C. D.
7.已知在中，，，的角平分线与的外接圆相交于点，，则( )
A. B. C. D.
8.世纪以来，人工智能迅猛发展，在人工智能算法中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标在对某型号扫雷机器人的测试中，记表示事件“选择的位点实际有雷”，表示事件“选择的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已为随机变量，，且，其中，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
10.设函数，则( )
A. 是偶函数 B. 的最小正周期为
C. 的值域为 D. 在单调递增
11.投掷一枚均匀的骰子次，记录每次骰子出现的点数根据统计结果，可以判断一定出现点数的是( )
A. 第百分位数为，极差为 B. 平均数为，第百分位数为
C. 平均数为，方差为 D. 众数为，平均数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则 ______．
13.已知，，，且，记随机变量为，，中的最小值，则______．
14.已知圆：与曲线：有且仅有个公共点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为．
若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望；
若比赛为五局三胜制，在已知甲最终获胜的条件下，求进行了局比赛的概率．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，底面，，为的中点．
Ⅰ求异面直线与所成角的大小；
Ⅱ求点到平面的距离．
17.本小题分
设抛物线：的焦点为，直线与抛物线相交于两点、，记的中点为，的中垂线与轴相交于点，已知直线平行于轴．
求的取值范围；
记的面积为，的面积为，证明：；
当时，求的值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求的对称中心；
证明：有唯一零点．
19.本小题分
某电子器件由若干个相同的电子模块构成，每个电子模块由个电子元件按如图所示方式联接，其中每个电子元件导通的概率均为．
求每个电子模块导通的概率保留两位有效数字；
已知某电子器件由个相同的电子模块构成，系统内不同电子模块彼此独立，是否导通互不影响，当且仅当电子器件中不低于的电子模块处于导通状态时，电子器件才能正常工作若在该电子器件中再添加两个相同的电子模块，试判断新电子器件较原电子器件正常工作的概率是增加还是减小？请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解： 所有可能的取值为 ，，
，，
所以的分布列为：
；
设“甲最终获胜”，“共进行了 场比赛甲获胜”，
则，
，
故．
16.解Ⅰ，为异面直线与所成的角或其补角．
作于点，连接．
平面，．
，．
，
，．
所以，异面直线与所成的角为．
Ⅱ平面，所以点和点到平面的距离相等．
连接，过点作于点．
，，平面，．
又，平面，线段的长就是点到平面的距离．
，，
．
所以，点到平面的距离为．
17.解：易知抛物线的焦点，
设，，
此时，
因为直线平行于轴，
所以，
解得，
易知，，直线的方程为，
所以，
解得，
因为，
所以，
解得，
则的取值范围为；
证明：易知
，
，
所以，
则；
易知，，
由知，
即，
整理得，
即．
解得．
18.解：当 时，，，，解得，
即 的对称中心为；
证明：由于，所以等价于，
设，则，当时，，
因此在上单调递增，
即至多有一个零点，从而 至多有一个零点．
另一方面，，，
故 在内存在零点，
综上 所述， 有唯一零点．
19.解：该电子模块导通即电子、必须导通且电子、至少要有一个导通，
所以．
设为原电子器件中导通的子模块的个数，，则新电子器件正常工作即原电子器件中至少有个电子模块导通；
或者原电子器件中恰有个电子模块导通，且新加入的两个模块至少有一个导通；
或者原电子器件中恰有个模块导通，且新加入的两个模块导通．
设事件“原电子器件中至少有个电子模块导通”，
则；
事件“原电子器件中恰有个模块导通，且新加入的模块至少有一个模块导通”，
则；
事件“原电子器件恰有个模块导通，且新加入的模块两个都导通”，
则
则新电子器件正常工作，
根据原电子器件正常工作，
可得新电子器件正常工作原电子器件正常工作
．
所以再添加个电子模块，新电子器件较原电子器件正常工作的概率增大．
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