2024-2025学年河北省张家口一中高一（下）第一次月考数学试卷（4月份）（含答案）

2024-2025学年河北省张家口一中高一（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
2.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的递增区间是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设是线段上的一点，若，且是的一个三等分点，则点的坐标为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.定义：，其中为向量与的夹角若，，，则( )
A. B. C. D.
5.设，，且，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，，则一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
7.已知向量，满足，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数区间内没有零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图所示，点是函数图象的最高点，、是图象与轴的交点，若，且，则( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上则( )
A.
B. 最小值为
C. 在上的投影向量为
D. 若的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.伊丽莎白塔是联合王国国会大厦威斯敏斯特宫的附属钟塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是伦敦乃至英国的标志性建筑钟楼上的钟也是世界上第二大的同时朝向四个方向的时钟，其中一个钟盘如图所示，分针尖端到中心的距离为米，尖端最低位置距地面约米，若分针尖端从最高位置沿顺时针方向绕中心匀速旋转一周，分针尖端与地面的距离单位：米与时间单位：分的函数关系式为，则函数 ______．
13.如图，正方形的边长为，，分别为，边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为______．
14.在角、、、、的终边上分别有一点、、、、，如果点的坐标为，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求函数的最小正周期和对称轴；
当时函数的最小值为，求实数的值．
16.本小题分
已知锐角中的三个内角分别为，，．
设，判断的形状；
设向量，，且，若，求的值．
17.本小题分
如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，与点，不重合．
证明：为定值；
求的最小值，并求此时的，的值．
18.本小题分
如图，有一条宽为的笔直的河道假设河道足够长，规划在河道内围出一块直角三角形区域图中养殖观赏鱼，，顶点到河两岸的距离，，，两点分别在两岸，上，设．
若，求养殖区域面积的最大值；
现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊宽度忽略不计，若，求观赏长廊总长的最小值．
19.本小题分
如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．
求；
求的坐标；
若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值．
参考答案
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16.解：因为，所以，
又，，
所以，
所以，
所以，即，
故为等腰三角形．
，
，
，即，
为锐角，，
，，
，
，
又，且为锐角，
，
．
17.
18.解：时，，
所以，
又因为当且仅当时等号成立，
所以，
于是，
因此，养殖区域面积的最大值为．
由题意，，
所以，
所以的周长，
其中．
设，则
所以．
所以，
于是当时，，
因此，观赏长廊总长的最小值为．
19.解：依题意可得，
，
，
，
；
，，，
，，，
，
四边形是平行四边形，
即，∽，
是的中点，，
，
又
，
，
；
设，，
则，，
，，三点共线，
则设，
，
，
，
，
，
，
当且仅当时取等号，
的最小值为．
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