2024-2025学年湖南省常德市第一中学高二下学期第一次月水平检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省常德市第一中学高二下学期第一次月水平检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列问题是排列问题的是( )
A. 从名同学中选取名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B. 个人互相通信一次，共写了多少封信？
C. 平面上有个点，任意三点不共线，这个点最多可确定多少条直线？
D. 从，，，四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
2.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数有最小值 B. 函数有最大值
C. 函数有且仅有三个零点 D. 函数有且仅有两个极值点
3.日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将吨水净化到纯净度为时所需费用单位；元为，则净化到纯净度为左右时净化费用的变化率大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
4.若将名志愿者分配到个服务点参加抗疫工作，每人只去个服务点，每个服务点至少安排人，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.若函数在区间上单调递增，则的取值范围( )
A. B. C. D.
6.若数列满足，且对于任意的都有，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
8.若对任意，恒有，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知展开式中共有项．则该展开式结论正确的是( )
A. 所有项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为
C. 系数最大项为第项 D. 有理项共有项
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是函数定义域内的极小值点
B. 的单调减区间是
C. 若有两个不同的交点，则
D. 在定义域内既无最大值又无最小值
11.已知数列的前项和为，，，则( )
A. 数列是等比数列 B.
C. D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.红楼梦四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种
13.已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为
14.已知函数恰有两个零点和一个极大值点且成等比数列若的解集为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在公差不为的等差数列中，，且是与的等比中项．
求的通项公式
若，，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，是圆上不同于、的一点．
求证：平面平面
若，，，求二面角的正弦值．
17.本小题分
近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由名“侦探”、名“麻瓜”、名“魔法师”参与游戏游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止．
若恰在第次搜索才测试到第个“魔法师”，第次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少
若恰在第次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少
游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员三人围成一圈，第次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人试问，次传花后花在甲手上的可能线路有多少种
18.本小题分
已知双曲线，，斜率为的直线过点．
若，且直线与双曲线只有一个交点，求的值
，已知点，直线与双曲线有两个不同的交点，，直线，的斜率分别为
，，若为定值，求实数的值．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
设，证明恰有两个极值点和，并求的值．
参考答案
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15.解：设的公差为，因为是与的等比中项，所以，
即，整理得
又，，所以，则．
由可得，，
则，
，
得
，
则．
16.解：证明：如图，
由是圆的直径，得，
由平面，平面，得，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面；
作于，作于，连接，
平面，平面，，
，，、平面，平面，，
，，、平面，平面，，
为二面角的平面角，
，，
平面，，，
平面，，，
，，
二面角的正弦值为．
17.解：先排前次搜索，只能取“麻瓜”，
有种不同的搜索方法，
再从个“魔法师”中选个排在第次和第次的位置上搜索，
有种搜索方法，
再排余下个的搜索位置，
有种搜索方法，
所以共有种．
第次搜索恰为最后一个“魔法师”，
则另个在前次搜索中出现，
从而前次有一个“麻瓜”出现，
所以共有种．
由于甲是第次传花的人，
因此第次传花时，甲不能再次拿到花，
这意味着在第次传花时，花必须传给乙或丙
同样，第次传花时，花不能回到前一次传花的人手中
因此传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况．
设为经过次传花后花在甲手上的线路数，其中．
则为经过次传花后花在甲手上的线路数，
即经过次传花后花不在甲手上的线路数，
所以为经过次传花的总线路，
每一次传花均有两种方向顺时针或逆时针，
则，．
所以，，，，
综上所述次传花后花在甲手上的可能线路有种．
18.解：由已知得直线的方程为．
联立得
要使直线与双曲线只有一个交点，则方程只有一个解．
当，即时，满足要求
当，即时，，令，得．
综上所述，或．
设，，直线的方程为，即．
联立得，
所以，．
所以，
，
从而
，
要使为定值，则得．

19.解： ， ，，
切线方程为， 整理得：．
，
令，即
由 和在和上单调递增，
在和上单调递增．
又，，
存在唯一，使
当时，，，单调递增．
当时，，，单调递减．
又，，
存在唯一，使
同理，当时，，，单调递减．
当时，，，单调递增．
恰有两个极值点和．
当时，，则，
又且， ．
．

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