2024-2025学年广东省东莞松山湖未来学校高一下学期第一次段考（3月）数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年广东省东莞松山湖未来学校高一下学期第一次段考（3月）数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 330.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-15 21:01:03 | ||
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文档简介
2024-2025学年广东省东莞松山湖未来学校高一下学期第一次段考（3月）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值是( )
A. B. C. D.
4.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处点在水平地面下方，为与水平地面的交点进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点，两地相距米，，其中到的距离比到的距离远米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为 米
A. B. C. D.
5.的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
6.在中，分别为内角的对边，若，，且，则
A. B. C. D.
7.若非零向量满足，则( )
A. B.
C. D.
8.设、、已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是( )
A. 可能方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B. 可能方程有四个实数根的解
C. 可能有两个实数根，两个纯虚数根 D. 可能方程没有纯虚数根的解
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列各组向量中，不能作为基底的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，均为复数，且，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则是实数
C. 若，则是纯虚数 D. 若，则
11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且设是内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有( )
A. 若，则
B. 若，，，则
C. 若为的内心，，则
D. 若为的垂心，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，若向量对应的复数为，则 ．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为 ．
14.我国古代数学家赵爽在为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”如图，亦称“赵爽弦图”类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，已知与的面积之比为，设，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围．
在虚轴上；
在第二，四象限；
16.本小题分
已知平面向量．
若，求的值；
若求的值；
若向量，若与共线，求
17.本小题分
的内角的对边分别为，已知．
求；
若为锐角三角形，，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在中，的平分线与交于点，．
求；
若，求的值．
19.本小题分
极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题．
极化恒等式：，公式推导：；
平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则；
三角形模式：如图，在中，设为的中点，则推导过程：由．
如图，在边长为的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值；
“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”太极和八卦组合成了太极八卦图如图某太极八卦图的平面图如图所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，若点是正八边形边上的一点，求的取值范围；
已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：复数的实部为，
虚部为．
由题意得，解得或．
由题意，，或．
16.解：因为，所以，则，解得，
故，．
因为，所以，则，．
，，
若与共线，则，解得，即，
故．
17.解：因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以．
由正弦定理可得为外接圆的半径，
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故．
18.解：如图，在中，由题意得，
设，则，，
则由余弦定理得，
因为是的平分线，所以，，
由二倍角公式得．
由知，易得，
所以，
由余弦定理得，
结合诱导公式得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，，
由余弦定理得，
因为，所以，由正弦定理得．
19.解：．
由极化恒等式可得：．
如图，连接．
因为，，
所以．
因为正八边形内切圆的半径为，，
所以．
因为，所以，所以，
即的取值范围是．
令其中，
则三点共线如图，
从而的几何意义表示点到直线的距离为，
这说明是等边三角形，为边上的高，故．
取的中点，则由向量极化恒等式可得，
其中为点到边的距离．
即当点在垂足非端点处时，达到最小值．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值是( )
A. B. C. D.
4.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处点在水平地面下方，为与水平地面的交点进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点，两地相距米，，其中到的距离比到的距离远米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为 米
A. B. C. D.
5.的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
6.在中，分别为内角的对边，若，，且，则
A. B. C. D.
7.若非零向量满足，则( )
A. B.
C. D.
8.设、、已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是( )
A. 可能方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B. 可能方程有四个实数根的解
C. 可能有两个实数根，两个纯虚数根 D. 可能方程没有纯虚数根的解
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列各组向量中，不能作为基底的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，均为复数，且，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则是实数
C. 若，则是纯虚数 D. 若，则
11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且设是内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有( )
A. 若，则
B. 若，，，则
C. 若为的内心，，则
D. 若为的垂心，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，若向量对应的复数为，则 ．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为 ．
14.我国古代数学家赵爽在为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”如图，亦称“赵爽弦图”类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，已知与的面积之比为，设，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围．
在虚轴上；
在第二，四象限；
16.本小题分
已知平面向量．
若，求的值；
若求的值；
若向量，若与共线，求
17.本小题分
的内角的对边分别为，已知．
求；
若为锐角三角形，，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在中，的平分线与交于点，．
求；
若，求的值．
19.本小题分
极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题．
极化恒等式：，公式推导：；
平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则；
三角形模式：如图，在中，设为的中点，则推导过程：由．
如图，在边长为的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值；
“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”太极和八卦组合成了太极八卦图如图某太极八卦图的平面图如图所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，若点是正八边形边上的一点，求的取值范围；
已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：复数的实部为，
虚部为．
由题意得，解得或．
由题意，，或．
16.解：因为，所以，则，解得，
故，．
因为，所以，则，．
，，
若与共线，则，解得，即，
故．
17.解：因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以．
由正弦定理可得为外接圆的半径，
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故．
18.解：如图，在中，由题意得，
设，则，，
则由余弦定理得，
因为是的平分线，所以，，
由二倍角公式得．
由知，易得，
所以，
由余弦定理得，
结合诱导公式得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，，
由余弦定理得，
因为，所以，由正弦定理得．
19.解：．
由极化恒等式可得：．
如图，连接．
因为，，
所以．
因为正八边形内切圆的半径为，，
所以．
因为，所以，所以，
即的取值范围是．
令其中，
则三点共线如图，
从而的几何意义表示点到直线的距离为，
这说明是等边三角形，为边上的高，故．
取的中点，则由向量极化恒等式可得，
其中为点到边的距离．
即当点在垂足非端点处时，达到最小值．
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