广东省（人教版）2025年八年级下册数学期中考试模拟卷 （含解析）

广东省（人教版）2025年八年级下册数学期中考试模拟卷
满分120分 时间120分钟
班级_____________ 姓名_____________ 学号_____________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．使代数式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x＞1
2．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10
3．已知ab＜0，则化简后为（　　）
A．a B．﹣a C．a D．﹣a
4．能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB∥CD，∠C＝∠A D．AB＝AD，CB＝CD
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠C的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．120°
7．如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　）
A．米 B．米 C．4米 D．6米
8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠AEF为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（ ，3）
C．（ ，2 ） D．（ ，3）
10．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长AF交CD于点G，已知CG＝2，DG＝1，则BC的长是（　　）
A．3 B．2 C．2 D．2
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．比较大小：　 　 3．（用不等号连接）
12．若a，b是直角三角形的两个直角边，且，则斜边c＝　 　 ．
13．如图，平行四边形ABCD中，点P在DC边上，且BP平分∠ABC，∠A＝108°，则∠BPC的度数为 　 　 ．
14．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，两直角边长分别为a、b，当a＝3，图中小正方形（空白部分）面积为 　 　 ．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E，F，G分别为AD，AB，BC上的点，连接EG，DF，若AE＝AF＝CG，则2DF+EG的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）（1）计算：；
（2）计算：．
17．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°
①若c＝15，b＝12，求a
②若a＝11，b＝60，求c．
18．（7分）请按以下要求，画出一个格点多边形（要标注其它两个顶点字母）．
（1）在图1中，画一个以AB为一边且面积为15的格点平行四边形；
（2）在图2中，画一个以AB为一边的格点矩形．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．
20．（9分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH．
（1）求证：∠OHD＝∠OAH．
（2）若AC＝8，BD＝6，求BH．
21．（9分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；
；
【类比归纳】
（1）填空：　 　 ，　 　 ．
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（a＞b），使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：　 　 ．
【拓展提升】
（3）化简：（请写出化简过程）．
22．（13分）如图，长方形ABCD，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．
（1）求AE的长．
（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，
①则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？
②当t为何值时，△PAE为直角三角形，直接写出答案．
23．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝40，点G是射线BC上的动点（不与点B，C重合），DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）当点G在线段BC上时，求证：AE＝BF；
（2）若BG＝30，求BF+EF的长；
（3）点G在射线BC上运动过程中，连接DF，CE，判断线段DF与CE的数量关系及直线DF与CE的位置关系，并说明理由．
广东省（人教版）2025年八年级下册数学期中考试模拟卷
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．使代数式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x＞1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：使代数式有意义，则x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故选：C．
2．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．
【解答】解：A、52+82≠122，不是勾股数，此选项正确；
B、302+402＝502，是勾股数，此选项错误；
C、92+402＝412，是勾股数，此选项错误；
D、62+82＝102，是勾股数，此选项错误；
故选：A．
3．已知ab＜0，则化简后为（　　）
A．a B．﹣a C．a D．﹣a
【分析】根据算术平方根和绝对值的性质|a|，进行化简即可．
【解答】解：∵a2≥0，ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
∴|a|a，
故选：B．
4．能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB∥CD，∠C＝∠A D．AB＝AD，CB＝CD
【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可．
【解答】解：根据平行四边形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD＝BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、可判定是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选：C．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
【解答】解：A．3与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． 3，所以B选项符合题意；
C． ，所以C选项不符合题意；
D 32，所以D选项不符合题意；
故选：B．
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠C的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．120°
【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝120°，
∴∠C＝60°，
故选：B．
7．如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　）
A．米 B．米 C．4米 D．6米
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，∠BCA＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4米，
∴2+4＝6米．
故选：D．
8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠AEF为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由正方形ABCD，等边三角形ADE，可得AB＝AD＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，则∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，，计算求解即可．
【解答】解：∵正方形ABCD，等边三角形ADE，
∴AB＝AD＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，
∴，
故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（ ，3）
C．（ ，2 ） D．（ ，3）
【分析】延长BC交x轴于H，由菱形的性质可得OA＝OC＝BC＝2，AO∥BC，在Rt△OCH中，由勾股定理可求OH的长，即可求解．
【解答】解：延长BC交x轴于H，
∵菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），
∴OA＝OC＝BC＝4，AO∥BC，
∴∠BHO＝∠AOH＝90°，
∵点C的纵坐标为1，
∴CH＝1，BH＝4，
∴OH，
∴点B（，3），
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长AF交CD于点G，已知CG＝2，DG＝1，则BC的长是（　　）
A．3 B．2 C．2 D．2
【分析】连接EG，由折叠的性质可得BE＝EG，又由E是BC边的中点，可得EF＝EC，然后证得Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），得出FG＝CG＝2，继而求得线段AG的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
【解答】解：连接EG，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠EFG＝∠B＝90°，
∵在Rt△EGF和Rt△EGC中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），
∴FG＝CG＝2，
∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝CG+DG＝2+1＝3，
∴AF＝AB＝3，
∴AG＝AF+FG＝3+2＝5，
∴BC＝AD2．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．比较大小：　＜　 3．（用不等号连接）
【分析】首先比较出两个数的平方的大小关系，然后根据：两个正数，平方大的这个数也大，判断出它们的大小关系即可．
【解答】解：（）2＝17，（3）2＝18，
∵17＜18，
∴3．
故答案为：＜．
12．若a，b是直角三角形的两个直角边，且，则斜边c＝　5　 ．
【分析】由非负性可求a，b的值，由勾股定理可求c的值．
【解答】解：∵，
∴a＝3，b＝4，
∵a，b是直角三角形的两个直角边，
∴c5
故答案为：5
13．如图，平行四边形ABCD中，点P在DC边上，且BP平分∠ABC，∠A＝108°，则∠BPC的度数为 　36°　 ．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线定义可得∠ABP＝∠CBP，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝108°，AB∥CD，
∴∠ABP＝∠BPC，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠BPC＝∠CBP（180°﹣108°）＝36°，
故答案为：36°．
14．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，两直角边长分别为a、b，当a＝3，图中小正方形（空白部分）面积为 　6　 ．
【分析】利用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而解答即可．
【解答】解：由图可知：
S正方形＝4 ab+（b﹣a）2
＝2ab+b2+a2﹣2ab
＝a2+b2．
S正方形＝c2，
可得：a2+b2＝c2．
当a＝2，c＝8，
所以图中小正方形（空白部分）面积＝（b﹣a）2＝1，
故答案为：6．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E，F，G分别为AD，AB，BC上的点，连接EG，DF，若AE＝AF＝CG，则2DF+EG的最小值为 　6　 ．
【分析】作HA＝BA，JC＝CD，证明△HAE≌△DAF（SAS），△HAE≌△GCJ（SAS），得到 2DF+EG＝HE+JG+EG≥HJ，在Rt△HJI 中，应用勾股定理，即可求解，．
【解答】解：延长BA到点H，使HA＝BA，延长CD到点I，使ID＝CD，延长DC到点J，使 JC＝CD，连 接HJ，HI，
∵正方形ABCD，
∴AB＝CD＝AD＝6，∠HAD＝∠ADI＝∠BCJ＝90°，
∵HA＝BA，JC＝CD，
∴四边形HADI是正方形，HA＝HI＝ID＝CJ＝AD＝6，
∵AE＝AF＝CG，∠HAE＝∠DAF＝∠GCJ＝90°，HA＝DA＝JC，
∴△HAE≌△DAF（SAS），△HAE≌△GCJ（SAS），
∴DF＝HE＝JG，即：2DF＝HE+JG，
∵2DF+EG＝HE+JG+EG≥HJ，
∵2DF+EG的最小值为HJ的长度，
在Rt△HJI 中，IJ＝ID+DC+CJ＝6+6+6＝18，
HJ6，
故答案为：6．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）先算乘除，再算减法；
（2）先进行完全平方公式的计算，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式＝6
＝12
＝12
＝（12）
；
（2）原式．
17．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°
①若c＝15，b＝12，求a
②若a＝11，b＝60，求c．
【分析】（1）、（2）根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，a2+b2＝c2，
则a9；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，a2+b2＝c2，
则c61．
18．（7分）请按以下要求，画出一个格点多边形（要标注其它两个顶点字母）．
（1）在图1中，画一个以AB为一边且面积为15的格点平行四边形；
（2）在图2中，画一个以AB为一边的格点矩形．
【分析】（1）利用平行四边形及网格的特点即可解决问题；
（2）根据网格的特点构造直角即可求解．
【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD为所求；
（2）如图2，矩形ABEF为所求．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．
【分析】首先根据△ABC的三边比例不妨设出AB＝3x cm，结合△ABC的周长相信你可以得到BC，AC的长，接下来 试着判断△ABC的形状；根据点P、Q的速度以及出发的时间求出BP、BQ的长，利用勾股定理求解PQ即可．
【解答】解：设AB为3x cm，则BC为4x cm，AC为5x cm，△ABC的周长为36cm，
∴AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×2＝3cm，BQ＝12﹣1×3＝9cm，
PQ3（cm），
∴PQ的长为3cm．
20．（9分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH．
（1）求证：∠OHD＝∠OAH．
（2）若AC＝8，BD＝6，求BH．
【分析】（1）由菱形的性质可得AC⊥BD，DO＝BO，由直角三角形的性质和余角的性质可得结论；
（2）由菱形的性质可得AC⊥BD，DO＝BO＝3，AO＝CO＝4，在Rt△ABO中由勾股定理可求AB的长，由面积法可求DH的长，在Rt△BDH中由勾股定理可求BH的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，
又∵DH⊥AB，
∴DO＝BO＝OH，∠BDH+∠DBH＝90°＝∠DBH+∠HAO，
∴∠OHD＝∠ODH，∠BDH＝∠HAO，
∴∠OHD＝∠OAH；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO＝3，AO＝CO＝4，
∴AB5，
∵S△ADBBD×AOAB×DH，
∴6×4＝5DH，
∴DH，
∴BH．
21．（9分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；
；
【类比归纳】
（1）填空：　　 ，　　 ．
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（a＞b），使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：　　 ．
【拓展提升】
（3）化简：（请写出化简过程）．
【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，8写成6+2，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
【解答】解：（1）；
；
故答案为：，；
（2）
；
故答案为：；
（3）
．
22．（13分）如图，长方形ABCD，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．
（1）求AE的长．
（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，
①则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？
②当t为何值时，△PAE为直角三角形，直接写出答案．
【分析】（1）由矩形的性质得CD＝AB＝9，∠D＝90°，因为CE＝6，AD＝4，所以DE＝CD﹣CE＝3，则AE5；
（2）①由题意得BP＝t，所以AP＝9﹣t，作EF⊥AB于点F，则四边形ADEF是矩形，所以AF＝DE＝3，EF＝AD＝4，再分三种情况讨论，一是PE＝AE，则AP＝2AF＝6，所以9﹣t＝6，求得t＝3；二是AP＝AE，则9﹣t＝5，求得t＝4；三是PE＝AP，由PF2+EF2＝AP2，且PF＝AP﹣3，得（AP﹣3）2+42＝AP2，求得AP，所以9﹣t，求得t；
②作EF⊥AB于点F，则AF＝DE＝3，EF＝AD＝4，再分三种情况讨论，一是∠AEP＝90°，则S△PAE4AP5PE，所以PEAP，由PE2+AE2＝AP2，得52＝AP2，求得AP，所以9﹣t，求得t；二是∠APE＝90°，则点P与点F重合，所以AP＝AF＝3，则9﹣t＝3，求得t＝6；三是由∠PAE＜90°，说明不存在∠PAE＝90°的情况．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝9，AD＝4，
∴CD＝AB＝9，∠D＝90°，
∵E为CD边上一点，CE＝6，
∴DE＝CD﹣CE＝9﹣6＝3，
∴AE5，
∴AE的长是5．
（2）①∵点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，运动的时间为t秒，
∴BP＝t，
∴AP＝9﹣t，
作EF⊥AB于点F，则∠AFE＝∠PFE＝90°，
∵∠AFE＝∠FAD＝∠D＝90°，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AF＝DE＝3，EF＝AD＝4，
如图1，△PAE为等腰三角形，且PE＝AE，
∵PE＝AE，EF⊥AP，
∴PF＝AF，
∴AP＝2AF＝6，
∴9﹣t＝6，
解得t＝3；
当△PAE为等腰三角形，且AP＝AE时，则9﹣t＝5，
解得t＝4；
如图2，△PAE为等腰三角形，且PE＝AP，
∵PF2+EF2＝AP2，且PF＝AP﹣3，
∴（AP﹣3）2+42＝AP2，
∴AP，
∴9﹣t，
解得t，
综上所述，当t的值为3秒或4秒或秒时，△PAE为等腰三角形．
②当t的值为秒或6秒时，△PAE为直角三角形，
理由：如图3，作EF⊥AB于点F，则AF＝DE＝3，EF＝AD＝4，
当△PAE为直角三角形，且∠AEP＝90°时，则S△PAEAP EFPE AE，
∴4AP5PE，
∴PEAP，
∵PE2+AE2＝AP2，
∴52＝AP2，
∴AP或AP（不符合题意，舍去），
∴9﹣t，
解得t；
当△PAE为直角三角形，且∠APE＝90°时，则点P与点F重合，
∴AP＝AF＝3，
∴9﹣t＝3，
解得t＝6；
∵∠PAE＜∠BAD，
∴∠PAE＜90°，
∴不存在△PAE为直角三角形，且∠PAE＝90°的情况，
综上所述，当t的值为秒或6秒时，△PAE为直角三角形．
23．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝40，点G是射线BC上的动点（不与点B，C重合），DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）当点G在线段BC上时，求证：AE＝BF；
（2）若BG＝30，求BF+EF的长；
（3）点G在射线BC上运动过程中，连接DF，CE，判断线段DF与CE的数量关系及直线DF与CE的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）由正方形的性质得AD＝BA，∠BAD＝90°，由∠AED＝∠BFA＝90°，得∠ADE＝∠BAF＝90°﹣∠DAG，即可证明△ADE≌△BAF，得AE＝BF；
（2）由∠ABC＝90°，AB＝BC＝40，BG＝30，根据勾股定理得AG50，因为AE＝BF，所以BF+EF＝AE+EF＝AF，由50BF40×30＝S△ABG，求得BF＝24，则BF+EF＝AF32；
（3）分两种情况，一是点G在线段BC上，设DF交CE于点H，由△ADE≌△BAF得DE＝AF，可证明△DAF≌△CDE，得DF＝CE，∠AFD＝∠DEC，所以∠DHE＝∠FEH+∠AFD＝∠FEH+∠DEC＝∠DEG＝90°，则DF⊥CE；二是点G在线段BC的延长线上，延长CE交DF于点L，设AG交DC于点K，可证明△ADE≌△BAF，得DE＝AF，再证明△DAF≌△CDE，得DF＝CE，∠AFD＝∠DEC，则∠DFE＝∠DEL，所以∠DLE＝∠FEL+∠DFE＝∠FEL+∠DEL＝∠AED＝90°，则DF⊥CE．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF＝90°﹣∠DAG，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF．
（2）解：如图1，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝40，BG＝30，
∴AG50，
∵BG＜BC，
∴点G在线段BC上，
由（1）得AE＝BF，
∴BF+EF＝AE+EF＝AF，
∵AG BFAB BG＝S△ABG，
∴50BF40×30，
∴BF＝24，
∴BF+EF＝AF32，
∴BF+EF的长是32．
（3）解：DF＝CE，且DF⊥CE，理由如下：
当点G在线段BC上，如图2，设DF交CE于点H，
由（1）得△ADE≌△BAF，
∴DE＝AF，
∵∠DEG＝∠DCG＝90°，
∴∠CDE+∠CGE＝180°，
∵∠AGB+∠CGE＝180°，
∴∠AGB＝∠CDE，
∵BC∥AD，
∴∠AGB＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CDE，
在△DAF和△CDE中，
，
∴△DAF≌△CDE（SAS），
∴DF＝CE，∠AFD＝∠DEC，
∴∠DHE＝∠FEH+∠AFD＝∠FEH+∠DEC＝∠DEG＝90°，
∴DF⊥CE；
当点G在线段BC的延长线上，如图3，延长CE交DF于点L，设AG交DC于点K，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴DE＝AF，
∵∠DCG＝∠DEG＝90°，∠GKC＝∠DKE，
∴∠AGB＝90°﹣∠GKC＝90°﹣∠DKE＝∠CDE，
∵∠AGB＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CDE，
在△DAF和△CDE中，
，
∴△DAF≌△CDE（SAS），
∴DF＝CE，∠AFD＝∠DEC，
∴180°﹣∠AFD＝180°﹣∠DEC，
∴∠DFE＝∠DEL，
∴∠DLE＝∠FEL+∠DFE＝∠FEL+∠DEL＝∠AED＝90°，
∴DF⊥CE，
综上所述，DF＝CE，DF⊥CE．