四川省泸州市泸县第五中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题
1．（2025九下·泸县开学考）下列图案中不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故A选项错误；
B、是中心对称图形，故B选项错误；
C、不是中心对称图形，故C选项正确；
D、是中心对称图形，故D选项错误；
故答案为 ：C.
【分析】根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点就叫做中心对称点，据此解答即可．
2．（2025九下·泸县开学考）关于的一元二次方程的二次项系数为5，则它的一次项系数、常数项分别是（ ）
A．， B．2， C．2，1 D．，1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：的一次项系数是，常数项是，
故答案为 ：B ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式，找出一次项系数和常数项即可.
3．（2025九下·泸县开学考）风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（ ）
A．120 B．90 C．60 D．45
【答案】A
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为120．
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫旋转角；观察题目中的风力发电机转子叶片图案，可以看出该图案具有3次旋转对称性，然后计算出该图案每次旋转的角度，接着根据旋转角度的倍数，确定旋转角度的可能值即可.
4．（2025九下·泸县开学考）一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得从袋中任意摸出一个球是白球的概率是：.
故答案为：.
【分析】从袋中随机的摸出一个小球，共有9种等可能的结果数，其中能摸到白色小球的结果数共有5种，从而即可根据概率公式算出答案.
5．（2025九下·泸县开学考）在平面直角坐标系中点和点的位置关系是（ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．轴
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点横纵坐标都互为相反数，
∴关于原点对称，
故答案为 ：A．
【分析】关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.
6．（2025九下·泸县开学考）用配方法解方程变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴；
故答案为 ：B．
【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可.
7．（2025九下·泸县开学考）若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，作，
∵正六边形的边长为4，，
∴．
∴正六边形的边心距是．
故答案为：D．
【分析】根据正六边形的性质求出∠AOB=60°，得到△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OA=AB=4，根据勾股定理计算即可.
8．（2025九下·泸县开学考）如图1是一位摄影爱好者拍摄的含章湖大桥，它位于盘锦市辽东湾新区，是一座集交通枢纽和湖景于一体的跨湖桥，大桥采用了七跨上承式空腹拱桥的设计，分主拱和腹拱，其中腹拱为圆弧形拱圈．如图2，如果用表示腹拱，假设腹拱下面的桥面的长度为80米，腹拱的高度为20米，则该桥腹拱部分所在圆弧的半径是（ ）
A．30米 B．40米 C．50米 D．60米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆弧的半径为x米，圆弧所在圆的圆心为O，如图，
∵，
∴（米），
在，米，米，
由勾股定理，得
解得：，
故答案为：C．
【分析】设圆弧的半径为x米，由于OC垂直于AB，根据垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”得AD=AB求得AD的值，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
9．（2025九下·泸县开学考）我们在解一元二次方程时，可以将其左边分解因式得到，从而得到两个一元一次方程或，所以得到原一元二次方程的解为，这种解法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．函数思想
C．转化思想 D．公理化思想
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；转化思想
【解析】【解答】解：由题意得，这种把一元二次方程转化为两个一元一次方程的解法体现的数学思想是转化思想.
故答案为：C.
【分析】由题意可知，题目中所给的解方程的方法是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，由此解答即可.
10．（2025九下·泸县开学考）若抛物线经过第一，二，三，四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：令，则，
解得：，
∴抛物线与x轴交于和，
∵抛物线经过第一，二，三，四象限，且，
∴ ，
∴．
故答案为 ：B．
【分析】先根据抛物线y=(x-m)2(x-m-2)经过第一、第二、第三、第四象限得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
11．（2025九下·泸县开学考）如图，为的直径，C，D为上的两点，，，点E在直径上，且，连接，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．12
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：交于点F，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为 ：C．
【分析】BC交DE于点F，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠DCF=∠EBF，∠CDF=∠BEF，结合已知，用角边角可证，于是可得阴影部分面积等于△ABC的面积，根据勾股定理求出BC得长度，根据Rt△ABC的面积公式计算即可求解.
12．（2025九下·泸县开学考）二次函数的最小值为，且，，，，中恰好只有两点在该二次函数图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．N，P 两点一定在二次函数图象上
B．M，R 两点一定不在二次函数图象上
C．
D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数的最小值为，
∴，
∵，，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴图象过，
∴关于对称轴的对称点为，
∴在点的右侧，
∴不在抛物线上，
当，
∴图象经过点，
∵关于对称轴的对称点为，
∴在抛物线上，
∵对称轴为直线
∴，关于对称，
∴若在抛物线上，那么肯定也在抛物线上，
∵在抛物线上，而只有两点在该二次函数图象上
∴，不可能同时在抛物线上，
∴一定在抛物线上，
故A、B错误，不符合题意；
又∵，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而减小，
∵，
∴在上方
∴，
又∵，
∴，
故D正确，符合题意；
而大小无法比较，故C错误，不符合题意；
故答案为 ：D．
【分析】根据二次函数的图象与性质，从对称性以及增减性分析判断即可．
13．（2025九下·泸县开学考）苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将调查数据整理后结果如表所示：
移植总数
成活数
成活的频率
根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为 精确到
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵由表中数据可知随着样本数量的增加，这种花苗移植的成活概率稳定在0.9左右，
∴这种花苗移植的成活概率为0.9.
故答案为：0.9.
【分析】观察表中数据，经过大量的重复实验，事件发生的频率稳定在0.9左右，据此可求解.
14．（2025九下·泸县开学考）已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在 ．（填内、外或上）
【答案】外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：的直径为，
的半径为，
，
∴点P在外．
故答案为：外．
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
15．（2025九下·泸县开学考）已知m、n是方程的两个根，则的值为 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m、n是方程的两个根，
∴，，
∴
．
故答案为：-1．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数得，，据此先求得，，再将待求式子利用多项式乘以多项式法则展开后，整体代入计算即可．
16．（2025九下·泸县开学考）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE//BD，且使CE=1，连接CN，AC，ME，AE.
根据正方形的性质，得点A与点C关于BD对称，
∴CN=AN，
∵CE//BD，CE=MN，
∴边形CEMN是平行四边形，
∴EM=CN，
∴△AMN的周长为AM+AN+ MN=AM+EM+MN≥AE+1，
∴当点M在AE上时，△AMN的周长最小，
设⊙O的半径为r，
∵⊙O的面积为6π，
∴πr2=6π，
∴，
∴，
在正方形ABCD，AC⊥BD，
∵CE//BD，
∴CE⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴在Rt△ACE中，，
∴△AMN周长的最小值为AE+1=6.
故答案为：6．
【分析】根据正方形的性质可知点A和点C关于BD对称，过点C作BD的平行线，易得四边形CEMN是平行四边形，根据三点共线可知，当点M在AE上时，△AMN的周长最小，且△AMN的周长的最小值为AE+1，在Rt△ACE中，用勾股定理求得AE的值即可求得△AMN周长的最小值.
17．（2025九下·泸县开学考）解方程： ；
【答案】解：
X=1+ 或者x=1-
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点，难以利用因式分解法求解，则可选用配方法求解，即先将常数项移到方程的右边，由于二次项次数为1，则直接给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后两边同时开方，进而可求解.
18．（2025九下·泸县开学考）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式．
【答案】解：∵抛物线与x轴交于，，
∴设抛物线为，
把代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
【知识点】利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】由于此题给出了抛物线与x轴的两交点坐标，故设出抛物线的交点式为，再代入即可求出a的值，从而得到函数解析式．
19．（2025九下·泸县开学考）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长．
【答案】解：连接OA，如图所示：
设直径的长为寸，则OA=OC=x寸，OE=(x-1)寸，
∵CD为的直径，弦AB⊥CD于E，AB=6寸，
∴(寸)，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得：x2=32+(x-1)2，
解得：x=5，
∴CD=2x=2×5=10(寸)
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】连接OA，设直径CD的长度为2x寸，由垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”可得AE=BE=AB，在Rt△AOE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，则CD=2x可求解.
20．（2025九下·泸县开学考）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点逆时针旋转得到（，分别是A，B的对应点）．
（1）在图中画出，并写出点的坐标；
（2）若点位于内（不含边界），点为点绕原点逆时针旋转的对应点，直接写出点的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）解：如下图，即为所求，
由图可知，点的坐标为
（2）解：∵，∴旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图所示，
∵，，
∴由图可知，点的纵坐标为3，点的纵坐标为，
∴
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质作图，然后作答即可；
（2）由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，然后作答即可．
（1）解：如下图，即为所求，
由图可知，点的坐标为；
（2）∵，
∴旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图所示，
∵，，
∴由图可知，点的纵坐标为3，点的纵坐标为，
∴．
21．（2025九下·泸县开学考）已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表）．
x …
…
y …
…
利用函数图象回答下列问题：
（2）当x 时，y随x的增大而增大；
（3）当时，函数y的取值范围为 ；
（4）若有两个不相等的实数根，m的取值范围为 ．
【答案】（1）解：由题意，列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
描点并连线如下图：
（2）
（3）
（4）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；作图-二次函数图象
【解析】【解答】（2）由函数图象信息可得：当时，y随x的增大而增大．
故答案为：．
（3）由函数图象信息可得：
当时，，取最小值．
当时，，
∴当时，函数y的取值范围为：．
故答案为：．
（4），
观察函数，的图象的交点，
∴当时，函数，的图象的有两个交点．
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：．
【分析】（1）列表，在直角坐标系中描出表格中各个点，再用平滑的曲线连接即可；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大可求解；
（3）根据二次函数的性质可求出函数的最小值，再求出当的函数值，结合图象即可求解；
（4）观察函数，的图象与x轴有两个交点，再根据抛物线与直线y=m的交点的个数即可求解．
（1）解：由题意，列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
描点并连线如下图：
（2）由函数图象信息可得：当时，y随x的增大而增大．
故答案为：．
（3）由函数图象信息可得：
当时，，取最小值．
当时，，
∴当时，函数y的取值范围为：．
故答案为：．
（4），
观察函数，的图象的交点，
∴当时，函数，的图象的有两个交点．
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：．
22．（2025九下·泸县开学考）年月日凌晨，“神舟十九号”载人飞船成功发射，这不仅是“神舟十九号”载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图，现给出两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将盘转出的数字作为被减数，盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希参加；若差为正数，则小辰参加．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）
（1）小希转动一次盘，指针指向的数字是偶数的概率是_______．
（2）这个游戏规则对双方公平吗？请判断，并通过画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】（1）
（2）解：这个游戏规则对双方公平，理由如下：列表如下：
由表可得，共有等结果，其中结果为负数的有种，结果为正数的有种，
∴，，
∵，
∴这个游戏规则对双方公平
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【解答】（1）解：小希转动一次盘，指针指向的数字是偶数的概率是，
故答案为：；
【分析】（）根据概率公式直接计算即可；
（）根据题意列表求出两个人参加的概率，比较即可判断求解；
（1）解：小希转动一次盘，指针指向的数字是偶数的概率是，
故答案为：；
（2）解：这个游戏规则对双方公平，理由如下：
列表如下：
由表可得，共有等结果，其中结果为负数的有种，结果为正数的有种，
∴，，
∵，
∴这个游戏规则对双方公平．
23．（2025九下·泸县开学考）谯城区某商场销售一款上衣每件进价元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每件服装降价元；那么平均每天可多售出件．
（1）设每件衣服降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利多少元（用含的代数式表示） ；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；
（3）商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．
【答案】（1）；元；
（2）解：设每件衣服降价元，根据题意得，，
解得：（不符合题意舍去），，
∴当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元，
答：当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元
（3）解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：设每件衣服降价元，根据题意得，
，
整理得：，
∴，，，
∴，
∴商家不能达到平均每天盈利元，
答：商家不能达到平均每天盈利元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解析】解：（1）设每件衣服降价元，
∴如果每件服装降价元，则每天销售量增加件，
∵上衣每件进价元，销售价为元，
∴每件商品盈利元，
故答案为：；元．
【分析】(1)根据每件服装降价5元，那么平均每天可多售出2件可求解；
(2)设每件服装降价x元，则每件的销售利润为(160 -x-100)元，平均每天的销售量为件，根据题中的相等关系"商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量"即可得关于x的一元二次方程，解方程即可求解；
(3)商家不能达到平均每天盈利2600元，设每件服装降价x元，则每件的销售利润为(160-x-100)元，平均每天的销售量为件，根据题中的相等关系"商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量”即可得出关于x的一元二次方程，由一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可判断求解.
（1）解：设每件衣服降价元，
∴如果每件服装降价元，则每天销售量增加件，
故答案为：；
∵上衣每件进价元，销售价为元，
∴每件商品盈利元，
故答案为：元．
（2）解：设每件衣服降价元，根据题意得，
，
解得：（不符合题意舍去），，
∴当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元，
答：当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
设每件衣服降价元，根据题意得，
，
整理得：，
∴，，，
∴，
∴商家不能达到平均每天盈利元，
答：商家不能达到平均每天盈利元．
24．（2025九下·泸县开学考）如图，上有，，三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上，且．
（1）证明：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求的值．
【答案】（1）证明：点是的中点，
，
；
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
是的半径，
是的切线；
（3）解：在中，，，
设，，则，
根据勾股定理，得，
即，
解得：或（舍去），
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
，，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得结论；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得∠ABC=90°，由直角三角形的量锐角互余得，再根据等边对等角及角的构成证出，由切线的判定可得出结论；
（3）由∠F的正弦函数可设，，由勾股定理建立方程求出，根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形的对应边成比例得出，据此AC的长，进而求出，的长；再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DE.
25．（2025九下·泸县开学考）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0，5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5，0）
∴
解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1，0），B（5，0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5，0）， B的坐标为（5，0）
∴OB=CO=5，即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5)，A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵
解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）分别令直线y=-x+5中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，即可确定B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，求出A、B的坐标，结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得M1A=M1C，由等边对等角及三角形外角性质得∠AM1B=2∠ACB，根据等腰直角三角形性质得AH=BH=NH=2，进而确定N的坐标；再利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据中点坐标公式确定点E的坐标，进而根据互相垂直直线斜率乘积为-1，可确定M1E的解析式，然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标.
1 / 1四川省泸州市泸县第五中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题
1．（2025九下·泸县开学考）下列图案中不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·泸县开学考）关于的一元二次方程的二次项系数为5，则它的一次项系数、常数项分别是（ ）
A．， B．2， C．2，1 D．，1
3．（2025九下·泸县开学考）风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（ ）
A．120 B．90 C．60 D．45
4．（2025九下·泸县开学考）一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九下·泸县开学考）在平面直角坐标系中点和点的位置关系是（ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．轴
6．（2025九下·泸县开学考）用配方法解方程变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九下·泸县开学考）若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．（2025九下·泸县开学考）如图1是一位摄影爱好者拍摄的含章湖大桥，它位于盘锦市辽东湾新区，是一座集交通枢纽和湖景于一体的跨湖桥，大桥采用了七跨上承式空腹拱桥的设计，分主拱和腹拱，其中腹拱为圆弧形拱圈．如图2，如果用表示腹拱，假设腹拱下面的桥面的长度为80米，腹拱的高度为20米，则该桥腹拱部分所在圆弧的半径是（ ）
A．30米 B．40米 C．50米 D．60米
9．（2025九下·泸县开学考）我们在解一元二次方程时，可以将其左边分解因式得到，从而得到两个一元一次方程或，所以得到原一元二次方程的解为，这种解法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．函数思想
C．转化思想 D．公理化思想
10．（2025九下·泸县开学考）若抛物线经过第一，二，三，四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025九下·泸县开学考）如图，为的直径，C，D为上的两点，，，点E在直径上，且，连接，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．12
12．（2025九下·泸县开学考）二次函数的最小值为，且，，，，中恰好只有两点在该二次函数图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．N，P 两点一定在二次函数图象上
B．M，R 两点一定不在二次函数图象上
C．
D．
13．（2025九下·泸县开学考）苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将调查数据整理后结果如表所示：
移植总数
成活数
成活的频率
根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为 精确到
14．（2025九下·泸县开学考）已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在 ．（填内、外或上）
15．（2025九下·泸县开学考）已知m、n是方程的两个根，则的值为 ．
16．（2025九下·泸县开学考）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ．
17．（2025九下·泸县开学考）解方程： ；
18．（2025九下·泸县开学考）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式．
19．（2025九下·泸县开学考）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长．
20．（2025九下·泸县开学考）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点逆时针旋转得到（，分别是A，B的对应点）．
（1）在图中画出，并写出点的坐标；
（2）若点位于内（不含边界），点为点绕原点逆时针旋转的对应点，直接写出点的纵坐标的取值范围．
21．（2025九下·泸县开学考）已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表）．
x …
…
y …
…
利用函数图象回答下列问题：
（2）当x 时，y随x的增大而增大；
（3）当时，函数y的取值范围为 ；
（4）若有两个不相等的实数根，m的取值范围为 ．
22．（2025九下·泸县开学考）年月日凌晨，“神舟十九号”载人飞船成功发射，这不仅是“神舟十九号”载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图，现给出两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将盘转出的数字作为被减数，盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希参加；若差为正数，则小辰参加．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）
（1）小希转动一次盘，指针指向的数字是偶数的概率是_______．
（2）这个游戏规则对双方公平吗？请判断，并通过画树状图或列表的方法说明理由．
23．（2025九下·泸县开学考）谯城区某商场销售一款上衣每件进价元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每件服装降价元；那么平均每天可多售出件．
（1）设每件衣服降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利多少元（用含的代数式表示） ；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；
（3）商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．
24．（2025九下·泸县开学考）如图，上有，，三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上，且．
（1）证明：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求的值．
25．（2025九下·泸县开学考）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故A选项错误；
B、是中心对称图形，故B选项错误；
C、不是中心对称图形，故C选项正确；
D、是中心对称图形，故D选项错误；
故答案为 ：C.
【分析】根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点就叫做中心对称点，据此解答即可．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：的一次项系数是，常数项是，
故答案为 ：B ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式，找出一次项系数和常数项即可.
3．【答案】A
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为120．
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫旋转角；观察题目中的风力发电机转子叶片图案，可以看出该图案具有3次旋转对称性，然后计算出该图案每次旋转的角度，接着根据旋转角度的倍数，确定旋转角度的可能值即可.
4．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得从袋中任意摸出一个球是白球的概率是：.
故答案为：.
【分析】从袋中随机的摸出一个小球，共有9种等可能的结果数，其中能摸到白色小球的结果数共有5种，从而即可根据概率公式算出答案.
5．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点横纵坐标都互为相反数，
∴关于原点对称，
故答案为 ：A．
【分析】关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.
6．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴；
故答案为 ：B．
【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可.
7．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，作，
∵正六边形的边长为4，，
∴．
∴正六边形的边心距是．
故答案为：D．
【分析】根据正六边形的性质求出∠AOB=60°，得到△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OA=AB=4，根据勾股定理计算即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆弧的半径为x米，圆弧所在圆的圆心为O，如图，
∵，
∴（米），
在，米，米，
由勾股定理，得
解得：，
故答案为：C．
【分析】设圆弧的半径为x米，由于OC垂直于AB，根据垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”得AD=AB求得AD的值，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
9．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；转化思想
【解析】【解答】解：由题意得，这种把一元二次方程转化为两个一元一次方程的解法体现的数学思想是转化思想.
故答案为：C.
【分析】由题意可知，题目中所给的解方程的方法是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，由此解答即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：令，则，
解得：，
∴抛物线与x轴交于和，
∵抛物线经过第一，二，三，四象限，且，
∴ ，
∴．
故答案为 ：B．
【分析】先根据抛物线y=(x-m)2(x-m-2)经过第一、第二、第三、第四象限得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
11．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：交于点F，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为 ：C．
【分析】BC交DE于点F，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠DCF=∠EBF，∠CDF=∠BEF，结合已知，用角边角可证，于是可得阴影部分面积等于△ABC的面积，根据勾股定理求出BC得长度，根据Rt△ABC的面积公式计算即可求解.
12．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数的最小值为，
∴，
∵，，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴图象过，
∴关于对称轴的对称点为，
∴在点的右侧，
∴不在抛物线上，
当，
∴图象经过点，
∵关于对称轴的对称点为，
∴在抛物线上，
∵对称轴为直线
∴，关于对称，
∴若在抛物线上，那么肯定也在抛物线上，
∵在抛物线上，而只有两点在该二次函数图象上
∴，不可能同时在抛物线上，
∴一定在抛物线上，
故A、B错误，不符合题意；
又∵，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而减小，
∵，
∴在上方
∴，
又∵，
∴，
故D正确，符合题意；
而大小无法比较，故C错误，不符合题意；
故答案为 ：D．
【分析】根据二次函数的图象与性质，从对称性以及增减性分析判断即可．
13．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵由表中数据可知随着样本数量的增加，这种花苗移植的成活概率稳定在0.9左右，
∴这种花苗移植的成活概率为0.9.
故答案为：0.9.
【分析】观察表中数据，经过大量的重复实验，事件发生的频率稳定在0.9左右，据此可求解.
14．【答案】外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：的直径为，
的半径为，
，
∴点P在外．
故答案为：外．
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
15．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m、n是方程的两个根，
∴，，
∴
．
故答案为：-1．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数得，，据此先求得，，再将待求式子利用多项式乘以多项式法则展开后，整体代入计算即可．
16．【答案】6
【知识点】圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE//BD，且使CE=1，连接CN，AC，ME，AE.
根据正方形的性质，得点A与点C关于BD对称，
∴CN=AN，
∵CE//BD，CE=MN，
∴边形CEMN是平行四边形，
∴EM=CN，
∴△AMN的周长为AM+AN+ MN=AM+EM+MN≥AE+1，
∴当点M在AE上时，△AMN的周长最小，
设⊙O的半径为r，
∵⊙O的面积为6π，
∴πr2=6π，
∴，
∴，
在正方形ABCD，AC⊥BD，
∵CE//BD，
∴CE⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴在Rt△ACE中，，
∴△AMN周长的最小值为AE+1=6.
故答案为：6．
【分析】根据正方形的性质可知点A和点C关于BD对称，过点C作BD的平行线，易得四边形CEMN是平行四边形，根据三点共线可知，当点M在AE上时，△AMN的周长最小，且△AMN的周长的最小值为AE+1，在Rt△ACE中，用勾股定理求得AE的值即可求得△AMN周长的最小值.
17．【答案】解：
X=1+ 或者x=1-
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点，难以利用因式分解法求解，则可选用配方法求解，即先将常数项移到方程的右边，由于二次项次数为1，则直接给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后两边同时开方，进而可求解.
18．【答案】解：∵抛物线与x轴交于，，
∴设抛物线为，
把代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
【知识点】利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】由于此题给出了抛物线与x轴的两交点坐标，故设出抛物线的交点式为，再代入即可求出a的值，从而得到函数解析式．
19．【答案】解：连接OA，如图所示：
设直径的长为寸，则OA=OC=x寸，OE=(x-1)寸，
∵CD为的直径，弦AB⊥CD于E，AB=6寸，
∴(寸)，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得：x2=32+(x-1)2，
解得：x=5，
∴CD=2x=2×5=10(寸)
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】连接OA，设直径CD的长度为2x寸，由垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”可得AE=BE=AB，在Rt△AOE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，则CD=2x可求解.
20．【答案】（1）解：如下图，即为所求，
由图可知，点的坐标为
（2）解：∵，∴旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图所示，
∵，，
∴由图可知，点的纵坐标为3，点的纵坐标为，
∴
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质作图，然后作答即可；
（2）由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，然后作答即可．
（1）解：如下图，即为所求，
由图可知，点的坐标为；
（2）∵，
∴旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图所示，
∵，，
∴由图可知，点的纵坐标为3，点的纵坐标为，
∴．
21．【答案】（1）解：由题意，列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
描点并连线如下图：
（2）
（3）
（4）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；作图-二次函数图象
【解析】【解答】（2）由函数图象信息可得：当时，y随x的增大而增大．
故答案为：．
（3）由函数图象信息可得：
当时，，取最小值．
当时，，
∴当时，函数y的取值范围为：．
故答案为：．
（4），
观察函数，的图象的交点，
∴当时，函数，的图象的有两个交点．
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：．
【分析】（1）列表，在直角坐标系中描出表格中各个点，再用平滑的曲线连接即可；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大可求解；
（3）根据二次函数的性质可求出函数的最小值，再求出当的函数值，结合图象即可求解；
（4）观察函数，的图象与x轴有两个交点，再根据抛物线与直线y=m的交点的个数即可求解．
（1）解：由题意，列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
描点并连线如下图：
（2）由函数图象信息可得：当时，y随x的增大而增大．
故答案为：．
（3）由函数图象信息可得：
当时，，取最小值．
当时，，
∴当时，函数y的取值范围为：．
故答案为：．
（4），
观察函数，的图象的交点，
∴当时，函数，的图象的有两个交点．
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：．
22．【答案】（1）
（2）解：这个游戏规则对双方公平，理由如下：列表如下：
由表可得，共有等结果，其中结果为负数的有种，结果为正数的有种，
∴，，
∵，
∴这个游戏规则对双方公平
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【解答】（1）解：小希转动一次盘，指针指向的数字是偶数的概率是，
故答案为：；
【分析】（）根据概率公式直接计算即可；
（）根据题意列表求出两个人参加的概率，比较即可判断求解；
（1）解：小希转动一次盘，指针指向的数字是偶数的概率是，
故答案为：；
（2）解：这个游戏规则对双方公平，理由如下：
列表如下：
由表可得，共有等结果，其中结果为负数的有种，结果为正数的有种，
∴，，
∵，
∴这个游戏规则对双方公平．
23．【答案】（1）；元；
（2）解：设每件衣服降价元，根据题意得，，
解得：（不符合题意舍去），，
∴当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元，
答：当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元
（3）解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：设每件衣服降价元，根据题意得，
，
整理得：，
∴，，，
∴，
∴商家不能达到平均每天盈利元，
答：商家不能达到平均每天盈利元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解析】解：（1）设每件衣服降价元，
∴如果每件服装降价元，则每天销售量增加件，
∵上衣每件进价元，销售价为元，
∴每件商品盈利元，
故答案为：；元．
【分析】(1)根据每件服装降价5元，那么平均每天可多售出2件可求解；
(2)设每件服装降价x元，则每件的销售利润为(160 -x-100)元，平均每天的销售量为件，根据题中的相等关系"商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量"即可得关于x的一元二次方程，解方程即可求解；
(3)商家不能达到平均每天盈利2600元，设每件服装降价x元，则每件的销售利润为(160-x-100)元，平均每天的销售量为件，根据题中的相等关系"商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量”即可得出关于x的一元二次方程，由一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可判断求解.
（1）解：设每件衣服降价元，
∴如果每件服装降价元，则每天销售量增加件，
故答案为：；
∵上衣每件进价元，销售价为元，
∴每件商品盈利元，
故答案为：元．
（2）解：设每件衣服降价元，根据题意得，
，
解得：（不符合题意舍去），，
∴当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元，
答：当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
设每件衣服降价元，根据题意得，
，
整理得：，
∴，，，
∴，
∴商家不能达到平均每天盈利元，
答：商家不能达到平均每天盈利元．
24．【答案】（1）证明：点是的中点，
，
；
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
是的半径，
是的切线；
（3）解：在中，，，
设，，则，
根据勾股定理，得，
即，
解得：或（舍去），
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
，，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得结论；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得∠ABC=90°，由直角三角形的量锐角互余得，再根据等边对等角及角的构成证出，由切线的判定可得出结论；
（3）由∠F的正弦函数可设，，由勾股定理建立方程求出，根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形的对应边成比例得出，据此AC的长，进而求出，的长；再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DE.
25．【答案】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0，5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5，0）
∴
解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1，0），B（5，0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5，0）， B的坐标为（5，0）
∴OB=CO=5，即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5)，A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵
解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）分别令直线y=-x+5中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，即可确定B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，求出A、B的坐标，结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得M1A=M1C，由等边对等角及三角形外角性质得∠AM1B=2∠ACB，根据等腰直角三角形性质得AH=BH=NH=2，进而确定N的坐标；再利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据中点坐标公式确定点E的坐标，进而根据互相垂直直线斜率乘积为-1，可确定M1E的解析式，然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标.
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