湖南省长沙市 师大附中思沁中学2024-2025学年下学期七年级数学入学考试数学试卷
1．（2025七下·长沙开学考）七年一班某次数学测试的平均成绩是105分，小明得了110分，记作分，小丽的成绩记作分，则小丽本次数学测试的成绩为（ ）
A．118分 B．112分 C．108分 D．103分
2．（2025七下·长沙开学考）某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少7%，4月份比3月份增加了8%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·长沙开学考）下列选项中，能用表示的是（ ）
A．整条线段的长度：
B．整条线段的长度：
C．这个长方形的周长：
D．这个图形的面积：
4．（2025七下·长沙开学考）在代数式，，，0，，，，中，整式的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2025七下·长沙开学考）将方程去分母，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·长沙开学考）如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·长沙开学考）如图，在长方体中，下列棱中既与棱异面又与棱相交的是（ ）
A．棱 B．棱 C．棱 D．棱
8．（2025七下·长沙开学考）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A． B． C． D．
9．（2025七下·长沙开学考）如图，添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025七下·长沙开学考）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．60 B．96 C．84 D．42
11．（2025七下·长沙开学考）如图，如果，那么的同位角的度数为 ．
12．（2025七下·长沙开学考）将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形（如图），则下列可能的图形有： ．
13．（2025七下·长沙开学考）把十进制数27转化为二进制数为 ．
14．（2025七下·长沙开学考）如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ．
15．（2025七下·长沙开学考）如图，点О是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，在刻度线OM的右侧．
下列结论：
①；
②若与互补，则射线经过刻度线160；
③若，则图中共有5对角互为余角．
其中正确的是 （填序号）
16．（2025七下·长沙开学考）对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的2倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数M为“强基数”，例如：，，，4325是个“强基数”；又如，，6538不是一个“强基数”．若将任意一个四位正整数N的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，那么称这个数为数N的“逆袭数”，同时记为四位正整数N与其“逆袭数”之差，例如：，其“逆袭数”为6785，．若一个“强基数”M的个位数字为x，设，且是8的倍数，则所有满足题意的四位正整数M之和是 ．
17．（2025七下·长沙开学考）把下列各数分别填入相应的集合内
，，0，，12，，，，．
负有理数集合{ }
正分数集合{ }
非负整数集合{ }
18．（2025七下·长沙开学考）计算：
（1）
（2）
19．（2025七下·长沙开学考）已知A＝2(a2﹣3a+1)，B＝a2﹣6a﹣5．
（1）求2B﹣A；
（2）比较A与B的大小．
20．（2025七下·长沙开学考）解方程
（1）
（2）．
21．（2025七下·长沙开学考）已知，如图，，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且．试说明：．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）．
∴，（______）．
∵（______）．
∴∠______=∠______（等量代换）．
∵（______）．
∴∠2=∠______（______）．
∴______∥______（______）．
22．（2025七下·长沙开学考）如图，已知，平分，．
（1）与相等吗？判断并说明理由；
（2）若，求的度数．
23．（2025七下·长沙开学考）【教材呈现】下面是华题版七年级上册数学教材第页部分内容．
17．代数式的值为7，则代数式的值为___________．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：
由题意，得，则有，
所以代数式的值为5．
【方法运用】
（1）若代数式的值为，求代数式的值．
（2）当时，的值为9，当时，求的值．
（3）【拓展应用】若，，则代数式的值为__________．
24．（2025七下·长沙开学考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
（1）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值；
（3）若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解．
25．（2025七下·长沙开学考）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．
（1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数；
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE=45°，∠MND=75°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：小明得了110分，记作+5分，
则小丽的成绩记作-2分，则小丽本次数学测试的成绩为105-2=103（分），
故答案为：D．
【分析】根据正负数的意义，有理数的减法解答即可．
2．【答案】D
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，3月份利润为 ，
则4月份利润为 ，
故答案为：D．
【分析】先利用x表示出3月份的利润，再利用“4月份比3月份增加了8%”表示出4月份的利润即可。
3．【答案】C
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；多边形的周长；多边形的面积
【解析】【解答】解：A、整条线段的长度为，故不合题意；
B、整条线段的长度为，故不合题意；
C、这个长方形的周长为，故符合题意；
D、这个图形的面积为，故不合题意；
故答案为：C
【分析】分别求出各选项结果，即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】整式的概念与分类
【解析】【解答】解：在代数式，，，0，，，，中，整式有，，0，，，，，共7个，
故答案为：C．
【分析】数和字母的积就是单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和就是多项式，单项式和多项式统称整式，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程去分母，
方程两边同时乘以，得
故答案为：D．
【分析】解一元一次方程——去分母，方程两边同时乘以4，即可求解．
6．【答案】A
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到侧面展开为4个小正方形并连接一个标有一个字母m的小正方形，这个标有字母m的小正方形在最左侧小正方形的下面，由选项可得只有A符合，
故选：A．
【分析】本题考查了几何体的侧面展开图， 正方体展开图的基本规律：底面与侧面的相对位置、剪开方向对展开图的影响 ，按照沿箭头所指方向将盒子剪开，即可得到展开后的图形.
7．【答案】D
【知识点】长方体中棱与面的位置关系
【解析】【解答】解：观察图象可知，既与棱异面又与棱相交的棱有、．
故答案为：D.
【分析】首先确定与相交的棱，再确定符合与异面的棱即可．
8．【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据图形得：
A、D选项中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符；
C选项中折叠成正方体后，虽然带有图案的三个面会两两相邻，但三个面得公共顶点与原立方体不符；
B选项中折叠后与原立方体符合，所以正确的是B．
故答案为：B.
【分析】图形A、D折成正方体后，带有图案的三个面不会两两相邻，故排除；当图形C折叠成正方体后，虽然带有图案的三个面会两两相邻，但三个带图案的面的公共顶点是直角三角形的直角顶点，不是直角三角形的锐角顶点，故排除；当图形B折成正方体后，带有图案的三个面会两两相邻，且三个带图案的面的公共顶点是直角三角形的锐角顶点，符合题意.
9．【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，即，
∴，
故A不符合题意；
∵，
∴，
不能判定，
故B符合题意；
∵，
∴，
故C不符合题意；
∵，即，
∴，
故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定定理，求解即可．
10．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，梯形是直角梯形，
∴．
∵，，
∴，
∵平移距离为6，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据平移得到，然后利用梯形面积公式计算即可．
11．【答案】
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴，
∴的同位角等于．
故答案为：．
【分析】由于，利用邻补角定义可求，而就是的同位角．
12．【答案】（2），（3），（4），（5），（6），（7）
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：图（1）（8）（9）折叠后有一行两个面无法折起来，不能折成正方体；而（2），（3），（4），（5），（6），（7）都能折成正方体．故答案为（2），（3），（4），（5），（6），（7）．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
13．【答案】
【知识点】十进制及其他进制问题
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
所以十进制数27转化为二进制数为．
故答案为：．
【分析】根据题意列式计算并取余数即可.
14．【答案】
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠1=2x，∠2=x，
∵∠AOE=90°，
∴x+2x=90°，
解得x=30°，
∴∠BOC=180°-∠2=180°-30°= 150°，
∵OF平分∠BOC，
∴，
故答案为：75°.【分析】根据比例设∠1=2x，∠2=x，由垂直的定义得∠BOE=90°可得关于x的方程，解方程求出x的值，再根据邻补角的定义求出∠BOC的度数，然后根据角平分线的定义得∠COF=∠BOC可求解.
15．【答案】①②
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：如图，
①∵，
∴，
∴，故①正确；
②由题意可得：，
∵，
∴，即，
∴，
∴∠EOD=∠EOB+∠BOC+∠COD=，即射线经过刻度线160，故②正确；
③∵，
，
∴，
∴和互为余角，
∵射线OM经过刻度线90，
∴，
∴和，和，和，和，和互为余角，
即共有6对角互为余角，故③错误，
∴正确的有①②.
故答案为：①②．
【分析】根据等量加等量和相等可判断①，根据和为180°的两个角互为补角及角的构成列出方程求出，从而根据角的构成，由∠EOD=∠EOB+∠BOC+∠COD得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据和为90°的两个角互为余角可判断③．
16．【答案】21522
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：根据题干中所给的条件及信息，可设M的十位数字为，
则，，
即：
，，
是8的倍数
只有，，三种情况，
解得：x=8，y=1；x=5，y=2；x=2，y=3；x=7，y=4；
①当时，，此时；②当时，，此时；③当时，，此时；④当时，，此时；
∴所有满足题意的四位正整数M之和为：．
故答案为：21522．
【分析】设M的十位数字为，先用、表示出、，接着根据是8的倍数列出所有满足题意的四位正整数，即可得到答案．
17．【答案】，，，；，；0，12
【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解： -2是一个负整数，因此属于负有理数集合，
-47是一个负整数，也属于负有理数集合，
0是一个非负整数，属于非负整数集合，
-π是一个负无理数，不在题目要求的集合内，
12是一个正整数，也是非负整数，属于非负整数集合，
0.62是一个正有限小数，属于正分数集合，
-2.2是一个负有限小数，属于负有理数集合，
-是一个负分数，同样属于负有理数集合，
是一个正分数，属于正分数集合，
负有理数集合{，，，}；
正分数集合{，}；
非负整数集合{ 0，12 }．
故答案为：，，，；，；0，12.
【分析】有理数分为正有理数、零和负有理数；负有理数分为负整数与负分数（有限小数与无限循环小数也可以化为分数）；正分数就是大于零的分数；非负整数就是正整数和零，据此逐一判断得出答案.
18．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解；
（2）根据有理数混合运算进行计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．【答案】解：（1）∵A=2（a2-3a+1），B=a2-6a-5，
∴2B-A=2（a2-6a-5）-2（a2-3a+1）
=2a2-12a-10-2a2+6a-2
=-6a-12；
（2）∵A=2（a2-3a+1），B=a2-6a-5，
∴A-B=2（a2-3a+1）-（a2-6a-5）
=2a2-6a+2-a2+6a+5
=a2+7＞0，
∴A＞B．
【知识点】整式的加减运算；整式的大小比较
【解析】【分析】（1）根据题意列出2B-A的式子，再去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），进而合并同类项即可；（2）列出A-B的式子，再去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），进而合并同类项化简，最后结合偶数次幂的非负性判断出A-B的正负，即可判断出A与B的大小.
20．【答案】（1）解：去括号得：，
移项合并得：，
解得：
（2）解：去分母得：，
移项合并得：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
（1）解：去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
（2）去分母得：，
移项合并得：．
21．【答案】角平分线定义；已知；1；2；已知；∠3；等量代换；AB；CD；内错角相等，两直线平行．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，
∴，ADC（角平分线定义）．
∵（已知）．
∴∠1=∠2（等量代换）．
∵（已知）．
∴∠2=∠3（等量代换）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线定义；已知；1；2；已知；∠3；等量代换；AB；CD；内错角相等，两直线平行．
【分析】由角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ADC，由等量代换可得∠2=∠3，再根据内错角相等两直线平行可求解．
22．【答案】（1）解：与相等，理由如下；
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴∠ADB+∠DGE=180°，
∵，
∴∠DGE+∠HFG=180°，
∴∠HFG=∠ADB=78°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得AD∥EG，由二直线平行，同位角、内错角都相等得∠CAD=∠E，∠DAB=∠AFE，由角平分线的定义得，从而由等量代换得；
（2）由二直线平行，同旁内角互补得∠ADB+∠DGE=180°，∠DGE+∠HFG=180°，由同角的补角相等得∠HFG=∠ADB=78°.
（1）解：与相等，理由如下；
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
23．【答案】（1）解：由题意，得，则有，
，
∴代数式的值为
（2）解：当时，，由题意，得，即，则有．
∴当时，．
（3）10
【知识点】整式的加减运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（3）由题意知，，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据题干过程求解即可；
（2）根据题干过程求解即可；
（3）根据，然后代值求解即可．
（1）解：由题意，得，则有，
，
所以代数式的值为．
（2）解：当时，，
由题意，得，即，则有．
∴当时，．
（3）解：由题意知，，
∴，
故答案为：．
24．【答案】（1）解：由条件可知，
∵4x-2=x+10，
∴x=4，
∵关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是“美好方程”，
∴，
解得m=9.
（2）解：由题意得，另一个解为：，
∵“美好方程”的两个解的差为8，
∴或，
解得或
（3）解：解方程得：，∵关于的一元一次方程和是“美好方程”，
∴关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
令，则原方程等价为，
∴关于的一元一次方程的解为
【知识点】解一元一次方程；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先解已知的两个方程，然后根据"美好方程"的定义可得关于m的方程，解方程即可求解；
（2）根据"美好方程"的定义可得另一个解为：1-n，然后根据“美好方程”的两个解的差为8可列关于n的含绝对值的方程，根据绝对值的意义分两种情况可得关于n的方程，解方程即可求解；
（3）先解方程得：，根据“美好方程”的定义得到关于的方程的解为，然后可得关于的一元一次方程的解为，令，则原方程等价为，解之可求解．
（1）解：解方程得，
∵关于的方程与方程是“美好方程”，
∴关于的方程的解为，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，另一个解为，
∵“美好方程”的两个解的差为8，
∴或，
解得或；
（3）解：解方程得：，
∵关于的一元一次方程和是“美好方程”，
∴关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
令，则原方程等价为，
∴关于的一元一次方程的解为．
25．【答案】（1）135°
（2）解：2∠PFQ-∠PEQ=180°，
理由如下：
延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠APE=2α，设∠PEQ=β，则，
∵AB//CD，
∴∠PGQ=∠APE=2α，
∵∠GEQ=180°-∠PEQ，
∴∠EQD=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α，
∴，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，
∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，
∠PHF=∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：，
∴2∠PFQ-∠PEQ=180°.
（3）解：总的时间为：75÷5=15(s)，15×10°=150°，则△FPH旋转的角度范围为0°150°，直线MN旋转的角度范围为0°75°，
由（1）得：∠PFQ=135°，则∠PFH=∠HPF=45°，
∴∠HPA=∠APF=∠EPF=22.5°，
当M'N∥PH'时，如图：
∠1=75°-5t，∠APH'=10t-22.5°，
依题意得75°-5t=10t-22.5°，
解得：t=6.5(s)；
当M'N∥PF'时，如图：
∠1=75°-5t，∠APF'=10t+22.5°，
依题意得75°-5t=10t+22.5°，
解得：t=3.5(s)；
当M'N∥F'H'时，设F'H'与AB交于点G，如图：
∠1=75°-5t，∠H'GP=10t+22.5°+45°，
依题意得75°-5t=10t+67.5°，
解得：t=0.5(s)；
当M'N∥F'H'时，设H'F'与AB交于点I，如图：
∠2=75°-5t，∠H'IP=45°-(180°-22.5°-10t)=-112.5°+10t，
依题意得75°-5t=10t-112.5°，
解得：t=12.5(s)；
当M'N∥PF'时，如图：
∠2=75°-5t，∠F'PB=10t-(180°-22.5°)=10t-157.5°，
依题意得75°-5t=10t-157.5°，
解得：t=15.5>15(不合题意，舍去)；
综上，所有满足条件的t的值为0.5s或3.5s或6.5s或12.5s
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行公理及推论；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图1：
延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠APE=2α，则，
∵AB//CD，
∴∠PGQ=∠APE=2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH=∠QEG=90°，
∴∠EQD=∠QEG+∠PGQ=90°+2α，
∴，
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，
∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α=α+∠PFH，
∴∠PFH=135°，
故答案为：135°.
【分析】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠APE=2α，则，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可将∠PGQ用含α的代数式表示出来，由三角形内角和定理“三角形三内角的和等于180°”可将∠EQD用含α的代数式表示出来，于是∠EQH也可用含α的代数式表示出来，然后结合△EQH和△PFH可得关于α的方程，解方程即可求解；
（2）类比(1)的方法过程即可求解；
（3）分情况讨论，画出图形，根据平行线的性质，列出关于t的方程，解方程即可求解．
（1）解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，∴EG∥FH∥AB∥CD，
∴∠EQN=∠GEQ，∠GEP=∠MPE，∠MPF =∠PFH，∠DQF+∠HFQ=180°，
∵EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE，
∴∠EQF=∠DQF=(180°-∠EQN)=90°-∠GEQ，∠MPF=∠EPF=∠MPE，
∵PE⊥QE，即∠PEQ=∠PEG +∠GEQ =90°，
∴∠PFQ=∠PFH+∠HFQ=∠MPE+(180°-∠DQF)
=∠MPE+180°-(90°-∠GEQ)
=∠PEG+90°+∠GEQ，
=45°+90°=135°；
（2）解：2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由如下：
过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，∴EG∥FH∥AB∥CD，
∴∠EQN=∠GEQ，∠GEP=∠MPE，∠MPF =∠PFH，∠DQF+∠HFQ=180°，
∵EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE，
∴∠EQF=∠DQF=(180°-∠EQN)=90°-∠GEQ，∠MPF=∠EPF=∠MPE，
∴∠PFQ=∠PFH+∠HFQ=∠MPE+(180°-∠DQF)
=∠MPE+180°-(90°-∠GEQ)
=∠PEG+90°+∠GEQ，
=∠PEQ+90°，
即2∠PFQ-∠PEQ=180°；
（3）解：总的时间为：75÷5=15(s)，15×10°=150°，
则△FPH旋转的角度范围为0°150°，直线MN旋转的角度范围为0°75°，
由（1）得：∠PFQ=135°，则∠PFH=∠HPF=45°，
∴∠HPA=∠APF=∠EPF=22.5°，
当M'N∥PH'时，如图：
∠1=75°-5t，∠APH'=10t-22.5°，
依题意得75°-5t=10t-22.5°，
解得：t=6.5(s)；
当M'N∥PF'时，如图：
∠1=75°-5t，∠APF'=10t+22.5°，
依题意得75°-5t=10t+22.5°，
解得：t=3.5(s)；
当M'N∥F'H'时，设F'H'与AB交于点G，如图：
∠1=75°-5t，∠H'GP=10t+22.5°+45°，
依题意得75°-5t=10t+67.5°，
解得：t=0.5(s)；
当M'N∥F'H'时，设H'F'与AB交于点I，如图：
∠2=75°-5t，∠H'IP=45°-(180°-22.5°-10t)=-112.5°+10t，
依题意得75°-5t=10t-112.5°，
解得：t=12.5(s)；
当M'N∥PF'时，如图：
∠2=75°-5t，∠F'PB=10t-(180°-22.5°)=10t-157.5°，
依题意得75°-5t=10t-157.5°，
解得：t=15.5>15(不合题意，舍去)；
综上，所有满足条件的t的值为0.5s或3.5s或6.5s或12.5s．
1 / 1湖南省长沙市 师大附中思沁中学2024-2025学年下学期七年级数学入学考试数学试卷
1．（2025七下·长沙开学考）七年一班某次数学测试的平均成绩是105分，小明得了110分，记作分，小丽的成绩记作分，则小丽本次数学测试的成绩为（ ）
A．118分 B．112分 C．108分 D．103分
【答案】D
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：小明得了110分，记作+5分，
则小丽的成绩记作-2分，则小丽本次数学测试的成绩为105-2=103（分），
故答案为：D．
【分析】根据正负数的意义，有理数的减法解答即可．
2．（2025七下·长沙开学考）某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少7%，4月份比3月份增加了8%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，3月份利润为 ，
则4月份利润为 ，
故答案为：D．
【分析】先利用x表示出3月份的利润，再利用“4月份比3月份增加了8%”表示出4月份的利润即可。
3．（2025七下·长沙开学考）下列选项中，能用表示的是（ ）
A．整条线段的长度：
B．整条线段的长度：
C．这个长方形的周长：
D．这个图形的面积：
【答案】C
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；多边形的周长；多边形的面积
【解析】【解答】解：A、整条线段的长度为，故不合题意；
B、整条线段的长度为，故不合题意；
C、这个长方形的周长为，故符合题意；
D、这个图形的面积为，故不合题意；
故答案为：C
【分析】分别求出各选项结果，即可求出答案.
4．（2025七下·长沙开学考）在代数式，，，0，，，，中，整式的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】整式的概念与分类
【解析】【解答】解：在代数式，，，0，，，，中，整式有，，0，，，，，共7个，
故答案为：C．
【分析】数和字母的积就是单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和就是多项式，单项式和多项式统称整式，据此逐一判断得出答案.
5．（2025七下·长沙开学考）将方程去分母，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程去分母，
方程两边同时乘以，得
故答案为：D．
【分析】解一元一次方程——去分母，方程两边同时乘以4，即可求解．
6．（2025七下·长沙开学考）如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到侧面展开为4个小正方形并连接一个标有一个字母m的小正方形，这个标有字母m的小正方形在最左侧小正方形的下面，由选项可得只有A符合，
故选：A．
【分析】本题考查了几何体的侧面展开图， 正方体展开图的基本规律：底面与侧面的相对位置、剪开方向对展开图的影响 ，按照沿箭头所指方向将盒子剪开，即可得到展开后的图形.
7．（2025七下·长沙开学考）如图，在长方体中，下列棱中既与棱异面又与棱相交的是（ ）
A．棱 B．棱 C．棱 D．棱
【答案】D
【知识点】长方体中棱与面的位置关系
【解析】【解答】解：观察图象可知，既与棱异面又与棱相交的棱有、．
故答案为：D.
【分析】首先确定与相交的棱，再确定符合与异面的棱即可．
8．（2025七下·长沙开学考）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据图形得：
A、D选项中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符；
C选项中折叠成正方体后，虽然带有图案的三个面会两两相邻，但三个面得公共顶点与原立方体不符；
B选项中折叠后与原立方体符合，所以正确的是B．
故答案为：B.
【分析】图形A、D折成正方体后，带有图案的三个面不会两两相邻，故排除；当图形C折叠成正方体后，虽然带有图案的三个面会两两相邻，但三个带图案的面的公共顶点是直角三角形的直角顶点，不是直角三角形的锐角顶点，故排除；当图形B折成正方体后，带有图案的三个面会两两相邻，且三个带图案的面的公共顶点是直角三角形的锐角顶点，符合题意.
9．（2025七下·长沙开学考）如图，添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，即，
∴，
故A不符合题意；
∵，
∴，
不能判定，
故B符合题意；
∵，
∴，
故C不符合题意；
∵，即，
∴，
故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定定理，求解即可．
10．（2025七下·长沙开学考）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．60 B．96 C．84 D．42
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，梯形是直角梯形，
∴．
∵，，
∴，
∵平移距离为6，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据平移得到，然后利用梯形面积公式计算即可．
11．（2025七下·长沙开学考）如图，如果，那么的同位角的度数为 ．
【答案】
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴，
∴的同位角等于．
故答案为：．
【分析】由于，利用邻补角定义可求，而就是的同位角．
12．（2025七下·长沙开学考）将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形（如图），则下列可能的图形有： ．
【答案】（2），（3），（4），（5），（6），（7）
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：图（1）（8）（9）折叠后有一行两个面无法折起来，不能折成正方体；而（2），（3），（4），（5），（6），（7）都能折成正方体．故答案为（2），（3），（4），（5），（6），（7）．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
13．（2025七下·长沙开学考）把十进制数27转化为二进制数为 ．
【答案】
【知识点】十进制及其他进制问题
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
所以十进制数27转化为二进制数为．
故答案为：．
【分析】根据题意列式计算并取余数即可.
14．（2025七下·长沙开学考）如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠1=2x，∠2=x，
∵∠AOE=90°，
∴x+2x=90°，
解得x=30°，
∴∠BOC=180°-∠2=180°-30°= 150°，
∵OF平分∠BOC，
∴，
故答案为：75°.【分析】根据比例设∠1=2x，∠2=x，由垂直的定义得∠BOE=90°可得关于x的方程，解方程求出x的值，再根据邻补角的定义求出∠BOC的度数，然后根据角平分线的定义得∠COF=∠BOC可求解.
15．（2025七下·长沙开学考）如图，点О是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，在刻度线OM的右侧．
下列结论：
①；
②若与互补，则射线经过刻度线160；
③若，则图中共有5对角互为余角．
其中正确的是 （填序号）
【答案】①②
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：如图，
①∵，
∴，
∴，故①正确；
②由题意可得：，
∵，
∴，即，
∴，
∴∠EOD=∠EOB+∠BOC+∠COD=，即射线经过刻度线160，故②正确；
③∵，
，
∴，
∴和互为余角，
∵射线OM经过刻度线90，
∴，
∴和，和，和，和，和互为余角，
即共有6对角互为余角，故③错误，
∴正确的有①②.
故答案为：①②．
【分析】根据等量加等量和相等可判断①，根据和为180°的两个角互为补角及角的构成列出方程求出，从而根据角的构成，由∠EOD=∠EOB+∠BOC+∠COD得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据和为90°的两个角互为余角可判断③．
16．（2025七下·长沙开学考）对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的2倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数M为“强基数”，例如：，，，4325是个“强基数”；又如，，6538不是一个“强基数”．若将任意一个四位正整数N的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，那么称这个数为数N的“逆袭数”，同时记为四位正整数N与其“逆袭数”之差，例如：，其“逆袭数”为6785，．若一个“强基数”M的个位数字为x，设，且是8的倍数，则所有满足题意的四位正整数M之和是 ．
【答案】21522
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：根据题干中所给的条件及信息，可设M的十位数字为，
则，，
即：
，，
是8的倍数
只有，，三种情况，
解得：x=8，y=1；x=5，y=2；x=2，y=3；x=7，y=4；
①当时，，此时；②当时，，此时；③当时，，此时；④当时，，此时；
∴所有满足题意的四位正整数M之和为：．
故答案为：21522．
【分析】设M的十位数字为，先用、表示出、，接着根据是8的倍数列出所有满足题意的四位正整数，即可得到答案．
17．（2025七下·长沙开学考）把下列各数分别填入相应的集合内
，，0，，12，，，，．
负有理数集合{ }
正分数集合{ }
非负整数集合{ }
【答案】，，，；，；0，12
【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解： -2是一个负整数，因此属于负有理数集合，
-47是一个负整数，也属于负有理数集合，
0是一个非负整数，属于非负整数集合，
-π是一个负无理数，不在题目要求的集合内，
12是一个正整数，也是非负整数，属于非负整数集合，
0.62是一个正有限小数，属于正分数集合，
-2.2是一个负有限小数，属于负有理数集合，
-是一个负分数，同样属于负有理数集合，
是一个正分数，属于正分数集合，
负有理数集合{，，，}；
正分数集合{，}；
非负整数集合{ 0，12 }．
故答案为：，，，；，；0，12.
【分析】有理数分为正有理数、零和负有理数；负有理数分为负整数与负分数（有限小数与无限循环小数也可以化为分数）；正分数就是大于零的分数；非负整数就是正整数和零，据此逐一判断得出答案.
18．（2025七下·长沙开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解；
（2）根据有理数混合运算进行计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．（2025七下·长沙开学考）已知A＝2(a2﹣3a+1)，B＝a2﹣6a﹣5．
（1）求2B﹣A；
（2）比较A与B的大小．
【答案】解：（1）∵A=2（a2-3a+1），B=a2-6a-5，
∴2B-A=2（a2-6a-5）-2（a2-3a+1）
=2a2-12a-10-2a2+6a-2
=-6a-12；
（2）∵A=2（a2-3a+1），B=a2-6a-5，
∴A-B=2（a2-3a+1）-（a2-6a-5）
=2a2-6a+2-a2+6a+5
=a2+7＞0，
∴A＞B．
【知识点】整式的加减运算；整式的大小比较
【解析】【分析】（1）根据题意列出2B-A的式子，再去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），进而合并同类项即可；（2）列出A-B的式子，再去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），进而合并同类项化简，最后结合偶数次幂的非负性判断出A-B的正负，即可判断出A与B的大小.
20．（2025七下·长沙开学考）解方程
（1）
（2）．
【答案】（1）解：去括号得：，
移项合并得：，
解得：
（2）解：去分母得：，
移项合并得：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
（1）解：去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
（2）去分母得：，
移项合并得：．
21．（2025七下·长沙开学考）已知，如图，，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且．试说明：．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）．
∴，（______）．
∵（______）．
∴∠______=∠______（等量代换）．
∵（______）．
∴∠2=∠______（______）．
∴______∥______（______）．
【答案】角平分线定义；已知；1；2；已知；∠3；等量代换；AB；CD；内错角相等，两直线平行．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，
∴，ADC（角平分线定义）．
∵（已知）．
∴∠1=∠2（等量代换）．
∵（已知）．
∴∠2=∠3（等量代换）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线定义；已知；1；2；已知；∠3；等量代换；AB；CD；内错角相等，两直线平行．
【分析】由角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ADC，由等量代换可得∠2=∠3，再根据内错角相等两直线平行可求解．
22．（2025七下·长沙开学考）如图，已知，平分，．
（1）与相等吗？判断并说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：与相等，理由如下；
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴∠ADB+∠DGE=180°，
∵，
∴∠DGE+∠HFG=180°，
∴∠HFG=∠ADB=78°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得AD∥EG，由二直线平行，同位角、内错角都相等得∠CAD=∠E，∠DAB=∠AFE，由角平分线的定义得，从而由等量代换得；
（2）由二直线平行，同旁内角互补得∠ADB+∠DGE=180°，∠DGE+∠HFG=180°，由同角的补角相等得∠HFG=∠ADB=78°.
（1）解：与相等，理由如下；
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
23．（2025七下·长沙开学考）【教材呈现】下面是华题版七年级上册数学教材第页部分内容．
17．代数式的值为7，则代数式的值为___________．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：
由题意，得，则有，
所以代数式的值为5．
【方法运用】
（1）若代数式的值为，求代数式的值．
（2）当时，的值为9，当时，求的值．
（3）【拓展应用】若，，则代数式的值为__________．
【答案】（1）解：由题意，得，则有，
，
∴代数式的值为
（2）解：当时，，由题意，得，即，则有．
∴当时，．
（3）10
【知识点】整式的加减运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（3）由题意知，，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据题干过程求解即可；
（2）根据题干过程求解即可；
（3）根据，然后代值求解即可．
（1）解：由题意，得，则有，
，
所以代数式的值为．
（2）解：当时，，
由题意，得，即，则有．
∴当时，．
（3）解：由题意知，，
∴，
故答案为：．
24．（2025七下·长沙开学考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
（1）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值；
（3）若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解．
【答案】（1）解：由条件可知，
∵4x-2=x+10，
∴x=4，
∵关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是“美好方程”，
∴，
解得m=9.
（2）解：由题意得，另一个解为：，
∵“美好方程”的两个解的差为8，
∴或，
解得或
（3）解：解方程得：，∵关于的一元一次方程和是“美好方程”，
∴关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
令，则原方程等价为，
∴关于的一元一次方程的解为
【知识点】解一元一次方程；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先解已知的两个方程，然后根据"美好方程"的定义可得关于m的方程，解方程即可求解；
（2）根据"美好方程"的定义可得另一个解为：1-n，然后根据“美好方程”的两个解的差为8可列关于n的含绝对值的方程，根据绝对值的意义分两种情况可得关于n的方程，解方程即可求解；
（3）先解方程得：，根据“美好方程”的定义得到关于的方程的解为，然后可得关于的一元一次方程的解为，令，则原方程等价为，解之可求解．
（1）解：解方程得，
∵关于的方程与方程是“美好方程”，
∴关于的方程的解为，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，另一个解为，
∵“美好方程”的两个解的差为8，
∴或，
解得或；
（3）解：解方程得：，
∵关于的一元一次方程和是“美好方程”，
∴关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
令，则原方程等价为，
∴关于的一元一次方程的解为．
25．（2025七下·长沙开学考）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．
（1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数；
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE=45°，∠MND=75°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M'N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F'PH'，当MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）135°
（2）解：2∠PFQ-∠PEQ=180°，
理由如下：
延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠APE=2α，设∠PEQ=β，则，
∵AB//CD，
∴∠PGQ=∠APE=2α，
∵∠GEQ=180°-∠PEQ，
∴∠EQD=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α，
∴，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，
∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，
∠PHF=∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：，
∴2∠PFQ-∠PEQ=180°.
（3）解：总的时间为：75÷5=15(s)，15×10°=150°，则△FPH旋转的角度范围为0°150°，直线MN旋转的角度范围为0°75°，
由（1）得：∠PFQ=135°，则∠PFH=∠HPF=45°，
∴∠HPA=∠APF=∠EPF=22.5°，
当M'N∥PH'时，如图：
∠1=75°-5t，∠APH'=10t-22.5°，
依题意得75°-5t=10t-22.5°，
解得：t=6.5(s)；
当M'N∥PF'时，如图：
∠1=75°-5t，∠APF'=10t+22.5°，
依题意得75°-5t=10t+22.5°，
解得：t=3.5(s)；
当M'N∥F'H'时，设F'H'与AB交于点G，如图：
∠1=75°-5t，∠H'GP=10t+22.5°+45°，
依题意得75°-5t=10t+67.5°，
解得：t=0.5(s)；
当M'N∥F'H'时，设H'F'与AB交于点I，如图：
∠2=75°-5t，∠H'IP=45°-(180°-22.5°-10t)=-112.5°+10t，
依题意得75°-5t=10t-112.5°，
解得：t=12.5(s)；
当M'N∥PF'时，如图：
∠2=75°-5t，∠F'PB=10t-(180°-22.5°)=10t-157.5°，
依题意得75°-5t=10t-157.5°，
解得：t=15.5>15(不合题意，舍去)；
综上，所有满足条件的t的值为0.5s或3.5s或6.5s或12.5s
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行公理及推论；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）如图1：
延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠APE=2α，则，
∵AB//CD，
∴∠PGQ=∠APE=2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH=∠QEG=90°，
∴∠EQD=∠QEG+∠PGQ=90°+2α，
∴，
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，
∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α=α+∠PFH，
∴∠PFH=135°，
故答案为：135°.
【分析】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠APE=2α，则，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可将∠PGQ用含α的代数式表示出来，由三角形内角和定理“三角形三内角的和等于180°”可将∠EQD用含α的代数式表示出来，于是∠EQH也可用含α的代数式表示出来，然后结合△EQH和△PFH可得关于α的方程，解方程即可求解；
（2）类比(1)的方法过程即可求解；
（3）分情况讨论，画出图形，根据平行线的性质，列出关于t的方程，解方程即可求解．
（1）解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，∴EG∥FH∥AB∥CD，
∴∠EQN=∠GEQ，∠GEP=∠MPE，∠MPF =∠PFH，∠DQF+∠HFQ=180°，
∵EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE，
∴∠EQF=∠DQF=(180°-∠EQN)=90°-∠GEQ，∠MPF=∠EPF=∠MPE，
∵PE⊥QE，即∠PEQ=∠PEG +∠GEQ =90°，
∴∠PFQ=∠PFH+∠HFQ=∠MPE+(180°-∠DQF)
=∠MPE+180°-(90°-∠GEQ)
=∠PEG+90°+∠GEQ，
=45°+90°=135°；
（2）解：2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由如下：
过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，∴EG∥FH∥AB∥CD，
∴∠EQN=∠GEQ，∠GEP=∠MPE，∠MPF =∠PFH，∠DQF+∠HFQ=180°，
∵EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE，
∴∠EQF=∠DQF=(180°-∠EQN)=90°-∠GEQ，∠MPF=∠EPF=∠MPE，
∴∠PFQ=∠PFH+∠HFQ=∠MPE+(180°-∠DQF)
=∠MPE+180°-(90°-∠GEQ)
=∠PEG+90°+∠GEQ，
=∠PEQ+90°，
即2∠PFQ-∠PEQ=180°；
（3）解：总的时间为：75÷5=15(s)，15×10°=150°，
则△FPH旋转的角度范围为0°150°，直线MN旋转的角度范围为0°75°，
由（1）得：∠PFQ=135°，则∠PFH=∠HPF=45°，
∴∠HPA=∠APF=∠EPF=22.5°，
当M'N∥PH'时，如图：
∠1=75°-5t，∠APH'=10t-22.5°，
依题意得75°-5t=10t-22.5°，
解得：t=6.5(s)；
当M'N∥PF'时，如图：
∠1=75°-5t，∠APF'=10t+22.5°，
依题意得75°-5t=10t+22.5°，
解得：t=3.5(s)；
当M'N∥F'H'时，设F'H'与AB交于点G，如图：
∠1=75°-5t，∠H'GP=10t+22.5°+45°，
依题意得75°-5t=10t+67.5°，
解得：t=0.5(s)；
当M'N∥F'H'时，设H'F'与AB交于点I，如图：
∠2=75°-5t，∠H'IP=45°-(180°-22.5°-10t)=-112.5°+10t，
依题意得75°-5t=10t-112.5°，
解得：t=12.5(s)；
当M'N∥PF'时，如图：
∠2=75°-5t，∠F'PB=10t-(180°-22.5°)=10t-157.5°，
依题意得75°-5t=10t-157.5°，
解得：t=15.5>15(不合题意，舍去)；
综上，所有满足条件的t的值为0.5s或3.5s或6.5s或12.5s．
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