第二章 培优提升五 运动图像与追及相遇问题
(分值:100分)
选择题1~11题,每小题7分,共77分。
基础对点练
题组一 运动学图像
1.(2024·四川绵阳高一期末)如图所示,物体甲和乙在同一水平直轨道上运动,它们的运动图像如图所示(横轴是时间t,纵轴未标明物理量),图线甲斜率的绝对值大于图线乙斜率的绝对值,由图可知 ( )
若纵轴是位移,则甲做匀速运动,乙做减速运动
若纵轴是速度,则甲的加速度大小比乙的大
若纵轴是位移,则t0时刻两物体速度相同
若纵轴是速度,则t0时刻两物体加速度相同
2.(2024·四川南充高一期末)如图所示的x-t和v-t图像中,给出的四条图线甲、乙、丙、丁分别代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况。则下列说法正确的是 ( )
甲车做曲线运动,乙车做直线运动
0~t1时间内,甲车的速度总是大于乙车的速度
0~t2时间内,丙、丁两车在t2时刻相距最远
0~t2时间内,丙、丁两车的平均速度相等
3.(多选)(2024·广西南宁高一统考期末)如图是一个物体的速度-时间图像,取t=0时刻物体所在位置为初位置,则下列关于该物体的运动情况,表述正确的是 ( )
前4 s内物体的位移为零
第1 s末物体的位移和速度都改变方向
第2 s末物体的位移和速度都改变方向
第1 s末、第3 s末、第5 s末物体所在的位置相同
4.一质点沿直线运动,如图所示是从t=0时刻开始的质点的-t图像(x为位移),可以推知 ( )
质点做匀减速运动
加速度的大小是1 m/s2
t=2 s时,质点的速度是1 m/s
t=2 s时,质点位移是3 m
5.甲物体以速度v0做匀速直线运动,当它运动到某一位置时,该处有另一物体乙开始做初速度为0的匀加速直线运动去追甲,下列说法正确的是 ( )
可求乙追上甲时乙的速度
可求乙追上甲时乙的位移
可求乙从开始运动到追上甲时所用的时间
可求乙的加速度
题组二 追及相遇问题
6.(多选)a、b两车在同一平直公路上行驶,两车的位移x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是 ( )
b车运动方向始终不变
a、b两车相遇两次
t1到t2时间内,a车和b车的位移相等
t1到t2时间内,a车和b车的位移都在均匀增大
7.(多选)(2024·四川凉山高二统考期末)在2022年世界赛艇锦标赛上,中国赛艇队获得女子四人双桨项目金牌。下列x-t和v-t图像描述了比赛中五条相同赛艇从同一起航线同时出发、沿长直航道划向同一终点线的运动全过程,其中能反映赛艇甲与其他赛艇在途中出现艇首并齐的有 ( )
A B C D
8.甲、乙两物体由同一地点沿同一条直线运动,它们的v-t图像如图所示,则在0~4 s内 ( )
两物体始终同向运动
2 s末两物体相距最远
两物体平均速度相等
4 s末两物体相遇
综合提升练
9.象群经过某一平直路段时,一小象因贪玩而落后象群里的象妈妈40 m时才察觉,于是小象立刻由静止开始以大小为1 m/s2的加速度追赶象妈妈。若象妈妈以大小为1 m/s的速度匀速前行,小象达到最大速度4 m/s后的速度保持不变,则下列说法正确的是 ( )
从小象开始追赶象妈妈起,经2 s它们相距最远
小象追赶象妈妈的过程中,与象妈妈的最远距离为41 m
从小象开始追赶象妈妈起,经15 s小象追上象妈妈
小象追赶象妈妈过程中的位移大小为56 m
10.(2023·上海市曹杨第二中学月考)甲、乙两个物体从同一地点同时出发,在同一直线上做匀变速直线运动,它们的速度—时间图像如图所示,则 ( )
甲、乙两物体运动方向相反
t=4 s时,甲、乙两物体相遇
甲、乙两物体能相遇两次
在相遇前,甲、乙两物体的最远距离为20 m
11.如图所示,A、B两物体相距x0=7 m,物体A以vA=4 m/s的速度向右匀速运动,而物体B此时的速度为vB=10 m/s,向右做匀减速运动,加速度a=-2 m/s2,那么物体A追上物体B所用的时间为 ( )
7 s 8 s 9 s 10 s
12.(11分)汽车A以vA=10 m/s的速度向右做匀速直线运动,在其前方相距x0=20 m处以vB=20 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速直线运动,加速度大小a=4 m/s2,从此刻开始计时。求:
(1)(5分)A追上B前,A、B间的最远距离是多少;
(2)(6分)经过多长时间A才能追上B。
培优加强练
13.(12分)一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时,司机低头看手机2 s,相当于盲开50 m,该车遇见紧急情况,紧急刹车的距离(从开始刹车到停下来汽车所行驶的距离)至少是25 m。根据以上提供的信息:
(1)(6分)求汽车行驶的速度和刹车的最大加速度大小;
(2)(6分)若该车以108 km/h的速度在高速公路上行驶时,前方100 m处道路塌方,该司机因用手机微信抢红包,2 s后才发现危险,司机的反应时间为0.5 s,刹车的加速度与(1)问中大小相等。试通过计算说明汽车是否会发生交通事故。
培优提升五 运动图像与追及相遇问题
1.B [若纵轴为位移，即x－t图线，图线的斜率表示物体运动的速度，图线的交点表示两物体相遇，所以两物体均做匀速直线运动，且甲运动的速度大于乙的速度，在t0时刻甲、乙两物体相遇，故A、C错误；若纵轴为速度，即v－t图线，图线的斜率表示物体运动的加速度，图线的交点表示两物体速度相等，所以甲物体做匀加速直线运动，乙物体做匀减速直线运动，且甲运动的加速度大于乙的加速度，在t0时刻甲、乙两物体速度相同，故B正确，D错误。]
2.C [根据位移—时间图像的斜率表示速度，由图像可知：乙图线的斜率不变，说明乙的速度不变，做匀速直线运动；甲做速度越来越小的变速直线运动，且甲的斜率先大于乙的斜率后小于乙的斜率，可知甲的速度先大于乙后小于乙，故A、B错误；v－t图像中，由图像与时间轴围成的面积表示位移可知：0～t2时间内丙、丁两车在t2时刻面积差最大，所以相距最远，故C正确；0～t2时间内，丙的位移小于丁的位移，由于时间相等，所以丙的平均速度小于丁的平均速度，故D错误。]
3.AD [根据v－t图像围成的面积表示位移，由图像可知前4 s内物体的位移为零，故A正确；由图像知，第1 s末物体的位移和速度都未改变方向，均为正方向，故B错误；根据v－t图像围成的面积表示位移，由图像知第2 s末物体的位移为正向最大，接着物体向负方向运动，但位移仍为正方向，故C错误；根据v－t图像围成的面积表示位移，可知物体在第1 s末、第3 s末、第5 s末的位移均相同，则物体所在的位置相同，故D正确。]
4.B [由题意可得图线的函数表达式为＝1＋t，即x＝t＋t2，又因为匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋at2，根据对应关系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2，因此质点做匀加速运动，故A项错误，B项正确；当t＝2 s时，根据公式v＝v0＋at，求出速度是3 m/s，故C项错误；当t＝2 s时，代入表达式x＝t＋t2，可得位移是4 m，故D项错误。]
5.A [根据题意，两物体运动的v－t图像如图所示，由于乙追上甲时位移相等，从图像上看出，此时乙的速度为2v0，但无法求出乙追上甲的时间、乙的加速度和乙的位移，选项A正确。]
6.BC [由题图可知，b车先沿正方向运动后沿负方向运动，A错误；两车的位移—时间图像有两个交点，表示两车在两交点的位置坐标相同，即a、b两车相遇两次，B正确；t1到t2时间内，a车和b车的始、末位置相等，即位移相等，C正确；t1到t2时间内，a车图线斜率不变，即位移均匀增大，b车图线斜率由大变小，即位移增大得越来越慢，D错误。]
7.AD [x－t图像纵坐标表示位移，故图像有相交点表示此时刻两赛艇位移相同，即出现艇首并齐，故A正确，B错误；v－t图像与时间轴围成的面积表示位移，当两赛艇的图像在某时刻与时间轴围成的面积相同时，说明有艇首并齐的时刻，故C错误，D正确。]
8.A [0～4 s内，甲、乙两物体的v－t图像均在横轴的上方，速度均为正，故两物体始终同向运动，A正确；由题意可知，甲、乙两物体同时同地沿同一方向开始运动，在0～4 s内，甲在前，乙在后，甲的速度大于乙的速度，两物体距离越来越大，在4 s时速度相同，此时两物体相距最远，B、D错误；0～4 s内，甲的位移大于乙的位移，即x甲>x乙，根据＝可知两物体的平均速度甲>乙，C错误。]
9.D [小象与象妈妈达到共同速度时它们相距最远，从小象开始追赶象妈妈起，到它们相距最远所用的时间t0＝＝1 s，最远距离xmax＝x0＋v0t0－at＝40.5 m，故A、B错误；从小象开始追赶象妈妈起，到小象达到最大速度所用的时间t1＝＝4 s，设从小象开始追赶象妈妈起，经时间t小象追上象妈妈，有x0＋v0t＝t1＋vmax(t－t1)，解得t＝16 s，小象追赶象妈妈过程中的位移大小x＝t1＋vmax(t－t1)＝56 m，故C错误，D正确。]
10.D [由图可知，甲、乙两物体速度都大于零，即运动方向相同，故A错误；t＝4 s时，甲、乙两物体速度相同，此时两物体的图像与时间轴围成的面积不等，即位移不同，则没有相遇，故B错误；两物体相遇时，两物体的位移相同，即两物体的图像与时间轴围成的面积相等，由图可知，两物体只能相遇一次，故C错误；由图可知，在4 s前乙的速度大，两者相距越来越远，4 s后甲的速度大，两者相距越来越近，故在相遇前，两者速度相等时，两物体相距最远，最远距离等于两物体的图像与时间轴围成的面积之差，即为Δx＝×(15－5)×4 m＝20 m，故D正确。]
11.B [物体A做匀速直线运动，位移xA＝vAt＝4t(m)。物体B做匀减速直线运动，减速过程的位移xB＝vBt＋at2＝10t－t2(m)。设物体B速度减为零所用时间为t1，则t1＝＝5 s，在t1＝5 s的时间内，物体B的位移为xB1＝25 m，物体A的位移为xA1＝20 m，由于xA112.(1)32.5 m (2)7 s
解析 (1)A、B速度相同时距离最远，则vA＝vB－at
最远距离x＝xB－xA＋x0＝vBt－at2－vAt＋x0
解得x＝32.5 m。
(2)B刹车所用时间t1＝＝5 s
此时xB＝vBt1－at＝50 m
xA＝vAt1＝50 m
两者间距Δx＝xB－xA＋x0＝ m＝20 m
B车静止，A车继续匀速运动t2＝＝2 s
故A追上 B的时间t＝5 s＋2 s＝7 s。
13.(1)25 m/s 12.5 m/s2 (2)会发生交通事故，计算见解析
解析 (1)汽车行驶的速度为v1＝＝ m/s＝25 m/s。
设汽车刹车的最大加速度大小为a，则
a＝＝ m/s2＝12.5 m/s2。
(2)汽车正常行驶的速度为v2＝108 km/h＝30 m/s，司机看手机的时间内汽车发生的位移大小为x1＝v2t2＝30×2 m＝60 m
反应时间内发生的位移大小为x2＝v2Δt＝30×0.5 m＝15 m
刹车后汽车发生的位移大小为x3＝＝36 m
则汽车行驶的总位移大小为
x＝x1＋x2＋x3＝60 m＋15 m＋36 m＝111 m>100 m
所以会发生交通事故。培优提升五 运动图像与追及相遇问题
学习目标 1.理解x－t图像和v－t图像的截距、斜率、交点、面积等的物理意义，会利用运动图像间的转换分析解决问题。2.建立运动情景，画好示意图，会分析追及相遇问题。
提升1 运动学图像的进一步理解
1.利用v－t图像求位移
v－t图线与时间轴所围的“面积”表示位移，如图所示。“面积”在时间轴上方表示位移为正，“面积”在时间轴下方表示位移为负；通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差。通过的路程为时间轴上、下“面积”绝对值之和。
2.非常规图像
(1)a－t图像：由a＝可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。
(2)－t图像：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图像的斜率为a，纵轴截距为v0，如图乙所示。
(3)v2－x图像：由v2－v＝2ax可得v2＝v＋2ax，图像斜率为2a，纵轴截距为v，如图丙所示。
例1 物体甲的位移—时间图像和物体乙的速度—时间图像分别如图甲、乙所示，则这两个物体的运动情况是( )
A.甲在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
B.甲在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的路程大于通过的位移
C.乙在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
D.乙在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
听课笔记_____________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
例2 如图所示四幅图为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是( )
A.甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于
B.乙图中，物体的加速度为2 m/s2
C.丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量
D.丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s
听课笔记_____________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
提升2 追及相遇问题
1.追及、相遇问题是常见的运动学问题，其实质是研究两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。
2.分析追及、相遇问题时，一定要抓住以下两点：
(1)位移关系：x2＝x0＋x1。
其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面物体的位移。
(2)临界状态：v1＝v2。
当两个物体的速度相等时，往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的状态，也是可能出现恰好追上、恰好避免相撞等临界情况的状态。
3.处理追及、相遇类问题的基本思路
(1)分别对两物体进行研究，确定运动性质；
(2)画出运动过程示意图；
(3)找出时间关系、速度关系、位移关系，列方程求解；
(4)解出结果，必要时进行讨论。
角度1 最大距离和追及时间的计算
例3 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求：
(1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？
(2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？
思路点拨 开始时自行车的速度大于汽车的速度，二者之间的距离逐渐增大，当汽车的速度等于自行车的速度时，二者相距最远；之后汽车的速度大于自行车的速度，二者之间距离逐渐缩短，直到追上。
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
角度2 能否追上的判断
例4 在一次救援中，一辆汽车停在一小山坡底，突然司机发现在距坡底240 m的山坡处一巨石以8 m/s的初速度、0.4 m/s2的加速度匀加速滚下，巨石到达坡底时速率不变，此后在水平面的运动可以近似看成加速度大小为0.2 m/s2的匀减速直线运动；司机发现巨石后经过2 s汽车才启动起来，并以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动(如图所示) 。求：
(1)巨石到达坡底的速率以及所用的时间；
(2)巨石到达坡底时汽车在水平面的位移和速率；
(3)汽车司机能否安全脱险，并通过计算说明理由。
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1.讨论追及、相遇问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置。
2.解题技巧
(1)一个条件：即速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
(3)常用解题方法有：临界分析法、数学解析法、v－t图像法。
角度3 追及相遇问题中的图像问题
作出物体运动的x－t图像或v－t图像，利用图像求解：
x－t图像中两图线有交点表示相遇。
v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，利用几何关系求位移差判断是否相遇。
例5 (多选)甲、乙两辆汽车在平直的公路上从同一地点开始做直线运动，它们运动的速度随时间变化的v－t图像如图所示。关于甲、乙两车在0～20 s内的运动情况，下列说法正确的是( )
A.甲、乙两辆汽车的运动方向相反
B.在t＝20 s时，两车相遇
C.在t＝10 s时，两车相距最远，距离为25 m
D.在t＝15 s时，乙车的加速度大小为2 m/s2
听课笔记_____________________________________________________________
____________________________________________________________________
训练 甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v－t图像如图所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是( )
A.在第10 s末，乙车改变运动方向
B.在第10 s末，甲、乙两车相距150 m
C.若开始时乙车在前，则两车可能相遇两次
D.在第20 s末，甲、乙两车相遇
培优提升五 运动图像与追及相遇问题
提升1
例1 C [位移—时间图像中，图线的斜率表示速度，由图像可知，甲在整个t＝6 s时间内一直沿正方向运动，总位移和总路程都为Δx＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A、B错误；速度—时间图像中，速度的正负表示速度的方向，即表示物体的运动方向，速度先负后正，说明乙先沿负方向运动，后沿正方向运动，即有来回运动，图线与时间轴围成的面积表示位移，图线在t轴上方则位移为正值，在t轴下方则位移为负值，由图像可知，总位移为0，故C正确，D错误。]
例2 D [题图甲中，因v－t图像与t轴围成的面积等于位移，可知物体在0～t0这段时间内的位移大于，选项A错误；题图乙中，根据v2＝2ax可知2a＝ m/s2＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，选项B错误；题图丙中，根据Δv＝aΔt可知，阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；题图丁中，由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由图像可知a＝ m/s2＝5 m/s2，v0＝－5 m/s，则a＝10 m/s2，则t＝3 s时物体的速度为v3＝v0＋at＝25 m/s，选项D正确。]
提升2
例3 (1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s
解析 (1)方法一 基本规律法
汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δxm，则有v1＝at1＝v自
所以t1＝＝2 s
Δxm＝v自t1－at＝6 m。
方法二 极值法或数学分析法
设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车间的距离为Δx＝x1－x2＝v自t1－at
代入已知数据得Δx＝6t1－t
由二次函数求极值的条件知t1＝2 s时，Δx最大，最大值Δxm＝6 m。
方法三 图像法
自行车和汽车运动的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。
t1＝＝＝2 s
Δxm＝＝＝6 m。
(2)当两车位移相等时，汽车追上自行车，
设此时经过的时间为t2，
汽车的瞬时速度为v2，则有
v自t2＝at
解得t2＝＝＝4 s
v2＝at2＝3 m/s2×4 s＝12 m/s。
例4 (1)16 m/s 20 s (2)81 m 9 m/s (3)见解析
解析 (1)设巨石到达坡底的时间为t1，速率为v1，
则有x＝v0t1＋a1t，v1＝v0＋a1t1
解得t1＝20 s，v1＝16 m/s。
(2) 汽车在18 s时间内发生的位移为
x汽＝a(t1－2)2＝81 m
速度为v2＝a(t1－2)＝9 m/s。
(3)设再经历时间t2巨石与汽车速度相等，
则有v1－a2t2＝v2＋at2
代入数值得t2＝10 s
此时巨石在水平面上发生的位移为
x′＝v1t2－a2t＝150 m
而汽车在t2时间内发生的位移为
x汽′＝v2t2＋a2t＝115 m
因为x′所以汽车司机能安全脱险。
例5 BC [由图像可知，甲、乙两辆汽车的速度—时间图线都在时间轴的上方，速度均为正，故甲、乙两辆汽车的运动方向相同，A错误；在0～20 s内，甲车的位移为x甲＝5×20 m＝100 m，乙车的位移为x乙＝×10×20 m＝100 m，所以在t＝20 s时，两车相遇，B正确；在t＝10 s时，甲、乙两车速度相同，两车距离最远，此时甲离出发点的距离为x甲′＝5×10 m＝50 m，此时乙离出发点的距离为x乙′＝×(10＋5)×10 m＝75 m，此时甲、乙两车之间的距离为Δx＝x乙′－x甲′＝25 m，C正确；乙车做匀减速运动，则加速度为
a＝＝ m/s2＝－0.5 m/s2，D错误。]
训练 C [由题图知，乙车的速度一直为正，说明乙车一直沿正方向运动，选项A错误；由图线所围面积可知，第10 s末甲、乙两车的位移之差Δx＝150 m，由于出发点的位置关系未知，所以不能确定它们的距离，选项B错误；若t＝0时刻乙车在前，则两车在第20 s末前，甲车速度大于乙车速度，可能相遇一次，第20 s末后，由于乙做匀加速运动，甲做匀速运动，乙车速度大于甲车速度，乙可能追上甲，再相遇一次，选项C正确；在0～20 s内，甲通过的位移比乙的位移大，由于它们的初始位置关系未知，所以不能判断是否相遇，故选项D错误。](共48张PPT)
培优提升五 运动图像与追及相遇问题
第二章 匀变速直线运动的规律
1.理解x－t图像和v－t图像的截距、斜率、交点、面积等的物理意义，会利用运动图像间的转换分析解决问题。2.建立运动情景，画好示意图，会分析追及相遇问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
02
提升
1
提升2 追及相遇问题
提升1 运动学图像的进一步理解
提升1 运动学图像的进一步理解
1.利用v－t图像求位移
v－t图线与时间轴所围的“面积”表示位移，如图所示。“面积”在时间轴上方表示位移为正，“面积”在时间轴下方表示位移为负；通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差。通过的路程为时间轴上、下“面积”绝对值之和。
2.非常规图像
例1 物体甲的位移—时间图像和物体乙的速度—时间图像分别如图甲、乙所示，则这两个物体的运动情况是( )
A.甲在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
B.甲在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的路程大于通过的位移
C.乙在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
D.乙在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
C
解析 位移—时间图像中，图线的斜率表示速度，由图像可知，甲在整个t＝6 s时间内一直沿正方向运动，总位移和总路程都为Δx＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A、B错误；速度—时间图像中，速度的正负表示速度的方向，即表示物体的运动方向，速度先负后正，说明乙先沿负方向运动，后沿正方向运动，即有来回运动，图线与时间轴围成的面积表示位移，图线在t轴上方则位移为正值，在t轴下方则位移为负值，由图像可知，总位移为0，故C正确，D错误。
D
例2 如图所示四幅图为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是( )
提升2 追及相遇问题
1.追及、相遇问题是常见的运动学问题，其实质是研究两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。
2.分析追及、相遇问题时，一定要抓住以下两点：
(1)位移关系：x2＝x0＋x1。
其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面物体的位移。
(2)临界状态：v1＝v2。
当两个物体的速度相等时，往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的状态，也是可能出现恰好追上、恰好避免相撞等临界情况的状态。
3.处理追及、相遇类问题的基本思路
(1)分别对两物体进行研究，确定运动性质；
(2)画出运动过程示意图；
(3)找出时间关系、速度关系、位移关系，列方程求解；
(4)解出结果，必要时进行讨论。
角度1 最大距离和追及时间的计算
例3 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。试求：
(1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？
(2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？
思路点拨 开始时自行车的速度大于汽车的速度，二者之间的距离逐渐增大，当汽车的速度等于自行车的速度时，二者相距最远；之后汽车的速度大于自行车的速度，二者之间距离逐渐缩短，直到追上。
解析 (1)方法一 基本规律法
汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δxm，则有v1＝at1＝v自
方法二 极值法或数学分析法
由二次函数求极值的条件知t1＝2 s时，Δx最大，最大值Δxm＝6 m。
方法三 图像法
自行车和汽车运动的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。
v2＝at2＝3 m/s2×4 s＝12 m/s。
答案 (1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s
角度2 能否追上的判断
例4 在一次救援中，一辆汽车停在一小山坡底，突然司机发现在距坡底240 m的山坡处一巨石以8 m/s的初速度、0.4 m/s2的加速度匀加速滚下，巨石到达坡底时速率不变，此后在水平面的运动可以近似看成加速度大小为0.2 m/s2的匀减速直线运动；司机发现巨石后经过2 s汽车才启动起来，并以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动(如图所示) 。求：
(1)巨石到达坡底的速率以及所用的时间；
(2)巨石到达坡底时汽车在水平面的位移和速率；
(3)汽车司机能否安全脱险，并通过计算说明理由。
解析 (1)设巨石到达坡底的时间为t1，速率为v1，
解得t1＝20 s，v1＝16 m/s。
速度为v2＝a(t1－2)＝9 m/s。
(3)设再经历时间t2巨石与汽车速度相等，
则有v1－a2t2＝v2＋at2
代入数值得t2＝10 s
因为x′所以汽车司机能安全脱险。
答案 (1)16 m/s 20 s (2)81 m 9 m/s (3)见解析
1.讨论追及、相遇问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置。
2.解题技巧
(1)一个条件：即速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
(3)常用解题方法有：临界分析法、数学解析法、v－t图像法。
角度3 追及相遇问题中的图像问题
作出物体运动的x－t图像或v－t图像，利用图像求解：
x－t图像中两图线有交点表示相遇。
v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，利用几何关系求位移差判断是否相遇。
例5 (多选)甲、乙两辆汽车在平直的公路上从同一地点开始做直线运动，它们运动的速度随时间变化的v－t图像如图所示。关于甲、乙两车在0～20 s内的运动情况，下列说法正确的是( )
A.甲、乙两辆汽车的运动方向相反
B.在t＝20 s时，两车相遇
C.在t＝10 s时，两车相距最远，距离为25 m
D.在t＝15 s时，乙车的加速度大小为2 m/s2
BC
C
训练 甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v－t图像如图所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是( )
A.在第10 s末，乙车改变运动方向
B.在第10 s末，甲、乙两车相距150 m
C.若开始时乙车在前，则两车可能相遇两次
D.在第20 s末，甲、乙两车相遇
解析 由题图知，乙车的速度一直为正，说明乙车一直沿正方向运动，选项A错误；由图线所围面积可知，第10 s末甲、乙两车的位移之差Δx＝150 m，由于出发点的位置关系未知，所以不能确定它们的距离，选项B错误；若t＝0时刻乙车在前，则两车在第20 s末前，甲车速度大于乙车速度，可能相遇一次，第20 s末后，
由于乙做匀加速运动，甲做匀速运动，乙车速度大于甲车速度，乙可能追上甲，再相遇一次，选项C正确；在0～20 s内，甲通过的位移比乙的位移大，由于它们的初始位置关系未知，所以不能判断是否相遇，故选项D错误。
课后巩固训练
2
B
题组一 运动学图像
1.(2024·四川绵阳高一期末)如图所示，物体甲和乙在同一水平直轨道上运动，它们的运动图像如图所示(横轴是时间t，纵轴未标明物理量)，图线甲斜率的绝对值大于图线乙斜率的绝对值，由图可知( )
基础对点练
A.若纵轴是位移，则甲做匀速运动，乙做减速运动
B.若纵轴是速度，则甲的加速度大小比乙的大
C.若纵轴是位移，则t0时刻两物体速度相同
D.若纵轴是速度，则t0时刻两物体加速度相同
解析 若纵轴为位移，即x－t图线，图线的斜率表示物体运动的速度，图线的交点表示两物体相遇，所以两物体均做匀速直线运动，且甲运动的速度大于乙的速度，在t0时刻甲、乙两物体相遇，故A、C错误；若纵轴为速度，即v－t图线，图线的斜率表示物体运动的加速度，图线的交点表示两物体速度相等，所以甲物体做匀加速直线运动，乙物体做匀减速直线运动，且甲运动的加速度大于乙的加速度，在t0时刻甲、乙两物体速度相同，故B正确，D错误。
C
2.(2024·四川南充高一期末)如图所示的x－t和v－t图像中，给出的四条图线甲、乙、丙、丁分别代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况。则下列说法正确的是( )
A.甲车做曲线运动，乙车做直线运动
B.0～t1时间内，甲车的速度总是大于乙车的速度
C.0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远
D.0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
解析 根据位移—时间图像的斜率表示速度，由图像可知：乙图线的斜率不变，说明乙的速度不变，做匀速直线运动；甲做速度越来越小的变速直线运动，且甲的斜率先大于乙的斜率后小于乙的斜率，可知甲的速度先大于乙后小于乙，故A、B错误；v－t图像中，由图像与时间轴围成的面积表示位移可知：0～t2时间内丙、丁两车在t2时刻面积差最大，所以相距最远，故C正确；0～t2时间内，丙的位移小于丁的位移，由于时间相等，所以丙的平均速度小于丁的平均速度，故D错误。
AD
3.(多选)(2024·广西南宁高一统考期末)如图是一个物体的速度－时间图像，取t＝0时刻物体所在位置为初位置，则下列关于该物体的运动情况，表述正确的是( )
A.前4 s内物体的位移为零
B.第1 s末物体的位移和速度都改变方向
C.第2 s末物体的位移和速度都改变方向
D.第1 s末、第3 s末、第5 s末物体所在的位置相同
解析 根据v－t图像围成的面积表示位移，由图像可知前4 s内物体的位移为零，故A正确；由图像知，第1 s末物体的位移和速度都未改变方向，均为正方向，故B错误；根据v－t图像围成的面积表示位移，由图像知第2 s末物体的位移为正向最大，接着物体向负方向运动，但位移仍为正方向，故C错误；根据v－t图像围成的面积表示位移，可知物体在第1 s末、第3 s末、第5 s末的位移均相同，则物体所在的位置相同，故D正确。
B
A.质点做匀减速运动
B.加速度的大小是1 m/s2
C.t＝2 s时，质点的速度是1 m/s
D.t＝2 s时，质点位移是3 m
A
5.甲物体以速度v0做匀速直线运动，当它运动到某一位置时，该处有另一物体乙开始做初速度为0的匀加速直线运动去追甲，下列说法正确的是( )
A.可求乙追上甲时乙的速度
B.可求乙追上甲时乙的位移
C.可求乙从开始运动到追上甲时所用的时间
D.可求乙的加速度
解析 根据题意，两物体运动的v－t图像如图所示，由于乙追上甲时位移相等，从图像上看出，此时乙的速度为2v0，但无法求出乙追上甲的时间、乙的加速度和乙的位移，选项A正确。
BC
题组二 追及相遇问题
6.(多选)a、b两车在同一平直公路上行驶，两车的位移x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A.b车运动方向始终不变
B.a、b两车相遇两次
C.t1到t2时间内，a车和b车的位移相等
D.t1到t2时间内，a车和b车的位移都在均匀增大
解析 由题图可知，b车先沿正方向运动后沿负方向运动，A错误；两车的位移—时间图像有两个交点，表示两车在两交点的位置坐标相同，即a、b两车相遇两次，B正确；t1到t2时间内，a车和b车的始、末位置相等，即位移相等，C正确；t1到t2时间内，a车图线斜率不变，即位移均匀增大，b车图线斜率由大变小，即位移增大得越来越慢，D错误。
AD
7.(多选)(2024·四川凉山高二统考期末)在2022年世界赛艇锦标赛上，中国赛艇队获得女子四人双桨项目金牌。下列x－t和v－t图像描述了比赛中五条相同赛艇从同一起航线同时出发、沿长直航道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映赛艇甲与其他赛艇在途中出现艇首并齐的有( )
解析 x－t图像纵坐标表示位移，故图像有相交点表示此时刻两赛艇位移相同，即出现艇首并齐，故A正确，B错误；v－t图像与时间轴围成的面积表示位移，当两赛艇的图像在某时刻与时间轴围成的面积相同时，说明有艇首并齐的时刻，故C错误，D正确。
A
8.甲、乙两物体由同一地点沿同一条直线运动，它们的v－t图像如图所示，则在0～4 s内( )
A.两物体始终同向运动 B.2 s末两物体相距最远
C.两物体平均速度相等 D.4 s末两物体相遇
D
9.象群经过某一平直路段时，一小象因贪玩而落后象群里的象妈妈40 m时才察觉，于是小象立刻由静止开始以大小为1 m/s2的加速度追赶象妈妈。若象妈妈以大小为1 m/s的速度匀速前行，小象达到最大速度4 m/s后的速度保持不变，则下列说法正确的是( )
A.从小象开始追赶象妈妈起，经2 s它们相距最远
B.小象追赶象妈妈的过程中，与象妈妈的最远距离为41 m
C.从小象开始追赶象妈妈起，经15 s小象追上象妈妈
D.小象追赶象妈妈过程中的位移大小为56 m
综合提升练
D
10.(2023·上海市曹杨第二中学月考)甲、乙两个物体从同一地点同时出发，在同一直线上做匀变速直线运动，它们的速度—时间图像如图所示，则( )
A.甲、乙两物体运动方向相反
B.t＝4 s时，甲、乙两物体相遇
C.甲、乙两物体能相遇两次
D.在相遇前，甲、乙两物体的最远距离为20 m
解析 由图可知，甲、乙两物体速度都大于零，即运动方向相同，故A错误；t＝4 s时，甲、乙两物体速度相同，此时两物体的图像与时间轴围成的面积不等，即位移不同，则没有相遇，故B错误；两物体相遇时，两物体的位移相同，即两物体的图像与时
B
11.如图所示，A、B两物体相距x0＝7 m，物体A以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度为vB＝10 m/s，向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，那么物体A追上物体B所用的时间为( )
A.7 s B.8 s C.9 s D.10 s
12.汽车A以vA＝10 m/s的速度向右做匀速直线运动，在其前方相距x0＝20 m处以vB＝20 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速直线运动，加速度大小a＝4 m/s2，从此刻开始计时。求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少；
(2)经过多长时间A才能追上B。
答案 (1)32.5 m (2)7 s
解析 (1)A、B速度相同时距离最远，则vA＝vB－at
xA＝vAt1＝50 m
两者间距Δx＝xB－xA＋x0＝ m＝20 m
培优加强练
13.一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机2 s，相当于盲开50 m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离(从开始刹车到停下来汽车所行驶的距离)至少是25 m。根据以上提供的信息：
(1)求汽车行驶的速度和刹车的最大加速度大小；
(2)若该车以108 km/h的速度在高速公路上行驶时，前方100 m处道路塌方，该司机因用手机微信抢红包，2 s后才发现危险，司机的反应时间为0.5 s，刹车的加速度与(1)问中大小相等。试通过计算说明汽车是否会发生交通事故。
答案 (1)25 m/s 12.5 m/s2 (2)会发生交通事故，计算见解析
(2)汽车正常行驶的速度为v2＝108 km/h＝30 m/s，司机看手机的时间内汽车发生的位移大小为x1＝v2t2＝30×2 m＝60 m
反应时间内发生的位移大小为x2＝v2Δt＝30×0.5 m＝15 m
则汽车行驶的总位移大小为x＝x1＋x2＋x3＝60 m＋15 m＋36 m＝111 m>100 m
所以会发生交通事故。
