5.3.2 课时2 等比数列的前n项和的性质与应用 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
5.3.2 课时2
等比数列的前n项和的性质与应用
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.
2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
3.解决实际生活中的等比数列的问题.
na1
问题1：当q≠1时，等比数列{an}的前n项和Sn是n的函数，该函数的解析式有什么特点？
则Sn是关于n的指数型函数，其中指数式的系数与常数互为相反数．
问题2：若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？若成等比数列，则其公比是什么？
当时，，
，
，
所以 ， ， 成等比数列，公比为1.
因为为常数，所以 ， ， 成等比数列，公比为 .
问题3:你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n
思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n
＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm
＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m
＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
等比数列前n项和的性质：
1.等比数列的公比，前项和为， 则， ， 成等比数列，公比为.
注：当时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立.
2.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.
例1 在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.
解：∵S2n=60≠0，∴数列{an}的公比q≠-1.
∵数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是等比数列，
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).
又Sn=48，S2n=60，
∴(60-48)2=48(S3n-60)，
解得S3n=63.
例2 已知等比数列{an}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).
例3 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为( )
A.96 B.126
C.192 D.252
C
解：由题意得，该人每天走的路程里数形成以a1为首项，以为公比的等比数列，
因为该人6天后到达目的地，则有S6==378，
解得a1=192，
所以该人第1天所走路程里数为192.
故选C.
1.(多选)下列结论不正确的是( )
A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列
B.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数
C.等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列
D.如果数列{an}的前n项和为Sn，则对 n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
BC
2.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是( )
A.1 B.0 C.2 D.－1
3.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于(　　)
A.31 B.33 C.35 D.37
4.设等比数列{an}中，a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=81，则数列{an}的公比为　　　　 .
D
B
3
5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为　　.
3
根据今天所学，说说等比数列的前n项和的性质.