5.5 数学归纳法（21页）2024-2025学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第五章 数列
5.5 数学归纳法
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.了解数学归纳法的原理.
2.掌握利用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤.
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
早在春秋战国时期，军事指挥官们就发明了设置烽火台用以报警的方法，假定在西边第一个烽火台发现了了敌情，要使由西到东每一处都知道就需要发布两道命令：
1.第一个烽火台必须首先点火.
2. 看到第一个点后，第二个必须立即点火，当看到第二个烽火台点着，第三个必须立即火，……不论哪一个点了火，它后面的那个就要立即点火.
如果把烽火台编号为1，2，3……，类比烽火台传递军情的过程，你能用数学语言表述上面两个命令吗？
1.第一个烽火台必须首先点火；
2.不论哪一个点了火，它后面的那个就要立即点火。
当n= 1时，（点着）猜想成立
假设当n= k 时，猜想成立
则当n= k+1 时，猜想也成立
那么n?∈?????均成立
?
数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：
(1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立.
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
两个步骤
一个结论
缺一不可
问题1：甲同学猜想1+3+5+……+2?????3+(2?????1)=????2?1
用数学归纳法证明步骤如下：
?
证明：假设n= k 时等式成立，即
当n= k+1 时
即n= k+1时等式成立。
所以等式对一切自然数 ????∈??????均成立.
?
上述证法是正确的吗？为什么？
1+3+5+……+(2?????1)+(2????+1)=????2?1+(2????+1)=(????+1)2?1
?
是错误的，事实上命题本身就是错误的，
当n=1时，左边=1，右边=0，左边与右边不等.
问题2：乙同学用数学归纳法证明??1+3+5+……+2?????3+(2?????1)=????2，如采用下面证法，对吗？为什么？
?
证明：（1）当n=1时，左边=1=右边
（2）假设当n=?????时，等式成立，
即1+3+5+……+2?????3+(2?????1)=????2
则当n=?????+1 时，1+3+5+……+2????+1= (????+1)1+(2????+1)2=????+12
?
即n=?????+1 时，命题成立
?
根据①②可知,对n?∈????? ,等式成立.
?
上述证明没有用到n= k 命题成立这一假设
正解：1+3+5+……+2?????3+(2?????1)+(2????+1)=????2+(2????+1)=(????+1)2
?
问题3：讨论2????与 ????2的大小
?
用数学归纳法证明，第一个取值为5.
猜想：
n 满足什么条件时，2????> ????2
?
恒成立？
21>12
?
22=22
?
23<32
?
24=42
?
25>52
?
26>62
?
27>72
?
28>82
?
结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.
结论3：在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.
结论2：在第二步中证明n=k+1命题成立时,必须用到n= k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.
例1 (1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( )
A.1 B.1＋3
C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4
C
(2)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则n＝k＋1时，在n
＝k时的左端应加上_____________________________.
解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，
n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
所以在n＝k时的左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
例2 用数学归纳法证明：如果{????????}是一个公差为????的等差数列，那么，????????= ????1 +?????1???? ①对任何????∈?????都成立.
?
证明：（1）当????=????时，左边=????1?，右边= ????1 +0×????=????1,①式成立.
（2）假设当????=????(????∈N?)时， ①式成立，即????????= ????1 +?????1????,
根据等差数列的定义，有????????+1? ???????? =????,
于是????????+1= ???????? +????= ????1?+?????1?????+???? = ????1?+ ?????1+1?????= ????1?+ ????+1?1?????，
即当????=????+1时， ①式也成立.
由（1）（2）可知， ①式对任何????∈N?都成立.
?
例3 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝12an+1an.
(1)求a1，a2，a3.
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．
?
解：(1)S1＝a1＝12a1+1a1得a12＝1.
因为an>0，所以a1＝1，
由S2＝a1＋a2＝12a2+1a2得a22＋2a2－1＝0，所以a2＝2－1.
又由S3＝a1＋a2＋a3＝12a3+1a3得????32＋22????3－1＝0，所以????3＝3??2.
?
(2)猜想an＝n?n?1(n∈N*)
证明：①当n＝1时，a1＝1＝1?0猜想成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立即ak＝k?k?1，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak+1+1ak+1?12ak+1ak，
即ak＋1＝12ak+1+1ak+1?12k?k?1+1k?k?1＝12ak+1+1ak+1?k，
所以????????+12＋2????????????＋1－1＝0，所以????????＋1＝????+1?????，
即????＝????＋1时猜想成立．
由①②知????????＝?????????－1(n∈N*)．
?
“归纳—猜想—证明”的解题步骤
方法归纳
例4 求证：12+13+14＋…＋12n?1＞n?22(n≥2，n∈N*)．
?
证明：(1)当n＝2时，左边＝12＞0＝右边，∴不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．
即12+13＋…＋12k?1＞k?22成立．
?
那么当n＝k＋1时，12+13＋…＋12k?1+12k?1+1＋…＋12k?1+2k?1
＞k?22+12k?1+1＋…＋12k>k?22+12k+12k＋…＋12k
＝k?22+2k?12k＝k+1?22，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．
?
C
D