6.1.1 函数的平均变化率 课件（19页PPT）

第六章 导数及其应用
6.1.1 函数的平均变化率
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．
2.理解函数平均变化率的几何意义和物理意义．
3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题.
世界上的变化无处不在，人们经常关心变化的快慢问题.如何刻画事物变化的快慢呢？
B(25，16.4)
1
A(1，3.6)
16.4
3.6
28.8
O
25
27
t (d)
T(oC)
C(27，28.8)
气温曲线
实例：在“3月25日到27日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月1日到25日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?
气温差不能反映气温变化的快慢程度
B(25，16.4)
1
A(1，3.6)
16.4
3.6
28.8
O
25
27
t (d)
T(oC)
C(27，28.8)
气温曲线
怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？
这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，
当时间从1到25，气温从3.6oC增加到16.4oC，气温平均变化16.4?3.625?1≈0.5
当时间从25到27，气温从16.4oC增加到28.8oC，气温平均变化28.8?16.427?25≈6.2
因为6.2>0.5， 所以，从25日到27日，气温变化的更快一些.
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一般地，若函数y=f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f(x1)，y2=f(x2)，则称Δx=x2-x1为自变量的改变量；
称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量；
称Δ????Δ????=????2?????1????2?????1或Δ????Δ????=????(????2)?????(????1)????2?????1为函数y=f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率.
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问题：如图，观察函数y=f(x)的图象，说说它在区间[x1，x2]上的平均变化率Δ????Δ????=????(????2)?????(????1)????2?????1=????(????1+Δ????)?????(????1)Δ????表示的都是什么？
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直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2)).
函数平均变化率的几何意义:
如图所示，函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2)). 事实上，
讨论:在平均变化率中， Δx， Δy， ΔyΔx是否可以等于0？当平均变化率等于0时，是否说明函数在该区间上一定为常数？
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Δx可以为正数，也可以为负数，但Δx不可以为0，Δy可以为0.
当平均变化率ΔyΔx等于0时，并不说明函数在该区间上一定为常数.
例如函数f(x)=x2在区间[-2，2]的平均变化率是0，但它不是常数函数.
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例1 已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则ΔyΔx＝(　　)
A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
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解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－1]－1＝2Δx2＋4Δx，
∴????y????x＝2Δx＋4.
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C
例2 已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
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解:自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f2?f12?1＝2+12?1+11＝12；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f5?f35?3＝5+15?3+132＝1415.
因为12<1415，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
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方法归纳
求平均变化率的主要步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率Δ????Δ????＝????????2?????????1????2?????1.
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当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想.
看图说话：如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？
例3 已知函数f(x)的部分图象如图所示.若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为　　.
32
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解析：若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S=12×1×3=32.
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从物理学中我们知道，平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢，如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t)，则物体在[t1,t2](t1?????2??(????1)????2?????1 (m/s).
这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率.
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例4 质点运动规律s＝12gt2，则在时间区间(3，3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10 m/s2)
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解析：Δs＝12g×(3＋Δt)2－12g×32＝12×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，
v＝ΔsΔt＝30＋5Δt.
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30＋5Δt
1.一物体的运动方程是????=3+????2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为( )
A.0.41 B.3 C.4 D.4.1
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D
2.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
B
3.一物体的运动函数是s(t)=3+2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度 .
4.函数f(x)=x2-1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为　　　　.?
5.如图所示，函数y=f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是_____________.
2
2
[x3，x4]
函数的平均变化率
定义
几何背景
物理背景
割线斜率
平均速度