6.1.2 课时2 导数的几何意义 课件（21张PPT）

6.1.2 课时2
导数的几何意义
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.掌握导数的几何意义，并能求切线斜率、切线方程等.
求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤
问题：(1)函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，你能说出它的几何意义吗？
表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线.
(2)当Δx变化时，直线如何变化？
直线AB绕点A转动.
(3)当Δx→0时，直线变化到哪里？
直线过点A与曲线y＝f(x)相切位置.
函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
思考1:如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程?
根据导数的几何意义，求出函数y=f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程.
思考2:曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同?
曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k=f'(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；
而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.
思考3:曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
不一定.曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.
解：∵P(2，4)在曲线y=13x3+43上，
∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为
k=limΔ????→013(2+Δ????)3+43?13×23+43Δ????=limΔ????→04+2Δ????+13(Δ????)2=4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，
即4x-y-4=0.
?
例1 已知曲线y=13x3+43，求曲线在点P(2，4)处的切线方程.
?
变式：已知曲线y=13x3+43，求曲线过点P(2，4)处的切线方程.
?
解：设曲线y=13x3+43与过点P(2，4)的切线相切于点A????0，13????03+43，
则切线的斜率为k=limΔ????→013(????0+Δ????)3?13????03Δ????=????02，
∴切线方程为y-13????03+43=????02(x-x0)，即y=????02·x-23????03+43.
∵点P(2，4)在切线上，∴4=2????02-23????03+43，即????03-3????02+4=0.
?
∴????03+????02-4????02+4=0，
∴????02(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，
∴(x0+1)(x0-2)2=0，
解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
?
变式：已知曲线y=13x3+43，求曲线过点P(2，4)处的切线方程.
?
1.求曲线在某点处的切线方程时，该点就是切点，因此可直接求出切线斜率，写出切线方程.
2.求过曲线上某点的切线方程时，要注意该点不一定是切点.因此，在解题时要先设出切点，再求出切线斜率，根据切点与斜率写出切线方程，最后将该点的坐标代入.在解题过程中不必考虑该点是否为切点.
归纳总结
例2 已知函数y1=f(x)=x2-1在x=x0处的切线与函数y2=g(x)=1-x3在x=x0处的切线互相平行，求x0的值.
方法总结
根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0).
(2)求导函数f'(x).
(3)求切线的斜率f'(x0).
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标.
借助曲线的切线，我们还可以从几何上来理解瞬时变化率的实际意义，并可以利用某一点的导数来估计这一点附近的函数值，具体过程如下.
如果函数????=????(????)在????0处的导数为????′(????0)，且在????0处自变量的改变量为?????，对应的函数值改变量为
?????=????????0+??????????(????0),
则
????????0+?????=????????0+?????
?
此时曲线????=????(????)在????0处的切线l的斜率为????′(????0)，因此
AC=?????，CD=????′(????0) ?????.
又因为BC=?y,可以看出，当?????很小时，?????可用????′(????0) ?????来近似表示，即
?y≈????′(????0)??????,
所以 ????????0+?????≈????????0+????′(????0)??????.
?
?????
?
本质上是用????=????0处的切线代替了????=????0附近的曲线????=????(????)，使用了“以直代曲”的方法.
?
例3 已知f(x)=x2+1，利用f(1)=2，f'(1)=2，Δx=0.04，则f(1.04)的近似值为　 　　.
2.08
解析：设x=x0+Δx，Δx=x-x0，
则有f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)，
所以f(1.04)≈f(1)+0.04f'(1)=2+0.04×2=2.08.
1.已知函数f(x)=?1????，则曲线y=f (x)在(1，-1)处的切线方程是(　　)
A.x-y-2=0 B.2x-2y+3=0
C.x+y=0 D.x-y=0
?
A
2.函数y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数为　　　　　　　.
3.曲线y＝14x2在点Q(2，1)处的切线方程为　　　　　　　.
4.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________.
?
16
x－y－1＝0
(3，30)
根据今天所学，回答下列问题：
1.如何求函数在某点处的切线的方程？
2.如何根据切线斜率求切点坐标？