6.1.4 课时2 复合函数的求导法则及应用 课件（16张PPT）

6.1.4 课时2
复合函数的求导法则及应用
人教B版(2019)选择性必修第三册
前面我们学习了基本初等函数的导数以及导数的四则运算法则，但对于形如y=ln(2x-1)的函数，我们无法用这些知识进行求导，那么这个函数的结构有怎样的特点呢？如何对此类函数求导呢？
1.理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则；
2.能用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.
观察发现：已知函数y=2x+????6+sin x，y=sin(2x+????6)，y=ln(2x-1)，这三个函数各有怎样的结构特征？
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函数y=sin(2x+????6)是由y=sin u，u=2x+????6这两个函数复合而成；
函数y=ln(2x-1)，由y=ln u，u=2x-1这两个函数复合而成；
而函数y=2x+????6+sin x只是通过函数的四则运算得到的.
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一般地，已知函数y=f(u)与u=g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的 函数 ，此时称f(g(x))有意义，且称y=h(x)= f(g(x)) 为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为 中间变量 .
练习：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的.
(1)????=(3+sin????)4；
(2)????=ln12????+1；
(3)????=22?????1；
(4)????=11?cos????.
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(????=????4，????=3+sin????)
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(????=ln????，????=12????+1)
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(????=2????，????=2?????1)
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(????=1????，????=1?cos????)
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问题：如何求复合函数y=sin(2x+????6)的导数？
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∵y=sin(2x+????6)=sin 2xcos ????6+cos 2xsin ????6=32sin 2x+12cos 2x=3sin xcos x+cos2x-12，
∴y'=3(cos2x-sin2x)+sin xcos x+cos xsin x=3cos 2x+sin 2x=2cos(2x+????6)，
从整体上来看，外层函数是基本初等函数y=sin u；它的导数y'=cos u，
内层函数是幂函数的线性组合u=2x+????6，它的导数是u'=2，
发现y'x=y'u·u'x.
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复合函数h(x)=f(g(x))的导数h'(x)与f'(u)，g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)g'(x)=f'(g(x))g'(x) .
这一结论也可以表示为 yx'=yu'ux' .
注意：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；
(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；
(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.
例1 求下列函数的导数：
(1)y=11?2????；(2)y=5log2(1-x)；(3)????=?????22.
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解：(1)y=(1-2x)?12，设y=?????12，u=1-2x，
则y'x=(?????12)'(1-2x)'=?12?????32·(-2)=(1-2x)?32.
(2)设y=5log2u，u=1-x，
则y'x=y'u·u'x=5(log2u)'·(1-x)'=?5????ln2=5(?????1)ln2.
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(3)????=?????22.
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(3)（法一） ∵y=x?22=x?4x+4 ，
∴y′=x′?4x′+4′ =1?4·12?????12=1?2x .
（法二）令 u=x?2 ，
则 yx′=yu′?ux′=2x?2?x?2′=2x?2?12?1x?0=1?2x .
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例2 求函数y=x·e1-2x的导数.
错解:y'=x'·e1-2x+x(e1-2x)'=e1-2x+xe1-2x=(1+x)e1-2x.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
y=e1-2x是复合函数，错解中对其求导时出错.
正解:y'=x'·e1-2x+x·(e1-2x)'
=e1-2x+x·e1-2x·(1-2x)'
=(1-2x)e1-2x.
例3 求曲线y=e2x+1在点(-12，1)处的切线方程.
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解:∵y'=e2x+1·(2x+1)'=2e2x+1，
∴切线斜率k=2.
∴切线方程为y-1=2(x+12)，即2x-y+2=0.
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根据函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则可以求任何一个初等函数的导数，从而解决初等函数的求导问题，进而可以解决与导数有关的问题.
方法总结
1.(多选)下列函数是复合函数的是( )
A.y=-x3-1????+1 B.y=cos????+π4
C.y=ln(x+1) D.y=(2x+3)4
2.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x)，且f'(2)=2，则实数a的值为( )
A.12 B.23
C.34 D.1
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BCD
B
3.y=loga(2x2-1)(a>0，且a≠1)的导数是(　　)
A
回顾：结合本课内容，回答下列问题：
1. 什么是复合函数？
2. 如何求复合函数的导数？