6.2.1 课时1 利用导数判断函数的单调性 课件（16张PPT）

6.2.1 课时1
利用导数判断函数的单调性
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.理解导数与函数单调性的关系.
2.会利用导数判断或证明函数单调性.
3.会利用导数求函数单调区间.
我们知道，对于函数y=f(x)来说，导数f?(x)刻画的是函数y=f(x)在点x的瞬时变化率，函数的单调性描述的是函数值y随自变量x取值的增加而增加，或函数值y随自变量x取值的增加而减少.两者都在刻画函数的变化，那么，导数与函数的单调性之间有何关系呢？
观察下面几个图象，回答问题.
（1）找出以上函数的单调区间；
（2）求这四个函数的导函数；
（3）导数的正负与其函数的单调性是否有关系？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}y=x
y=x2
y=x3
y=1????
增(-∞，+∞)
增(0，+∞)
减(0，+∞)
增(-∞，+∞)
减(-∞，0)，(0，+∞)
y'=1
y'=2x
y'=3x2
y'=-1????2
y'>0?x∈R
y'＞0?x＞0
y'＜0?x＜0
y'≥0?x∈R
y'<0?x≠0
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}y=x
y=x2
y=x3
增(-∞，+∞)
增(0，+∞)
减(0，+∞)
增(-∞，+∞)
减(-∞，0)，(0，+∞)
y'=1
y'=2x
y'=3x2
y'>0?x∈R
y'＞0?x＞0
y'＜0?x＜0
y'≥0?x∈R
y'<0?x≠0
函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递_____________
f ′(x)＜0
单调递_____________
增
减
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
注意：在某一区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件.
例1 若函数y=f'(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象可能是( )
C
解析：由y=f'(x)的图象可得，在(-∞，b)上f'(x)≥0，
在(b，+∞)上f'(x)<0，
根据原函数图象与导函数图象的关系可得，
y=f(x)在(-∞，b)上是增函数，在(b，+∞)上是减函数，可排除A，D，
且在x=0处，f'(x)=0，即在x=0处，y=f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.
√
变式：已知函数y=f(x)在定义域(-32，3)内可导，其图象如图所示.若y=f(x)的导函数为y=f'(x)，则不等式f'(x)<0的解集为　　 　　　.?
?
(-13，1)∪(2，3)
?
例2 求证:函数f(x)=ex-x-1在区间(0，+∞)内单调递增，在区间(-∞，0)内单调递减.
证:由f(x)=ex-x-1，得f'(x)=ex-1.
当x∈(0，+∞)时，ex>1，即f'(x)=ex-1>0，
故函数f(x)在区间(0，+∞)内单调递增;
当x∈(-∞，0)时，ex<1，即f'(x)=ex-1<0，
故函数f(x)在区间(-∞，0)内单调递减.
例3 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)=13x3-x2+2x-5；(2)f(x)=x-1????-ln x；(3)f(x)=x-ex(x>0).
?
解：(1)因为f(x)=13x3-x2+2x-5，
所以f'(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0，
所以函数f(x)=13x3-x2+2x-5在R上单调递增.
?
(2)f(x)=x-1????-ln x；(3)f(x)=x-ex(x>0).
?
(2)因为f(x)=x-1????-ln x，x∈(0，+∞)，
所以f'(x)=1+1????2-1????=????2?????+1????2=?????122+34????2>0，
所以f(x)=x-1????-ln x在(0，+∞)上单调递增.
(3)因为f(x)=x-ex，x∈(0，+∞)，且f'(x)=1-ex<0，
所以f(x)=x-ex在(0，+∞)上单调递减.
?
方法归纳
判定函数单调性的步骤：
① 求出函数的定义域；
② 求出函数的导数f ?(x)；
③ 判定导数f ?(x)的符号；
④ 确定函数f(x)的单调性.
1. 函数????????=2??????????????????????在(?∞，+∞)上是( )
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定
?
A
2. 函数????=????(????)的图像如图所示，则下列正确的是( )
A. ????′3>0
B. ????′3<0
C. ????′3=0
D. ????′3的正负不确定
?
B
3. 函数f(x)=3+xln x的单调递增区间是(　　)
C
4.函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为____________．
(0，＋∞)
根据今天所学，回答下列问题：
1.导数的符号与函数的单调性之间的关系？
2.怎样判断函数的单调性？