6.2.1 课时2 导数与函数的单调性的综合 课件（15张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.2.1 课时2 导数与函数的单调性的综合 课件（15张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 633.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-15 16:47:28 | ||
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文档简介
(共15张PPT)
6.2.1 课时2
导数与函数的单调性的综合
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.
2.能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围.
例1 设函数f(x)=ex-ax-2，求f(x)的单调区间.
例1 设函数f(x)=ex-ax-2，求f(x)的单调区间.
解：f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f'(x)=ex-a.
∵当a≤0时，f'(x)>0，
∴f(x)在(-∞，+∞)内单调递增.
当a>0时，∵当x∈(-∞，ln a)时，f'(x)<0;
当x∈(ln a，+∞)时，f'(x)>0.
∴f(x)在(-∞，ln a)内单调递减，在(ln a，+∞)内单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞);
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(ln a，+∞)，单调递减区间为(-∞，ln a).
例2 已知函数f(x)=x3-ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围.
解：f'(x)=x2-a，
因为f(x)是R上的增函数，故f'(x)=x2-a≥0在R上恒成立，即a≤x2，
所以a≤0.
经验证，a=0时成立，故a≤0.
变式：已知函数f(x)=x3-ax，若函数f(x)在上是增函数，求实数a的最大值.
解：由题意知f'(x)=x2-a在上有f'(x)=x2-a≥0恒成立，
即a≤x2恒成立，即a≤1，
故实数a的最大值是1.经验证a=1时成立，
故amax=1.
例3 已知函数f(x)=ln x，g(x)=ax2+2x，a≠0.
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
解：(1)由题意有h(x)=f(x)-g(x)=ln x-ax2-2x，x∈(0，+∞)，
∴h'(x)=-ax-2，
∵h(x)在区间(0，+∞)内存在单调递减区间，
∴当x∈(0，+∞)时，-ax-2＜0有解，即a＞-有解，
设G(x)=-，则G(x)=(-1)2-1，
当x=1时，G(x)min=-1，
∴a＞-1且a≠0.
(2)∵h(x)在区间[1，4]上单调递减，∴当x∈[1，4]时，h'(x)=-ax-2≤0恒成立，即a≥-恒成立，∴a≥G(x)max，
而G(x)=(-1)2-1，∵x∈[1，4]，∴∈[，1]，
∴G(x)max=G(4)=-，
∴a≥-.
当a=-时，h'(x)=+x-2==，
∵x∈[1，4]，∴h'(x)≤0，且仅在x=4处有h'(x)=0，
即h(x)在区间[1，4]上单调递减，
故实数a的取值范围是[-，0)∪(0，+∞).
先由函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)推出f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在区间(a，b)内恒成立，且在区间(a，b)任何子区间不恒为零，再利用分离参数或函数性质求解恒成立问题，对等号的取舍可单独验证说明.
方法归纳
例4 (多选)已知f(x)是可导的函数，且f'(x)A.f(1)B.f(1)>ef(0)，f(1)>e2f(-1)
C.f(1)D.f(1)>ef(0)，f(2 024)>e2 024f(0)
AC
解析：令g(x)=，所以g'(x)=，
因为f'(x)所以g(x)在R上是减函数，
所以g(1)即f(1)例4 (多选)已知f(x)是可导的函数，且f'(x)A.f(1)ef(0)，f(1)>e2f(-1)
C.f(1)ef(0)，f(2 024)>e2 024f(0)
根据题目条件，构造出辅助函数，把比较函数值大小问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较函数值的大小.
利用导数比较函数值大小的方法
方法归纳
1.函数y=xln x+m的单调递增区间是( )
A. B.(0，e)
C. D.
2.已知函数f(x)=x3-ax2-3x在区间[1，+∞)内单调递增，则实数a的取值范围是 .
3.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1，3)，则b+c= .
A
(-∞，0]
-12
导数与函数的单调性的综合
已知函数单调性求参数范围
求含参函数的单调性
6.2.1 课时2
导数与函数的单调性的综合
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.
2.能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围.
例1 设函数f(x)=ex-ax-2，求f(x)的单调区间.
例1 设函数f(x)=ex-ax-2，求f(x)的单调区间.
解：f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f'(x)=ex-a.
∵当a≤0时，f'(x)>0，
∴f(x)在(-∞，+∞)内单调递增.
当a>0时，∵当x∈(-∞，ln a)时，f'(x)<0;
当x∈(ln a，+∞)时，f'(x)>0.
∴f(x)在(-∞，ln a)内单调递减，在(ln a，+∞)内单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞);
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(ln a，+∞)，单调递减区间为(-∞，ln a).
例2 已知函数f(x)=x3-ax，若函数f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围.
解：f'(x)=x2-a，
因为f(x)是R上的增函数，故f'(x)=x2-a≥0在R上恒成立，即a≤x2，
所以a≤0.
经验证，a=0时成立，故a≤0.
变式：已知函数f(x)=x3-ax，若函数f(x)在上是增函数，求实数a的最大值.
解：由题意知f'(x)=x2-a在上有f'(x)=x2-a≥0恒成立，
即a≤x2恒成立，即a≤1，
故实数a的最大值是1.经验证a=1时成立，
故amax=1.
例3 已知函数f(x)=ln x，g(x)=ax2+2x，a≠0.
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
解：(1)由题意有h(x)=f(x)-g(x)=ln x-ax2-2x，x∈(0，+∞)，
∴h'(x)=-ax-2，
∵h(x)在区间(0，+∞)内存在单调递减区间，
∴当x∈(0，+∞)时，-ax-2＜0有解，即a＞-有解，
设G(x)=-，则G(x)=(-1)2-1，
当x=1时，G(x)min=-1，
∴a＞-1且a≠0.
(2)∵h(x)在区间[1，4]上单调递减，∴当x∈[1，4]时，h'(x)=-ax-2≤0恒成立，即a≥-恒成立，∴a≥G(x)max，
而G(x)=(-1)2-1，∵x∈[1，4]，∴∈[，1]，
∴G(x)max=G(4)=-，
∴a≥-.
当a=-时，h'(x)=+x-2==，
∵x∈[1，4]，∴h'(x)≤0，且仅在x=4处有h'(x)=0，
即h(x)在区间[1，4]上单调递减，
故实数a的取值范围是[-，0)∪(0，+∞).
先由函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)推出f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在区间(a，b)内恒成立，且在区间(a，b)任何子区间不恒为零，再利用分离参数或函数性质求解恒成立问题，对等号的取舍可单独验证说明.
方法归纳
例4 (多选)已知f(x)是可导的函数，且f'(x)
C.f(1)
AC
解析：令g(x)=，所以g'(x)=，
因为f'(x)
所以g(1)
C.f(1)
根据题目条件，构造出辅助函数，把比较函数值大小问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较函数值的大小.
利用导数比较函数值大小的方法
方法归纳
1.函数y=xln x+m的单调递增区间是( )
A. B.(0，e)
C. D.
2.已知函数f(x)=x3-ax2-3x在区间[1，+∞)内单调递增，则实数a的取值范围是 .
3.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1，3)，则b+c= .
A
(-∞，0]
-12
导数与函数的单调性的综合
已知函数单调性求参数范围
求含参函数的单调性