6.2.2 课时1 函数的导数与极值 课件（21张PPT）

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6.2.2 课时1
函数的导数与极值
人教B版(2019)选择性必修第三册
“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉的用语.尼古拉认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大，极大与极小是对立一致的.那么数学中“极大值”与“极小值”又是如何界定的呢
1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件.
2.会求函数的极值.
如图，函数的图象.
思考1：观察函数 在点、 处的函数值、 ，与它们“附近”各点处的函数值相比有什么特点
f (x1)
f(x3)
y
O
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
比“附近”各点处的函数值都大.
比“附近”各点处的函数值都大.
x
f (x2)
f(x4)
y
x
O
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
思考2:观察函数 在点处的函数值、 ，与它们“附近”各点处的函数值相比有什么特点
比“附近”各点处的函数值都小.
比“附近”各点处的函数值都小.
极值点与极值
一般地，设函数的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1)，则称x0为函数的一个极大值点，且在x0处取极大值，例如a和；
(2)，则称x0为函数的一个极小值点，且在x0处取极小值，例如b和.
极大值点与极小值点都称为极值点；
极大值与极小值都称为极值.
想一想:1.图中有哪些极值点？
2.函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？
3.区间端点可能是极值点吗？
4.极值点是一个点吗？
1.d、e、f、g、h、i.
2.可以，不一定.
3.不可能.
4.不是点，是横坐标.
极值是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况.
如图，函数的图象.
思考：(1)函数 在极值点处的切线有什么特征？这说明导数值有何特点？
(2)函数 在极值点“附近”的切线有什么特征？这说明导数值有何特点？
(1)切线都是水平的，导数值都等于0.
f (x1)
f(x3)
y
x
O
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
f (x2)
f(x4)
(2)极值点“附近”左侧和右侧的切线斜率符号相反，导数值异号.
(3)以为例，判断如果 ′()=0，则一定是函数的极值点吗？
(3)不一定，′(x)=3x2，从而′(0)=0，但0不是极值点
x
y
o
y=x3
f ′(x0)=0
x0是函数 f(x) 的极值点
x0是函数 f(x) 的极值点
f ′(x0)=0
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f'(x0)=0.
①如果对于x0左侧附近的任意x，都有 f'(x)>0 ，对于x0右侧附近的任意x，都有f'(x)<0 ，那么此时x0是f(x)的极大值点.
②如果对于x0左侧附近的任意x，都有 f'(x)<0 ，对于x0右侧附近的任意x，都有f'(x)>0 ，那么此时x0是f(x)的极小值点.
③如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号 (或均为 负号 )，则x0一定不是y=f(x)的极值点.
例1 求下列函数的极值.
解：(1)f'(x)=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2.
令f'(x)=0，解得x1=-1，x2=0，x3=1.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x (-∞，-1) -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞)
f'(x) - 0 - 0 + 0 +
f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
∴当x=0时，f(x)有极小值且f(x)极小值=0，没有极大值.
当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
求可导函数f(x)的极值的步骤:
①求导数f'(x).
②求方程f'(x)=0的根.
③观察f'(x)在方程f'(x)=0的根左右两边的符号，
如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；
如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值.
方法归纳
例2 设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)讨论f(x)的极值.
解：由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)]，
令f'(x)=0，解得x1=0，x2=a-1，
(1)当a=1时，f'(x)=6x2≥0，
f(x)在(-∞，+∞)内单调递增.
当a>1时，f'(x)=6x[x-(a-1)]，
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x (-∞，0) 0 (0，a-1) a-1 (a-1，+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
从上表可知，函数f(x)在(-∞，0)内单调递增，
在(0，a-1)内单调递减，在(a-1，+∞)内单调递增.
综上，当a=1时，f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞);
当a>1时，f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(a-1，+∞)，单调递减区间为(0，a-1).
(2)由(1)知，当a=1时，函数f(x)没有极值.
当a>1时，函数在x=0处取得极大值1，在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.
例3 设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.
解：(1)∵f(x)=aln x+bx2+x，∴f'(x)=+2bx+1，x>0，
∵f'(1)=f'(2)=0，∴a+2b+1=0且+4b+1=0，
解得a=-，b=-.
(2)判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.
(2)由(1)知f(x)=-ln x-x2+x，且定义域为(0，+∞)，
f'(x)=-x-1-x+1=-，
当x∈(0，1)时，f'(x)<0；当x∈(1，2)时，f'(x)>0；当x∈(2，+∞)时，f'(x)<0.
故x=1是函数f(x)的极小值点，x=2是函数f(x)的极大值点.
已知函数的极值求参数时应注意两点：
(1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解.
(2)验证:因为导数值为0的解不一定就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证.
方法总结
D
2.函数y＝x＋ln x的极值情况是( 　 )
A.有极小值 B.有极大值
C.既有极大值又有极小值 D.无极值
3.(多选)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( 　 )
A.y＝x3 B.y＝x2＋1
C.y＝|x| D.y＝2x
4.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( 　 )
A.－4 B.－2 C.4 D.2
D
BC
D
求可导函数y＝f (x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是___________；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是___________．
极大值
极小值