2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（角度问题）（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（角度问题）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，为的中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
2．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．其中，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)是该抛物线上一点．
①连接，若，求点的坐标；
②在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标．
3．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，．
(1)如图1，求抛物线解析式．
(2)如图2，点是第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．
(3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，连接、，的面积为，点是第一象限内一点，连接、，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，若，时，求点的坐标．
4．如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是第四象限内抛物线上一动点，连接，若平分，求点的横坐标；
(3)将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，点，为抛物线上的两个动点，且，连接，过作于点，求点到轴的最大距离．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点，为轴上一动点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在线段上时，连接，，过点作交直线于点．
①直接写出面积的最大值及此时点的坐标；
②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，若，求点的坐标；
(3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出的取值范围．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作轴交抛物线对称轴于点E，作于点G，求当取最大值时的最大值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接，在平移后的抛物线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的横坐标．
7．已知，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
(1)直接写出点A、B、C的坐标；
(2)P是第二象限内对称轴左侧抛物线上一点，连交于Q，若，求点P的坐标；
(3)过原点的直线交抛物线于点D、E，过点E的直线交抛物线于另一点F，若，求b的值．
8．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，；
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
9．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标；
(3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，对称轴为，且．
(1)直接写出抛物线的解析式为______．
(2)如图1，点D为抛物线顶点，点E是第一象限抛物线上一点，使得，，求E点坐标．
(3)将抛物线关于y轴翻折得到抛物线，如图2，它与x轴负半轴交于点P，与正半轴交于点Q，与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于M，N两点，且平分，求点P到直线的最大距离．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，点是线段上一动点，垂直对称轴，垂足为，连接，当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点．
(1)求抛物线和直线的函数表达式；
(2)点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)连接和（2）中求出的点、点位于直线下方且在抛物线上，若，求点的坐标．
13．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于C．
(1)求抛物线的表达式：
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点M，N是直线上的一动点，连接．当取得最大值时，求的最小值：
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点Q是新抛物线上的一点，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．
14．如图，二次函数的图象与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点E为直线上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，与、分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段的长度；
②若，求此时点E的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点，为直线上的两个动点（点在的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿方向平移，使得新抛物线经过点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的坐标（写出必要的求解过程）
17．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第二象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，点在上，过点作交于点，交于点，交抛物线于点，连接，若，求点的坐标．
18．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．
(1)求抛物线解析式；
(2)点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值．
(3)将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标．
19．如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积
(3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（角度问题）》参考答案
1．(1)
(2)
(3)或
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）利用二次函数解析式可得，进而可得直线的解析式为，设点，过点作轴 ，交直线于点，可得，即得，即可得到，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，又可知四边形是平行四边形，得，即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解；
（）由题意可得抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，得，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，则点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，
∴，
∴，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∵点为直线上一动点，轴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，
∵点与点关于直线的对称点，
∴，
又∵，
∴，
∴的最小值；
（3）解：∵直线的解析式为，
∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，
∵，
∴，
∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，
∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
如图，当时，，
设直线的解析式为，把代入得，
，
∴，
∴直线的解析式为，
由，解得（不合，舍去）或，
∴；
当，与轴的交点为点时，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得（不合，舍去）或，
∴；
综上，当时，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．(1)
(2)①；②
【分析】（1）设抛物线的表达式为，把点代入，即可求解；
（2）①过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H，根据题意可得，再由，可得，，从而得到，再求出点，可得，在中，利用勾股定理可得，，从而得到点F的坐标为，再求出直线的解析式，进而得到直线的解析式，即可求解；②过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则，设点E的坐标为，则，可得，然后根据，求出m的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴可设抛物线的表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：①如图，过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H，
∵点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
对于，
当时，，
解得：，
∴点，
∴，
在中，，
∴，
∴或0（舍去），
∴，
∴点F的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点E的坐标为；
②如图，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则，
∵点，，
∴，
当时，，
∴点，
∴，
设点E的坐标为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：或0（舍去），
∴点E的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，解直角三角形，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得出，，，待定系数法求解析式，即可求解．
（2）过点作轴交轴于点，根据，即可求解；
（3）作交于点，延长交轴于点，延长交的延长线于点， 证明得出， ,根据，设，则，则，作交于点，得出，过点作于点，则得出，进而解，得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∵，当时，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设抛物线解析式为代入，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：如图，过点作轴交轴于点，
∵点的横坐标为，则，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）解：∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
如图所示，作交于点，延长交轴于点，延长交的延长线于点，
设，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴， ，
又∵，
∴，
∵，设，则，
∴，
作交于点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
∴，
∴，
在中，设，则，，
又∵，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
过点作轴于点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，正切的定义，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴的平行线，与的延长线交于点，进而可证明，结合坐标都，可知点的坐标为，进而求得直线的表达式为，而为直线与抛物线的交点，且在第四象限则，解方程即可求解；
（3）由平移可知抛物线，如图，与轴交于点，过点，分别作，垂直于轴，交轴于，，设，，证得，得，可求得，设直线的表达式为，可知，为方程的两个根，得，求得，进而可知点的坐标为，则，由，可知点在以为直径的圆上，可得点到轴的最大距离．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）过点作轴的平行线，与的延长线交于点，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，即，，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，代入，，
得，解得，
∴直线的表达式为，
而为直线与抛物线的交点，且在第四象限
则，解得：（负值舍去），
∴点的横坐标为；
（3）将抛物线平移得到，使得抛物线顶点为原点，
∴抛物线，
如图，与轴交于点，过点，分别作，垂直于轴，交轴于，，
设，，
∵，则，
∴，则，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的表达式为，
又∵，在抛物线上，
则，即，为方程的两个根，
∴，
∴
∴直线的表达式为，
即点的坐标为，则，
∵，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
∴点到轴的最大距离．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，等角对等边，相似三角形的判定及性质，圆周角定理，抛物线与直线的交点问题等知识点，利用数形结合是解决问题的关键．
5．(1)
(2)①面积的最大值为，此时点的坐标为；②点的坐标为或
(3)或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由，即可求解；
②当时，在中，，用解直角三角形的方法求出点H的坐标，即可求解；当点在y轴右侧时，同理可解；
（3）由题意可分：当点M在线段上时，当点M在点A的左侧时，然后分别画出函数图象，根据旋转的性质及二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：①由题意知，点、、，
设直线的表达式为：，
∴，解得：，
∴直线的表达式为：，
同理可得直线的表达式为：，
连接，
∵，则面积面积，
则直线的表达式为：，
联立直线和直线的表达式得：，
解得：，
则点，
则，
故面积的最大值为，此时，则点；
②由可知：是等腰直角三角形，即，
∴该抛物线沿射线方向平移个单位长度，则相当于将抛物线向左向上分别平移1个单位，
则新抛物线的表达式为：，
当时，如图：
当点P在y轴左侧时，
设交x轴于点H，过点H作于点N，
在中，，，，
则设，则，
则，则，
则，
则点，
∴，
设直线的表达式为：，
∴，解得：，
∴直线的表达式为：，
将上式和新抛物线的表达式联立得：，
解得：（舍去），
即点；
当点在y轴右侧时，
同理可得直线的表达式为：，
将上式和新抛物线的表达式联立得：，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点；
（3）解：由题意可分：当点M在线段上时，且与点O重合，将线段绕点顺时针旋转得到线段，此时点与点B重合，符合题意；
当点M不与点O重合时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示：
由旋转的性质可知：，
∴，
∴，
解得：（负根舍去），
∴当时，线段与抛物线只有一个公共点；
当点M在点A的左侧时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示：
∴，
∴，
解得：（正根舍去），
当点M在点A的左侧时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示：
由旋转可知：，，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴当时，线段与抛物线只有一个公共点；
综上所述：当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、二次函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握旋转的性质、二次函数与几何的综合及三角函数是解题的关键．
6．(1)
(2)
(3)点N的横坐标为
【分析】(1)根据抛物线，经过点，结合抛物线的对称轴是直线．后利用待定系数法确定解析式即可．
（2）先确定直线的解析式为．过点P作轴于点K，交于点Q，则，确定,设，则，则；结合轴交抛物线对称轴于点E， 得到，于是，确定有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，根据点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点，得到，于是，根据，确定当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为，解得即可．
(3)先确定平移方式，确定平移后的抛物线解析式，利用旋转的性质，平行线的性质，交点坐标的计算解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线，经过点，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线．
∴，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴当时，，
故点，
又当时，，
解得，
故，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
过点P作轴于点K，交于点Q
则，
∵，
∴,
∴,
∴,
∴，
设，则，
则；
∵轴交抛物线对称轴于点E，
∴，
∴
，
∵，
∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，
∵点P在直线下方的抛物线上，
∴，
∴时，；
故．
∵点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点，
∴，
∴，
∵，
∴当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为，
∴．
（3）解：由原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，
∴，，
设向左平移m个单位，向下平移n个单位，
根据题意，得，，
∴先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线，
∵，
∴平移后抛物线的表达式为，
∴，
∵点F为点P平移后的对应点，连接，
∴，
以点P为中心将顺时针旋转，交抛物线于点N，M，交于点S，如图所示，
则，
∵，
∴，
∴轴，
∴点P、N、M的纵坐标都为，
∴，
解得：，
∴在平移后的抛物线上存在一点N，使得，此时点N的横坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，抛物线的平移，旋转的应用，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键．
7．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质，面积问题，特殊角度问题，一元二次方程的根与系数的关系，图象与坐标轴交点，综合性强，计算量大．
（1）分别令，即可求解抛物线与坐标轴的交点；
（2）过点作于点，则，直线表达式为，直线表达式为，联立直线和直线表达式得解得：，即，联立直线和抛物线表达式整理得：，则，那么，由得到，由，得到，则，那么，整理得：，再解方程即可；
（3）过点F作轴的平行线，与过点作轴的垂线，交于点，设直线，与抛物线联立整理得：，则，那么，联立直线与抛物线整理得：，则，那么，故，可得，则，那么代入化简证明得到，则，整理得：，求出或，再代入直线即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：过点作于点，则，
设直线表达式为，
则代入得：
解得：，
∴直线表达式为，
∵，
∴同理可求直线表达式为，
联立直线和直线表达式得，
解得：，即，
联立直线和抛物线表达式得：，
整理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
∴或（在对称轴上，不合题意，舍去），
∴；
（3）解：过点F作轴的平行线，与过点作轴的垂线，交于点，
设直线，与抛物线联立得：
整理得：，
∴，
∴
联立直线与抛物线得：，
整理得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
整理得：，
解得：或，
∴或，
当时，，
∴；
当时，，
∴，
综上所述：．
8．(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为或
【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设，则，，将转化为二次函数求最值即可；
（3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，，
∴，
解得：
∴抛物线解析式为：；
（2）解：令，则，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把，代入得：，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为；
（3）解：存在：
∵，，点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，
解得：（舍去）或，
∴；
②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，
则：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，则：，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
综上：点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
9．(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题等知识，分情况讨论是关键．
（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）分两种情况，求出直线m的表达式，和二次函数解析式联立求出答案即可；
（3）连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H，求出点，由中点坐标公式得，点，点B、H的坐标得直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，
当时，，解得，
∴点B、C的坐标分别为：，
由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）∵，
∴过点O作直线交抛物线于点M，则点M为所求点，
设直线的表达式为，
则，
解得：，
∴直线的表达式为： ，
则直线m的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，则，
即点或，
当M在上方时，
同理可得直线m的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，此方程无解；
故点或；
（3）由题意可得，
∴点，
连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H，
∵，
则点T是的中点，
由（1）知，的表达式为：，
设点，
∵，，
∴
解得
∴,
解得，
∴点，
由中点坐标公式得，点，
由点B、H的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或，
则点．
10．(1)
(2)
(3)点P到直线的最大距离
【分析】本题考查二次函数综合体，涉及到待定系数法求解析式，三角函数，二次函数与定点问题，相似三角形的判定与性质等知识点；
（1）先求出，再由，得到，，求出抛物线对称轴为，解得，再根据交点式求解析式即可；
（2）先求出顶点，过作交于，轴于，过作交直线于，则， ，，由可得，再证明得到，代入数值后即可求出，再求出直线解析式，最后联立二次函数解析式解方程即可得到；
（3）先求出抛物线关于y轴翻折得到抛物线解析式为，得到，， ，则，过作轴，过作于，过作轴于，则，即可得到，，再分别设直线解析式为，直线解析式为，与抛物线联立后得到，，代入得到，设直线解析式为，与抛物线联立后得到，代入关系式消元后得到，即可得到直线过定点，最后由垂线段最短可得：点P到直线的距离不超过，据此求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∴，，
∴抛物线对称轴为，
∵对称轴为，
∴，解得，
∴，，，
∴，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴顶点，
如图，过作交于，轴于，过作交直线于，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，把代入得，解得，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
（3）解：∵点关于y轴翻折得到点，
∴抛物线关于y轴翻折得到抛物线解析式为，
令，解得，
∴，，
∴，
∴，
如图，过作轴，过作于，过作轴于，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，直线解析式为，
联立，解得或，
∴，
同理，
∴，，
∴，
整理得，
设直线解析式为，
联立，整理得，
∴，
∴，
整理得，
∴，
整理得，
∴直线解析式为，
当时，，即直线过定点，
∴，
∵由垂线段最短可得：点P到直线的距离不超过，
∴点P到直线的最大距离．
11．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）在线段上取，使得，连接，，当、、共线时，取到最小值，即取最小值．再据此求解即可；
（3）先求出平移后的抛物线．再分为：①点在上方时，当平行时，，②点在下方时，点关于直线的对称点，，分别解答即可．
【详解】（1）解：由题知
解得．
∴；
（2）解：令，得．
∴．
令，则，
解得或．
∴，．
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴
∵，
∴当时，最大．
∵垂直对称轴，对称轴是直线，
∴．
如图，在线段上取，使得，连接，，
∴，，．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
∴当、、共线时，取到最小值，即取最小值．
∵，，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：如图，由（2）得当最大，．
平移后的抛物线．
①点在上方时，当平行时，，
直线，与轴交于点，
得解得或
∴．
②点在下方时，点关于直线的对称点，，
直线，
得解得或
∴．
综上所述，或
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行四边形的性质等知识，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
12．(1)；；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为；
（2）过作轴交于，设，则，故，根据二次函数性质可得答案；
（3）过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，由，得是等腰直角三角形，可证明，从而，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立方程组，即可解得点的坐标．
【详解】（1）解：把、，代入，
可得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
设直线的函数表达式为，
把代入得，，
解得，，
直线的函数表达式为；
（2）解：过作轴交于，如图所示：
设，则，
，
，
，
当时，取最大值，
此时的坐标为；
（3）解：直线下方存在点，使得，理由如下：
过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图所示：
由（2）知，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
把、的坐标代入可得，，
解得：
直线的解析式为：，
则
解得，或
的坐标为．
13．(1)
(2)2
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出，由勾股定理得出，求出，，直线的解析式为，作轴交于，，得出，当最大时，取得最大值，设，则，表示出，结合二次函数的性质得出当时，的值最大为，取得最大值为，此时，作轴于，则，推出，当、、在同一直线上，且垂直于轴时，的值最小，即可得解；
（3）求出直线的解析式为，结合题意得出将抛物线向左平移个单位长度，向上平移四个单位长度得到新抛物线，求出，分两种情况：当点在下方时，作交于，作轴于；当点在上方时，连接，延长交于，分别求解即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，即，
∵，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交于，
，
则，
∴，
∴，
∴当最大时，取得最大值，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，的值最大为，取得最大值为，此时，
作轴于，则，
∴，
∴当、、在同一直线上，且垂直于轴时，的值最小，此时为点到轴的距离，为；
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，
∴将抛物线向左平移个单位长度，向上平移四个单位长度得到新抛物线，
∵，
∴，
如图：当点在下方时，作交于，作轴于，
，
∵直线的解析式为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴，
∴，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点Q的横坐标为；
如图：当点在上方时，连接，延长交于，
，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，得，
解得或（不符合题意，舍去）
综上所述，点Q的横坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
14．(1)
(2)① ②
(3)存在；，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）两点式写出函数解析式即可；
（2）①求出直线的解析式，利用两点间的距离公式表示出的长度即可；
②求出的解析式，进而求出，根据，列出方程进行求解即可；
（3）求出对称轴，设出点坐标，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点两点，，
∴抛物线的表达式为：，
即．
（2）①∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴，
∵点E为直线上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，与、分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m，
∴，，
∴；
②∵点D为的中点，，
∴，
同①得：直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去）或，
∴；
（3）存在：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或；
∴，．
15．(1)
(2)，周长的最小值
(3)或
【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解；
（2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； 过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小，即可求解；
（3）由正切函数得，由勾股定理得，设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，可得原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，①当在直线的上方，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，由可判定，由三角形的性质得，，由正切函数及勾股定理得 ，可求 ，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标； ②当在直线的下方，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，同理可求直线的解析式为，设，由勾股定理得，可求出的值，从而可求 ，同理可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
；
（2）解：过点作轴于，交直线于，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
当时，取得最大值，
，
，
故的最大值，；
如图，过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小，
周长为
（3）解：，，
，，
，
，
设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，
原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，
，
经过，
，
整理得：，
解得：，，
，
联立，
解得：或，
，
①当在直线的上方，
如图，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
同理可求直线的解析式为，
联立，
解得：或，
；
②当在直线的下方，
如图，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，
由①同理可求：，
，
同理可求直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
解得：，，
当时，
，
不合题意舍去，
当时，
，
，
同理可求直线的解析式为，
联立，
解得：或，
；
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切函数等，掌握待定系数法，二次函数的性质，能作出恰当的辅助线构建三角形及全等三角形，熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出点，进而可得直线的解析式为，由勾股定理可得，求出，设作轴交于，则，，从而可得，推出，表示出，结合二次函数的 可得当时，的值最大，此时，即，将点沿方向平移个长度得到，即将点向左平移个长度，向上平移个单位长度得到，连接，则，，得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，从而得出，当、、在同一直线上时，的值最小，为，即可得解；
（3）求出平移后的解析式为，联立，得出 ，由题意可得，在轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点，则，，从而可得，求出直线的解析式为，联立，解得（不符合题意，舍去）或，得出此时；作点关于直线的对称点，作直线交新抛物线于点，连接，由轴对称的性质可得，，，求出，再同理求解即可．
【详解】（1）解：将，两点代入得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，故，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
设，如图，作轴交于，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，此时，即，
将点沿方向平移个长度得到，即将点向左平移个长度，向上平移个单位长度得到，连接，则，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，当、、在同一直线上时，的值最小，为，
∴的最小值为；
（3）解：，
∵将该抛物线沿方向平移，
∴设该抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
故平移后的解析式为，
∵新抛物线经过点，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴平移后的解析式为，
联立，解得：或，
∴，
∵，
∴，
如图，在轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点，
，
则，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得,
解得：，
∴ 直线的解析式为，
联立，解得（不符合题意，舍去）或，
此时；
作点关于直线的对称点，作直线交新抛物线于点，连接，
由轴对称的性质可得，，
∴，
设点，则，，
解得：（不符合题意，舍去）或，即，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得（不符合题意，舍去）或，
此时，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把原抛物线解析式化为交点式，即可得点，点，把点代入直线得，从而知，故，可得结论；
（2）设点，确定直线的解析式为，可得结论；
（3）先证明，再过点作轴交的延长线于点，证明，作于点，由三线合一性质可知，证明得，即，解得，所以，作轴于点，因为，从而，所以，设点，则有，解得或（舍去），从而得点坐标．
【详解】（1）解：∵，
当时，；
当时，，
解得：；
∴，，，
∵直线经过、两点，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设点，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵的长为，
∴；
（3）∵，，，
∴，
∴，
又∵，
，，
∴，
∵交于点，
∴，
∴，
∴，
过点作轴交的延长线于点，作于点，作轴于点，

∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、一元二次方程等知识点，熟练掌握以上内容并作出恰当的辅助线是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)点K的横坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）中的解析式可得点在直线上，求出直线的解析式为，作轴交于，设，则，，表示出三角形的面积结合二次函数的性质得出当时，的面积有最大值，为，此时，作交于，交对称轴于，交轴于，由直线的解析式得出，从而可得，，当、、、四点共线时，的值最小，用面积法求出，即可得解；
（3）求出新的抛物线，，再分两种情况：当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于，分别求解即可得解．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，
∴点在直线上，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交于，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，为，此时，
作交于，交对称轴于，交轴于，
∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当、、、四点共线时，的值最小，
∵，的面积为，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：∵，直线的解析式为，
∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到新的抛物线，
在中，当时，，即，
当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于，
，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，满足题意，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或；
此时点K的横坐标为或；
如图，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于，
，
由轴对称的性质可得，，，
此时，满足题意，
设，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得：或；
此时点的横坐标为或；
综上所述，点K的横坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
19．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）运用待定系数法将，，代入，即可求解；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，根据四边形的面积为，即可求解；
（3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，其图象经过点，，，
则，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
∵，
∴，
过点D作轴交直线于点E，如图1，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴
∴四边形的面积为
（3）解：抛物线上存在点P，使，理由如下：
如图2，
①取点关于对称轴的对称点，连接，，
∵，，
，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴符合题意；
②当直线时，则有，
∵直线的解析式为，
∴直线的解析式中一次项系数为1．
设与平行的直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立抛物线解析式得：
，
解得：或（不合题意，舍去），
∴．
综上所述，，．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．
20．(1)
(2)1或3或或
(3)，
【分析】（1）根据待定系数法，将点、点代入抛物线解析式，解关于、的一元一次方程，即可求得抛物线的解析式；
（2）通过点、求出直线的解析式，设点、的坐标，结合轴，以、、、为顶点的四边形是平行四边形得，解一元二次方程即可．
（3）过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点．设点，当在右侧时，证明，得、，故可推出，解二元一次方程组可得，即，结合点推出直线的解析式为，联立解一元二次方程即可得；当在左侧时，同理可得．
【详解】（1）解：将点、代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设点，
抛物线与轴交于点，
．
设直线的解析式为，
将点、代入，得：，
解得：，，
直线的解析式为．
设，
，
轴，
，
当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
解得或或或．
（3）解：抛物线上存在点，使，理由如下：
过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点．
设点．
①当在右侧时，如图：
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
，
，，
，，
，
解得：，
，
由，可得直线的解析式为，
联立，
解得：（此时点，点重合，舍去）或，
．
②当在左侧时，如图：
同理可得：，
解得：，
，直线的解析式为，
联立，解得：（此时点，点重合，舍去）或，
．
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，一线三垂直模型判定三角形全等和全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，解二元一次方程组等，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度且利用待定系数法求函数的解析式是解题关键．