北师大八下4.3.1公式法（1）

(共24张PPT)
第四章 因式分解
4.3.1公式法（1）
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1.利用平方差公式的逆向变形对多项式进行因式分解，培养学生的逆向思维能力.
2.掌握平方差逆向公式的特点，结合提公因式法对复杂多项式进行因式分解.
情景导入
1.因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
2.因式分解与整式乘法的关系：
是互为相反的变形（互逆的）
情景导入
3.提公因式法：
定系数：各项系数的最大公约数；
定字母：各项都含有的字母；
定多项式：各项都含有的多项式（看成整体）；
定指数：相同字母或多项式的最小指数.
核心知识点一：
用平方差公式进行因式分解
问题1：观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同的特征？
因为多项式x2－25，9x2－y2，可分别化为x2－52和(3x)2－y2的形式，所以它们的共同特征是：都是两个数平方差的形式．
探索新知
问题2：尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流．
多项式x2－25，9x2－y2的共同特征都是两项，且都是差的形式，各项都能写成平方的形式：x2－25＝x2－52＝(x＋5)(x－5)；9x2－y2＝(3x)2－y2＝(3x＋y)(3x－y)．
探索新知
平方差公式反过来就是说：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
a - b = (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a - b
整式乘法
运用这个公式可以把平方差形式的多项式分解因式.
探索新知
归纳总结
（1）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）
被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（　）２－（　）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
▲
▲
▲
探索新知
例1：利用平方差公式分解因式：
（1）16m2–9n2 （2）16–x2y2
（3）25a2– （4）
–9+x2
解:(1)原式=
(4m)2
-
)
)(
(
3n
4m
-
+
=
(3n)2
3n
4m
(2)原式=
42
-
)
)(
(
xy
4
-
+
=
(xy)2
xy
4
(3)原式=
(5a)2
-
)
)(
(
b
5a
-
+
=
( b )2
b
5a
法1：互换位置
原式=x2-9
=(x+3)(x-3)
法2：提取负号
原式= -(9-x2)
= - (3+x)(3-x)
推荐
探索新知
例2：把下列各式分解因式
（1）
（2）-16
归纳小结:1.平方差公式进行因式分解的条件：
系数能平方，指数要成双，减号在中央；
2. 要检查结果中的每个因式是否分解彻底.
)
)(
(
9
y2
-
+
=
9
y2
y2
解:(1)原式=
( )2
-
( )2
92
)
)(
(
9
y2
-
+
=
y2
32
)
)(
(
9
y2
+
+
=
y
3
)
(
-
y
3
)
(
9y2
+
=
(2)原式=
-
16x4
81y4
(3y-2x) (3y+2x)
y2
=(9 )2
-(4 )2
x2
4x2
)
(
9y2
-
4x2
)
(
9y2
+
=
4x2
交换位置
探索新知
(x+q)
(x+p)
想一想：多项式 (x+p) 2 - (x+q) 2能用平方差公式分解因式吗？
对比公式：
a2 - b2 =（a+b）(a-b)
=（x+p+x+q)×(x+p-x-q）
=（2x+p+q)(p-q）
解：原式=[( )+( )]×[( )-( )]
整体思想
x+q
x+p
x+q
x+p
探索新知
例3：把下列各式分解因式
（1） 9(x–y）2–（x+y）2 （2）
归纳小结：1.公式中的a、b可以代表多项式，此时我们将多项式看成整体套用公式，改写平方形式时不要漏掉系数；
2.注意分解彻底.
解:原式=[3(x-y)] 2-(x+y) 2
=[3(x-y)+(x+y)][3(x-y)-(x+y)]
=(3x-3y+x+y)(3x-3y-x-y)
=(4x-2y)(2x-4y)
=2(2x-y)×2(x-2y)
=4(2x-y)(x-2y)
原式=(a-b) 2-[4(a+b)] 2
=[(a-b)+4(a+b)][(a-b)-4(a+b)]
=(a-b +4a+4b) (a-b -4a-4b)
=(5a+3b)(-3a-5b)
=-(5a+3b)(3a+5b)
探索新知
例4：把下列各式因式分解：
（1）2x3–8x （2）3x3y–12xy
（3）3 （4）－2(m－n)2+32
解：原式=2x(x2-4)
=2x(x2-22)
=2x(x+2)(x-2)
解：原式=3xy(x2-4)
=3xy(x2-22)
=3xy(x+2)(x-2)
解：原式=3a(x2-y4)
=3a[x2-(y2)2]
=3a(x+y2)(x-y2)
解：原式=32－2(m－n)2
=2[16-(m－n)2]
=2[42-(m－n)2]
= 2[4+(m－n)][4-(m－n)]
= 2(4+m－n)(4-m+n)
探索新知
因式分解的一般步骤：
1、如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；
2、如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解（即平方差公式和完全平方公式）；
3、如果上述方法都不能进行因式分解，那么可以先整理多项式，然后分解；
4、因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
遵循“一提、二套、三检查”的原则
归纳总结
探索新知
当堂检测
1.在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是( ) .
B
A． B． C． D．
2.下列多项式能用平方差公式分解因式的是( ) .
D
A． B．
C． D．
当堂检测
3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) .
D
A． B．
C． D．
4.把 分解因式，结果正确的是( ) .
B
A． B．
C． D．
当堂检测
5.下列各式中，能进行因式分解的是( ) .
D
A． B． C． D．
6.下列因式分解正确的是( ) .
B
A．
B．
C．
D．
当堂检测
7.若 ，则括号内应填的代数式是( ).
A.－2－3　　 B. 2＋3
C. 2－3　　　　 D. 3－2
8.已知 是正整数，则下列数中一定能整除
的是( ) .
D
B
A．3 B．4 C．5 D．6
当堂检测
9．利用因式分解计算．
(1)992－1；　 (2)991×1 009.
解：992－1
＝（99 + 1）×（99 - 1）＝100×98＝9 800.
解： 991×1 009
＝(1 000－9)×(1 000＋9)
＝1 0002－92
＝999 919.
当堂检测
10．因式分解．
(1)x 3－xy 4; (2)(a＋3)2－16.
解：x 3－xy 4
＝x（x 2 - y 4）
＝x (x + y 2)(x - y 2).
解：（a + 3）2－16
＝（a + 3）2－42
＝(a＋3＋4)(a＋3－4)
＝(a＋7)(a－1)．
当堂检测
11.已知 ， ，在不解方程组的条件下，
求 的值.
解：原式
，
， ，
原式 .
当堂检测
12.用因式分解进行简便计算：
2（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）＋1.
解：2(3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）＋1
＝(3-1)（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）＋1
＝(32-1)（32＋1）（34＋1）（38＋1）＋1
＝(34-1)（34＋1）（38＋1）＋1
＝(38-1)（38＋1）＋1
＝316－1＋1
＝316.
一、利用平方差公式的逆向变形对多项式的因式分解.
a2-b2=(a+b)(a-b).
1.注意多项式的形式是否符合两个数或式的平方差的形式；
2.因式分解过程中或分解后可能要进行整式的乘法运算
3.当多项式的各项含有公因式时，通常先提公因式，如何再进一步因式分解.
二、利用平方差公式的逆向变形分解因式的注意事项
感谢收看