北师大八下4.1因式分解

第四章 因式分解
4.1因式分解
北师大版 数学 八年级 下册
学习目标
1.理解掌握因式分解的意义.会判断一个变形是否为因式分解.
2.通过观察，理解识别因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
情景导入
1.整式乘法包括哪几种情形？
整式乘法包括单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式.
2.我们学过的乘法公式包括哪些？
乘法公式包括平方差公式、完全平方公式.
核心知识点一：
因式分解的概念
思考：993-99能被100整除吗?你是怎样想的？ 993-99还能被哪些正整数整除？
聪明的小明是这样做的:
993-99=99×992-99×1
=99×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以, 993-99能被100整除.
解决问题的关键什么？
将数式993-99化成了99、100、98三个数的积的形式！
探索新知
若将上述993－99中的99改为字母a，你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？
a3－a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1)
探索新知
做一做：
观察下面拼图过程，写出相应等式.
c
a
m
m
m
b
m
a+b+c
=
ma+mb+mc
m(a+b+c)
我们用了什么方法写出了上面这个等式？你能同样的方法写出课本中第二个等式吗？
探索新知
你能把下面的几个多项式化成几个整式的积的形式吗？
5a2-5a=( )( )
ax+ay-a=( )( )
m2-25=( )( )
y2+4y+4=( )( )
5a
a-1
a
x+y-1
m+5
m-5
y+2
y+2
比较上面这几个等式你发现了什么？
等式的左边都是多项式，等式的右边都是几个整式的积的形式.
探索新知
归纳总结
像上面那样，我们可以把一个多项式进行变形,使它们变成几个整式相乘的积的形式. 像这样的变形我们叫做因式分解.
定义：把一个多项式变成几个整式相乘的积的形式，这种变形叫做因式分解.
探索新知
注意：1.因式分解只对多项式，也就是说只有多项式才能进行因式分解，而且因式分解的结果是几个整式的积的形式.
2.因式分解属于恒等变形，也就是说因式分解后等式左右两边的字母的取值范围、取值和代数式的值都不发生变化.
归纳总结
探索新知
1.因式分解的对象是多项式.
2.因式分解的结果以积的形式表示.
3.因式分解结果中的每个因式都是整式.
练一练：下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？
探索新知
核心知识点二：
因式分解与整式乘法的关系
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)= ;
(2)m(a+b+c)= ;
(3) (m+4)(m-4)= ;
(4) ( y-3)2= .
根据左面的算式填空:
3x2-3x=( )( )
ma+mb+mc=( )( )
m2-16 =( )( )
y2-6y+9 =( )2
3x2-3x
m2-16
y2-6y+9
ma+mb+mc
m
a+b+c
3x
x-1
y-3
m+4
m-4
整式乘法
因式分解
探索新知
观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？
联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.
区别：左边一栏是整式乘法，右边一栏是因式分解，
他们的运算是相反的.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
????+?????????????
?
????2?????2
?
整式乘法
因式分解
是互逆的恒等变形，即
探索新知
整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法：积化和差
因式分解：和差化积
是两种互逆的变形．
即：多项式 整式乘积．
归纳总结
探索新知
例：下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a2＋1＝a(a＋ )
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
D
探索新知
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
探索新知
当堂检测
1.下列从左到右的变形,是因式分解的是( )
A.(3-x)(3+x)=9-x2
B.(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)
C.4yz-2y2z+z=2y(2z-yz)+z
D.-8x2+8x-2=-2(2x-1)2
D
当堂检测
2.如图所示,将一张正方形和一张长方形纸片拼成边长为(m+3)的正方形纸片,从这个过程中可得出的关系式为( )
A.m2+3(m+3)=(m+3)2
B.m2+3(m+6)=(m+3)2
C.m2+3(2m+3)=(m+3)2
D.m2+3(2m+6)=(m+3)2
C
当堂检测
3.下列从左到右的变形中,属于因式分解的是( )
A.x2-1=(x+1)(x-1)
B.2xy2=2x·y2
C.(-x-1)2=x2+2x+1
D.x2+2x+2=x(x+2)+2
A
当堂检测
4.若多项式x2+mx-36因式分解的结果是(x+2)(x-18),则m的值是( )
A.-20 B.-16 C.16 D.20
B
5. 20242-2024不能被下列哪个数整除( )
A.2 023 B.1 010 C.1 012 D.2 024
B
当堂检测
4.有下列从左到右的变形:
①x2-y2=(x+y)·(x-y);
②a(a+3b)=a2+3ab;
③4x2-3x=x(4x-3);
④(a-3b)(a+3b)=a2-9b2.其中是因式分解的有　 　,是整式乘法的有　 　.(填序号)?
①③
②④
当堂检测
5.若2(x+5)(x-2)是多项式2x2-mx-20因式分解的结果,则m的值为(　 )
A.-3 B.3
C.-6 D.6
6.(-55)×99+(-44)×99-99=　 　.?
7.如果多项式ax2+bx+c因式分解的结果为(x-3)(x-2),那么a=　 　,b=
　 　,c=　 　.?
C
-9 900
1
-5
6
当堂检测
8.若多项式x2+mx+n分解因式后结果为 (x-3)(x+1),求m,n的值.
解:(x-3)(x+1)
=x2+x-3x-3
=x2-2x-3.
∵x2+mx+n=(x-3)(x+1),
∴m=-2,n=-3.
当堂检测
9.两位同学将一个二次三项式因式分解,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4),求原多项式.
解:设原多项式为ax2+bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0).
∵2(x-1)(x-9)
=2(x2-10x+9)
=2x2-20x+18,
∴a=2,c=18.
∵2(x-2)(x-4)
=2(x2-6x+8)
=2x2-12x+16,
∴b=-12.
∴原多项式为2x2-12x+18.
当堂检测
10.将多项式x2-3x+2因式分解:x2-3x+2=(x-2)(x-1).说明多项式x2-3x+2有一个因式为(x-1),还可知当x-1=0时,x2-3x+2=0.
利用上述材料解答以下两个问题:
(1)若多项式x2+kx-8有一个因式为(x-2),求k的值;
(2)若(x+2),(x-1)是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式,求a,b的值.
解:(1)由题意,得当x-2=0,
即x=2时,4+2k-8=0,解得k=2.
(2)当x=-2时,-16+4a-14+b=0,①
当x=1时,2+a+7+b=0,②
由①②,得a=13,b=-22.
把一个多项式变成几个整式相乘的积的形式，这种变形叫做因式分解.
1.因式分解的概念：
2.因式分解与整式乘法的关系：
因式分解与整式乘法是互逆的关系.
感谢收看