2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（面积问题）（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（面积问题）
1．已知抛物线与轴分别交于点，点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图1，连接，取中点，连接并延长交抛物线于点，在直线下方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，、是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线、分别交轴于、两点，若，求证：直线必经过一定点．
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点、分别在轴、轴的正半轴上．抛物线经过、两点，点为抛物线的顶点，连结、、．
(1)求、的值．
(2)求点的坐标．
(3)求四边形的面积．
3．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，，与轴交于点，顶点为；抛物线：，顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，连接，点是抛物线上一点（点在点右侧），是以为斜边的直角三角形，若，求的值；
(3)如图2，点为抛物线与的异于点的另一个交点，连接，，，记的面积为，当时，直接写出的值．
4．如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为．
(1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式；
(2)在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标；
(3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点．
5．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点．
①若点是的中点，求的面积；
②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值．
6．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标：
(3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为．
(1)点的坐标是_______，点的坐标是_________；
(2)求该拋物线的函数表达式；
(3)点是该拋物线上的动点，过点作轴于点，交AC于点，设点的横坐标为．
①当时，则点的坐标是_________；
②求面积与的函数表达式，并求的最大值．
8．已知抛物线与轴交于两点（点在左边），与轴交于点．
(1)直接写出三点的坐标；
(2)如图（），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标；
(3)如图（）， 是线段上一点，直线分别交抛物线于另一点，连接，将的面积分别记为，求的值．
9．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线于点D，求四边形面积的最大值及此时点E的坐标．
10．如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)求的面积；
(3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．抛物线与x轴分别交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，D是抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标．
(2)如图1，线段下方抛物线上是否存在一点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接．当时，求点P的坐标．
12．如图1，抛物线与x轴交于点和点B（点A位于点B左侧），与y轴交于点．
(1)求点B的坐标；
(2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．
①如图2，连接与交于点，连接，，若，求点的横坐标；
②如图3，过点作轴交于点，将直线向右平移1个单位且交该抛物线于点，交线段于点，连接，，求的值．
13．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
14．已知二次函数．
(1)若二次函数上的点恒成立不等式，请求出的最小值．
(2)若，直线与二次函数图象交于，两点（假设点在点左侧）．
①若，点是二次函数图像上一点，且介于点，之间，求的最大值．
②已知定点，求证．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．与轴交于点，顶点为，抛物线：经过点．
(1)当点的坐标为时，求抛物线的表达式；
(2)在（）的条件下，在第二象限内抛物线上是否存在一点，使得的面积是的面积的一半？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由：
(3)若抛物线和抛物线构成的封闭图形内部（不包含边界）有个整点（横、纵坐标都是整数），请求出的取值范围．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在x轴正半轴上，点C的坐标为，抛物线经过O，A两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线与线段的交点为D，连接，将沿直线折叠，点C的对应点为E，连接，求的长度．
(3)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得，请写出点P的坐标．
17．如图，抛物线与y轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限，设点P的横坐标为m．
(1)点A，B的坐标分别为：A__________，B__________；
(2)如图1，作射线与y轴交于点M，连接与y轴交于点N，连接，求证：；
(3)如图2，连接，，两线段交于点E．在线段上取点F，使，连接，当达到最小值时，请求出此时的值．
18．已知二次函数的图象过点．
(1)求该二次函数表达式；
(2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为．
①当时，求点P的坐标；
②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
19．如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点．
(1)求点的坐标；
(2)直接写出当时的取值范围；
(3)若点在抛物线上，且，求点的坐标．
20．综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
21．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积；
(3)如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值．
22．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D 的坐标为．
(1)求抛物线的表达式与直线l的表达式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连结，，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
(3)若点 Q是y轴上的点，且求点Q的坐标．
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《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（面积问题）》参考答案
1．(1)
(2)或
(3)直线必经过定点
【分析】（1）设抛物线的函数解析式为，可得，得出的值即可．
（2）先根据点、两点坐标得出点的坐标，从而求出的解析式，与抛物线解析式联立求出，过P作轴交于S点，设，则，可得，再解方程即可；
（3）过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，设，，先证得，得出，从而证得 ，令直线的解析式为，与抛物线解析式联立得出，得出直线的解析式即可.
【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，点．
∴设抛物线的函数解析式为，
∴，即，
解得：，
抛物线的函数解析式：
（2）解：∵抛物线，
当，，
∴，
由（1）知，点；
∵ ，
∴，
∵，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立抛物线解析式得：
解得：或，
∴，
如图，过P作轴交于S点，
设，则，
∴
∴，
∴或．
∴或；
即：在直线下方的抛物线上存在点P，使．
（3）解：如图，过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，
设，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
同理可得，
∴，
∴ ，
令直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，，
即，
∴，
∴直线的解析式为，
∴直线必经过定点.
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线解析式的求法和性质，相似三角形的性质和判定，二次函数与面积，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，选择合适的方法解题是关键．
2．(1)，
(2)
(3)12
【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及正方形的性质、待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积等知识．
（1）由正方形的性质可求得B、C的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c的值；
（2）把抛物线解析式化为顶点式可求得D点坐标；
（3）由可求得四边形的面积．
【详解】（1）解：∵正方形的边长为4，
∴，
∴，，
∵抛物线经过B，C两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点；
（3）解：∵，
∴D到的距离为，
∴．
3．(1)，顶点
(2)
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用待定系数法求函数解析式，通过相似三角形的性质和方程思想解决问题．
（1）将，代入抛物线解析式，通过解方程组求出解析式中的系数，进而得到抛物线表达式和顶点坐标．
（2）过点P作x轴的平行线l，交y轴于点E，过点D作垂直于l，垂足为F，证明，根据相似三角形对应边成比例的性质建立等式，再结合点在抛物线上这一条件求解．
（3）先联立两个抛物线的方程求出交点坐标或，再通过构建图形，利用三角形面积公式列出方程求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点
∴，
解得，
∴抛物线，
∴顶点；
（2）解：如图，过点P作x轴的平行线l，交y轴于点E，过点D作垂直于l，垂足为F；
可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，，
∴ ，
将，代入抛物线，
解得；
（3）解：由抛物线，可得顶点，
联立抛物线与：，解得或，
∴点，
∵顶点，，
所以直线，
过点P作x轴平行线交的延长线于点M，可得，
∴，
∴，
当时，，
∴或，
解得或或．
4．(1)
(2)M的坐标为或
(3)见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）设出顶点式，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出的坐标，分割法求出的面积，设点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，利用分割法列出一元二次方程，进行求解即可；
（3）求出的解析式，令，根与系数的关系，得到，，设直线的解析式为，令，得到，同理得到，进而得到，进而推出，设直线的解析式为，得到，进而得到，推出，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为：，
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把A的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由，解得或，
∴，
把代入，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，
∴．
整理得，
解得 ，．
故M的坐标为或．
（3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
令，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线经过定点．
5．(1)抛物线的对称轴为直线；
(2)①；②的值为或．
【分析】（1）根据题意求得，，再根据抛物线的对称性质求解即可；
（2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点，再求得直线的解析式，求得，再利用三角形的面积公式求解即可；
②分当点在原点上方和下方两种情况讨论，根据，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：①将，代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵点是的中点，
∴点，
当时，，
则点，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴；
②∵点是抛物线上一个动点，
∴，则，
当点在原点上方时，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
∴；
当点在原点下方时，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离公式和平行四边形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
6．(1)抛物线的表达式为
(2)点的坐标为
(3)存在，或或
【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；
（2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案；
（3）根据平行四边形的对角线互相平分，则逐个情况进行讨论，运用中点公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的交点式为，
即抛物线的表达式为；
（2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示：
由（1）知抛物线的表达式为，
抛物线与轴交于点，
设直线，
将、代入得，
解得，
直线，
点是抛物线上位于线段下方的一个动点，
设，则，
，
，
抛物线开口向下，当时，有最大值，
此时点的坐标为；
（3）解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，过程如下：
∵、，，且点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、平行四边形的性质，中点公式，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．
7．(1)
(2)
(3)①；②；最大值．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
（1）对于函数，令和分别求出点A和C的坐标即可；
（2）设抛物线的函数表达式为，将点代入即可求解；
（3）设则求出长，然后根据列方程，并解方程即可；
②根据，计算即可得到解析式，然后配方找最值即可．
【详解】（1）解：对于函数，当时，；
当时，，解得，
∴直线与轴，轴的交点坐标分别为，
故答案为：
（2）∵抛物线与轴的另一交点为，
设所求抛物线的函数表达式为，
把点代入, 得:
解得
∴所求抛物线的函数表达式为,
即；
（3）①设则
∴，，
当时，，
解得：或（与A重合，舍去），
当时，，
故；
故答案为：
②，
，
∴当时, 有最大值．
8．(1)，，
(2)
(3)
【分析】（）把，分别代入二次函数解析式解答即可求解；
（）延长交轴于点，过点作于，可得，即得，设，利用待定系数法求出直线的解析式为，即得，再根据等腰三角形的性质可得，即得，求出即可求解；
（）过点作轴于点，交于点，过点作轴于，交于，利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，进而联立函数解析式可得，，即得，，得到，，即得，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，，
解得，，
∴，，
把代入得，，
∴；
（2）解：如图，延长交轴于点，过点作于，
∵，，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，则，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∵为抛物线上第一象限内一点，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作轴于，交于，
设，直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
同理得，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
9．(1)
(2)点或或
(3)最大值为，此时点
【分析】（1）用交点式确定函数表达式，即可求解；
（2）分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可；
（3）设直线的表达式为：，根据待定系数法确定的表达式为：，设点坐标为，则点，利用，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：；
故二次函数表达式为：；
（2）解：由①得，
当时，，
∴，
①当为平行四边形一条边时，如图1，
则，
故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3，
所以点坐标为，
当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
故点或；
②当是四边形的对角线时，如图2，
中点坐标为，
设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：，
即：，解得：，
故点；
综上：点或或；
（3）解：设直线的表达式为：，
将点B、C代入得：，
解得，
∴的表达式为：，
设点坐标为，则点，
，
，故四边形面积有最大值，
当，其最大值为，此时点．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
10．(1)，顶点的坐标为；
(2)；
(3)存在满足条件的 点，其坐标为或．
【分析】本题考查了两点间的距离，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的性质，二次函数与几何图形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法求解析式即可；
（）联立求出，则，过顶点作 轴的平行线与直线交于点，求出，所以，然后由即可求解；
（）设，则，，，然后分当和当两种情况，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，即，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：联立，
解得：或，
∴，
∵，
∴，
如图，
过顶点作轴的平行线与直线交于点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，点为抛物线上的一个动点，
∴设，
∴，
，
，
由于以为直角边的直角三角形，
当，
∴，
整理得：，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴点；
当，
∴，
整理得：，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴点，
综上可知：点的坐标为或．
11．(1)，
(2)存在，或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）可证明，求出点B坐标，进而得到，则，求出直线解析式，过点E作轴交于F，设，则，根据建立方程求解即可；
（3）利用勾股定理的逆定理证明取中点G，连接，过点P作轴于H，过点C作于M，通过导角证明；则，求出的长设，则，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：，代入抛物线解析式中得，解得：，
∴抛物线的表达式为：，
∴点；
（2）解：∵，
∴，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，则，
∴，
∴直线解析式为，
如图所示，过点E作轴交于F，设，则，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴或；
（3）解：∵，
∴，，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
如图所示，取中点G，连接，过点P作轴于H，过点C作于M，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
解得（经检验是原方程的解）或（舍去）；
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理及其逆定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12．(1)；
(2)①；②2．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、二次函数综合—面积问题，坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，令，计算即可得解；
（2）①设，由，得出，求出，，从而得出方程，求解即可；②直线的解析式为，设，则，得到，由平移得出，，求出，表示出，，计算即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
令，则，
解得：，，
∴；
（2）解：①∵点位于线段上方且是该抛物线上的一点，
∴设，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得：，，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴点的横坐标为；
②设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点位于线段上方且是该抛物线上的一点，
∴设，则，
∴，
∵将直线向右平移1个单位且交该抛物线于点，交线段于点，
∴，，
∴，
∴，，
∴
．
13．(1)
(2)
(3)或或或或
【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）先求出，求出，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；
（3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）解：把代入中，得
，
解得
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：存在．
∵，
∴，
设，
①当为菱的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
②当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得，
∴；
③当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数面积问题，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
14．(1)
(2)①；②见解析；
【分析】（1）由题意可知，，即，由可知，与轴的交点最多为1个时，不等式恒成立，利用判别式小于等于0即可；
（2）①联立直线与抛物线，先求得点和，过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，通过，表示出，从而得到的最大值；②设点，，作轴于，作轴于，联立直线和抛物线，得到，通过根与系数的关系，得到，，，通过计算可知，，得到，利用 ，，可知，推出，得证．
【详解】（1）二次函数上的点恒成立不等式，
∴
∴
∴
（2）解：①，
，
，
，
联立直线和抛物线，得到
解得，，
当时，，那么
当时，，那么
过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，如图所示：
时，有最大值，最大值为，
此时，且介于点，之间，符合题意；
的最大值为；
②证明：设点，，作轴于，作轴于，如图所示：
联立直线和抛物线，得到
，
，
，
，
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，一元二次方程与根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15．(1)
(2)存在，点的坐标为
(3)
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）过点作 交轴于点，利用平行线间的面积处处相等，可将转化为，再根据和的关系，可得三角形底之比，从而确定点的坐标，再确定的解析式，最后求交点坐标即可得到结论；
（）根据抛物线经过抛物线的顶点，从而将点代入抛物线可得，由抛物线经过抛物线的顶点，可得个整点分布在 和上，从而可得的取值范围；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，三角形的面积等知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：存在，点的坐标为，理由如下：
过点作 交轴于点，则，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴点和点的中点坐标为，
即点坐标为，
设过点和的直线解析式为,
则，
解，
∴的解析式为，
∵，
∴可设的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴的解析式为，
联立，可得，
解得，，
∵点在第二象限，
∴点的横坐标为，
把代入， 得，
∴点的坐标为；
（3）解：把代入，得，
∴，
∴抛物线，
∴顶点的坐标为，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线的顶点坐标为，
把代入抛物线，得，
∴点也在抛物线上，
即点为抛物线和抛物线的交点，
设抛物线与轴交于点，
过点作轴，交抛物线于点，则，，
又∵，，
∴，
∵抛物线和抛物线构成的封闭图形内部(不包含边界)有个整点，
∴，
∴．
16．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）先求出点D的坐标，延长交y轴与点G，延长交x轴与点F，证明是等腰直角三角形，得到，由折叠的性质得：，推出，求出，，利用勾股定理即可求解；
（3）设与抛物线对称轴交于点H，连接，求出直线的解析式为，根据抛物线的对称轴为，求出点，设，则，根据，，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，，抛物线经过O，A两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：四边形是菱形，，
点的纵坐标为4，
令抛物线，
解得：或，
根据题意：，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
延长交y轴与点G，延长交x轴与点F，
轴，
轴，
则，
是等腰直角三角形，
，
由折叠的性质得：，
，
轴，
，即轴，
，，
，，
；
（3）解：设与抛物线对称轴交于点H，连接，
由（2）知，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
抛物线的对称轴为，
，
，
设，则，
，
，
，
解得：或，
或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与图形面积问题，折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用二次函数的性质是解题的关键．
17．(1)
(2)见详解
(3)
【分析】（1）令，则，求出，即可得；
（2）先求出，根据点在第四象限的抛物线上，且，得到，待定系数法求出直线的解析式，再求出，待定系数法求出直线的解析式，再求出，即可得，，再根据即可证明．
（3）根据题意得出，在轴正半轴取一点，使，使，连接，在上取一点M使，连接，则，得出都是等腰直角三角形，，证明，得出，故，根据点为定点，点F为动点，得出当点C、F、M三点共线时，最小，根据，得出，即可得，证明，在中，，勾股定理求出，在中，，即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
，
故答案为：；
（2）证明：当时，，
，
∵在第四象限的抛物线上，且，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
，
，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得，
，
解得：，
∴，
当时，，
，
，，
，
．
（3）解：令，则，
，
由（1）得：，，
，
在轴正半轴取一点，使，
使，连接，在上取一点M使，连接，
则，
，
都是等腰直角三角形，
，
在和中
，
，
，
，
，
∵点为定点，点F为动点，
∴当点C、F、M三点共线时，最小，如图，
∵，
∴，
，
，
，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，一次函数的图象和性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，锐角三角函数等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线．
18．(1)
(2)①；②存在最大值，最大值为12．
【分析】本题主要考查了二次函数的知识，用公共三角形表示出，是正确解答此题的关键．
(1)把点代入二次函数解析式可得的值，即可求得二次函数的表达式；
(2)易得点、、的坐标，设出点的坐标，易得；，①时，易得点的纵坐标和点的纵坐标相等，列出方程，求解即可；②用含的代数式表示出，进而根据二次函数的性质可得的最大值．
【详解】（1）解：的图象过点，
，
，
解得：，
二次函数表达式为：；
（2）解：二次函数表达式为：，
二次函数的图象与轴有两个公共点，，与轴交于点，
点，点，点，
设点，
，
，
①，
，
解得：（不合题意，舍去），，
点的坐标为；
②，
当时存在最大值，最大值为12.
19．(1)点的坐标为
(2)
(3)点的坐标为或或
【分析】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，图象法解一元二次不等式，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．
（1）令，则，解一元二次方程，即可求出抛物线与轴的交点坐标；
（2）由函数图象及其与轴的交点坐标即可直接得出答案；
（3）根据求出点到轴的距离等于7，再分两种情况求解，即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：令，则，解得，．
点的坐标为．
（2）解：由函数图象及其与轴的交点坐标可知：
当时，；
（3）解：点的坐标为，．
设点到轴的距离为．，
，解得．
分两种情况：
①当点在轴上方时，，解得．
点的坐标为．
②当点在轴下方时，，解得，．
点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或．
20．(1)；
(2)点P的坐标为；
(3)存在，点P的坐标为，四边形的面积最大，最大值为
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
将点和代入解方程组得到结论；
由得点，，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为；设点，得到，根据勾股定理得到，根据题意列方程即可得到结论；
如图2，过点P作轴交直线于G，设点P的坐标为，则，根据点的坐标得到，，，根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：将点和代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由得点，，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为；
设点，
轴，
，
，
，
，
，
解得或不合题意，舍去，
当时，，
点P的坐标为；
（3）存在．
如图2，过点P作轴交直线于G，
设点P的坐标为，则，
，，，
，，，
，
，
当时．有最大值，最大值为，
点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为
21．(1)
(2)15
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）由题意得：，即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）证明，即，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得，
将代入得，
二次函数的表达式为．
（2）解：令得，，
解得，
．
当时，
．
设直线交对称轴于点的解析式为，
把代入解析式得：
解得：
直线的解析式为．
当时，，
．
．
（3）解：如图，过点作轴的垂线交于点，则轴，
．
，
设，则，
．
，
当时，有最大值，此时的最大值为．
22．(1)抛物线的表达式为；直线 l的表达式为；
(2)的面积的最大值为 ，点；
(3)满足条件的点Q的坐标为；或．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）如图1中，过点P作轴交于点K．设，则．因为，所以的值最大值时，的面积最大，求出的最大值即可；
（3）分两种情况讨论：①过点D作轴交于F点，取点，连接，过点E作交于点K，可得，再求出，3，可求，从而可求，则；②当Q点在y轴负半轴上时，过点D作轴交于点H，可得，由，求出，则，再求出，由，可求，从而得到．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设抛物线的表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，解得
∴抛物线的表达式为
设直线l的表达式为，
∵直线l 经 过 点 ，，
则
解得
直线l的表达式为
（2）解：如图1，过点P作轴交于点K．
设点 则点K
，
∴的值最大时，的面积最大，
又∵0，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时的面积的最大值为，点．
（3）如图1，当Q点在y轴正半轴上时，
过点D作轴交于F点，取点，连接，过点E作交于点K，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
对于，当时，，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图2，当Q点在y轴负半轴上时，
过点D作轴交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，满足条件的点 Q的坐标为；或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．