2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊三角形问题）（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊三角形问题）
1．如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标；
(3)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．点是轴上方抛物线上一动点（不落在轴上），过点作轴交轴于点，轴交轴于点．设点的横坐标为，矩形的周长为．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
(2)当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时，求的值．
(3)求与之间的函数关系式．
(4)设直线与矩形的边交于点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围．
3．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，二次函数 的图象与x轴交于，两点，与y轴正半轴交于点，点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．

(1)当时， 求的值；
(2)在（1）的条件下，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)连接， 连接交于点， 记面积为 ，面积为，在点运动的过程中，对于任意，判断 是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
5．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．
6．已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）．
(1)如图1，求该抛物线的解析式；
(2)作交抛物线于点E，连接．
①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标；
②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标．
7．如图，二次函数（为常数）图象与轴交于点，顶点为，点的坐标为，连接．
(1)求二次函数表达式；
(2)如图，求证：是等腰直角三角形；
(3)如图，分别是线段上的动点，且，求的最小值．
8．如图，若抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴于点H，交于点M，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点D为抛物线的顶点，连接，，求的面积；
(3)在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(4)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的坐标．
9．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6．
(1)求b，c；
(2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值；
(3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，．
(1)求抛物线解析式；
(2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点，连接．
①点在线段上运动时，若是直角三角形，点的坐标为________；（直接写出）
②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值．
11．如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过，两点，并与轴交于另一点．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)设是抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．
①若点在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由；
②当点运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点的坐标及等腰的面积．
12．已知，抛物线．
(1)①无论取何值，抛物线经过定点____________；
②随着的取值的变化，顶点随之变化，是的函数，记为函数，则函数的关系式为：______________；
(2)如图，若抛物线与轴仅有一个公共点时，①直接写出此时抛物线的函数关系式；
②请在图中画出顶点满足的函数的大致图象，在轴上任取一点，过点作平行于轴的直线分别交、于点、，若为等腰直角三角形，求点的坐标；
(3)二次函数的图象与轴交于点，连接，若二次函数的图象与线段有两个交点，直接写出的取值范围．
13．如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及C点坐标；
(2)如图1，连接，在对称轴上找一点D，使得是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
(3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值．
14．如图，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)若为该抛物线上一动点（与点不重合）．
①当点在直线的下方运动时，求面积的最大值；
②在①的条件下，连接，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，要使，求满足条件的点的坐标．
15．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接．
(1)求抛物线解析式；
(2)当线段的长度最大时，求点P的坐标；
(3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标．
16．已知：如图，抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)连接、，当的面积最大时，求点的坐标．
(3)当为何值时，是等腰三角形．
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求这个二次函数及直线的表达式；
(2)过点作轴交直线于点，求的最大值；
(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标为m．
(1)请直接写出a，b的值；
(2)如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，当垂直平分时，求m的值；
(3)过点P作x轴的垂线交于点M，过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，线段，的长度之和记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
19．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积；
(3)如图2，在抛物线对称轴上找一点使的外心在轴上，求点的坐标．
20．综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式并直接写出点的坐标；
(2)求的面积，并在该二次函数图象上确定一点，使与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标．
(3)该二次函数对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊三角形问题）》参考答案
1．(1)；
(2)存在，或；
(3)或；
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出的垂直平分线为，与二次函数联立即可求出答案；
（3）分两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
抛物线的表达式为：；
（2）存在，理由： 是以为底边的等腰三角形，则点P在的中垂线上，
∵，
∴，而，
∴为等腰直角三角形，
∵的中点为，
∴的垂直平分线为，
∴，
解得：，
∴或．
（3）∵点，，
∴，抛物线的对称轴为直线，
如图，由题意得，设翻折后点和点B对应，
则， ，，
∴，
∴，
∴，
当点M在x轴下方时，根据对称性，则点；
故点M的坐标为：或．
2．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）将和代入建立方程组求出b和c的值即可；
（2）当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时，点P、D关于抛物线的对称轴对称，由抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴为，结合点D的横坐标为0，即可得出m的值；
（3）因为点P的横坐标为m，且点P在图象上，所以可以求出点P的纵坐标，由矩形的性质进而求出点D和点C的坐标，又因为点P的位置不确定，所以要分两种情况分别讨论L和m的函数关系①当点P在第一象限时②当点P在第二象限时；
（4）画出函数图象，分两种情形考虑即可①Q在边上，②Q在边上．分别求解即可．
【详解】（1）解：将和代入得：
，
∴，
∴；
（2）解：∵点P的横坐标为m，且点P在图象上，
∴，，
∵矩形的面积被抛物线的对称轴平分，
∴P、D关于对称轴对称，
∴，
∴时，矩形的面积被抛物线的对称轴平分；
（3）解：由题意，，，
分以下两种情况：
①当点P在第一象限时，，
∴，，
∴，
∴；
②当点P在第二象限时，，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，；
（4）解：由，解得或（舍弃），
∴，
分以下两种情况：
如图，当Q在边上时，
由图象可知，当时，是等腰直角三角形；
如图，当Q在边上时，
此时，即时，是等腰直角三角形，
解得或，
∵点P在x轴上方，
∴满足条件的m的值为或．
综上所述，当或时，是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了二次函数的确定方法、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一元二次方程的运用，题目的（3）和（4）两问中需要分类讨论的数学思想，防止遗漏问题的解．
3．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解；
（3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：将、两点代入抛物线，
则，
解得：，
即抛物线解析式为：；
（2）解：将代入中，则，
∴，
又∵，
设直线的解析为，
则，解得：，
∴直线的解析为，
设，则，
∴，
∵，且，
∴当时，线段有最大值为；
（3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下：
∵，
∴
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵以点、、为顶点的三角形与相似，
∴或，
∵， .
∴，
设，则，
∴，
∴或，
解得(P与C重合，舍去)或或，
当时，，
当，时，，,
∴.P的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是分类讨论思想的应用，
4．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，等腰三角形的性质，解直角三角，掌握以上知识是解题的关键；
（1）当时，，进而代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出，进而得出直线的解析式为，设，则，过点作于点根据题意得出的纵坐标为，进而得出，即可求解；
（3）过点作于点，过点作于点，根据题意得出，进而解直角三角形，求得的表达式，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，代入，
∴，
解得：，
（2）由（1）可得
当时，，
解得：
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
设，则
过点作于点

∵是以为底边的等腰三角形，
∴，轴，
∴的纵坐标为
∴
∴
解得：（舍去）或
∴
（3）解：如图所示，过点作于点，过点作于点

记面积为 ，面积为，
∴
∵二次函数 的图象与x轴交于，两点，
当时，
解得：
∴，
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
∵抛物线与y轴正半轴交于点，
∴
∴
设,则
∴

∵，
∴，
∵
∴
∴
∴
又
∵，
∴存在最大值，最大值为
5．(1)抛物线解析式为，直线的解析式为
(2)存在点，
(3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或
【分析】（1）由题意得：，再将代入，求解即可；设直线的解析式为，把，代入，然后解方程组即可；
（2）连接，，则，当、、三点共线时，有最大值，延长交对称轴于点，，解方程得到，设直线的解析式为，得到直线解析式为，当时，求出的值即可；
（3）根据题意对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，
∴，，
解得：，，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）存在点，连接，，则，
当、、三点共线时，有最大值，
延长交对称轴于点，则，
∵二次函数的图像与轴交于，，
当时，，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（3）存在点，使是直角三角形，
∵点对称轴上，
设，
∵，，
∴，，，
①当时，，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
∴，
解得：，
∴；
③当时，，
∴，
解得：或，
点坐标为或；
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．(1)；
(2)①或；②点E的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①分两种情况讨论：当在轴上方时和当在轴下方时，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理确定点的坐标，然后代入函数解析式并求解，进一步即可获得答案；
②分两种情况讨论，当点在的上方时，作于点，设，求得，，利用待定系数法求得；当点在的下方时，点在的垂直平分线上，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴抛物线的解析式为，
把代入，可得，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：①分两种情况讨论：
当在轴上方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∵轴，
∴，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
将代入，
得，
整理得，
解得或，
∴；
当在轴下方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点，
设，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
将代入，
得，
整理得，
解得或，
∴．
综上所述，点的坐标为或；
②当点在的上方时，，且，如图，作于点，
∴，，，设，
∵抛物线的对称轴为直线，轴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，，
∴，代入得，
整理得，
解得或（舍去），
∴，，
∴；
当点在的下方时，，且，如图，
∴点在的垂直平分线上，
∴，
综上，点E的坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．
7．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）求出点坐标，再根据两点间距离公式求出的长度，进而根据勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的定义即可求证；
（）如图，延长至，使，在上取，连接，由线段垂直平分线的性质得，，证明得，即得，又由等腰三角形的性质可得，即得，利用勾股定理得，进而即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得，
∴二次函数表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：如图，延长至，使，在上取，连接，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先配方得到顶点D的坐标，然后根据解答即可；
（3）先表示，，，然后分为或两种情况列方程解题即可；
（4）设点，，求出的最值时的点P的坐标，然后设，表示，，，然后分局勾股定理列方程解题即可．
【详解】（1）解：将A，两点的坐标代入，
得，解得，
故二次函数的表达式为；
（2）解：，
∴点D的坐标为，
∴；
（3）解：存在.
令，则，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把点B和C的坐标代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点M的坐标为，
，
，
，
当时，，
解得 ，(舍去)，
；
当时，
解得 (舍去)， (舍去)，
；
综上，点的坐标为或；
（4）解：设点，，
∴，
当时，最大为，
又∵，
∴的值最大，此时点，
设，
则，，，
当时，，
解得：（舍去）或，
∴，
当时，，
解得：（舍去）或，
∴，
当时，，
解得：（舍去），
综上所述点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法，二次函数与一次函数的综合是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解；
（3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点，
∴，
∵的面积，
∴，即点，
将点的坐标代入二次函数表达式得：，
解得．
（2）解：由（1）得抛物线的表达式为，
令，即，
解的，或，
∴点，，
如图所示，过点作轴于点，
设点M的坐标为，
∴，，，，
∵
∴
，
∵，
∴当时，S最大值，
答：四边形的面积S的最大值为．
（3）解：设点P的坐标为，则，，，
当时，即，
解得（舍去）或3，即点P的坐标为；
当时，则，
解得或，即点P的坐标为或；
当时，则，
解得，即点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
10．(1)
(2)①或；②的最大值为，
【分析】（1）将点A代入直线，求得n，因而可求得点B，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）①根据题意，若是直角三角形，则或，分别画出示意图，讨论即可；②过点Q作于点H，直线的解析式为，求出，得到，证明，推出，再根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴得，
则直线，
当时，，点，
又∵，抛物线经过A，B，
∴解得，
则抛物线；
（2）解：①根据题意，若是直角三角形，则或，
如图，当时，
∵，轴，交于点，交抛物线于点，
∴将代入直线，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：或（此时，三点重合，舍去），
则，
∴；
如图，当时，
同理得到，即，
解得：或（此时，三点重合，舍去），
则，
∴；
综上，是直角三角形时，点的坐标为或；
②如图，过点Q作于点H，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11．(1)
(2)①存在，线段的长度的最大值为，此时；②点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为．
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
（1）将点、的坐标代入函数解析式，即利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）①设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；②求出的垂直平分线的解析式，用方程组求出点的坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：，，且点、在抛物线上，
∴，
解得，
该抛物线所对应的函数关系式为；
（2）解：①存在，理由如下：
令，得，
解得：，
，
如图2中，
已知，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
点在抛物线上，且轴，点N在直线的上，
设点的坐标为，则点的坐标为，
又点在第一象限，
∴
，
∵
当时，
线段的长度的最大值为；
②解：如图3中，
由题意知，点在线段的垂直平分线上，
又由①知，，
的中垂线同时也是的平分线，
∴点P到坐标轴的距离相等，
设点的坐标为，
又点在抛物线上，于是有，
，
解得，，
点的坐标为：或，
若点的坐标为，此时点在第一象限，
在和中，，
，
若点的坐标为，此时点在第三象限，
则．
综上所述：点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为．
12．(1)①；②
(2)①；②图见解析，点的坐标为或
(3)
【分析】（1）①把抛物线化为可得定点坐标；②利用抛物线的顶点坐标公式可得答案；
（2）①由，再建立方程求解即可；②的图象如图所示：设，轴，可得，，结合为等腰直角三角形，可得，再建立方程求解即可；
（3）如图， 求解，当过时，可得，当抛物线与线段只有交点时，求解直线为，可得方程有两个相等实根，进一步求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴当时，，
∴抛物线过定点；
②∵顶点，
∴，
∴
∴；
（2）解：①∵抛物线与轴仅有一个公共点时，
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
②的图象如图所示：
设，轴，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴或，
解得：或（舍去，）
∴或；
（3）解：如图，∵当时，，
∴，
当过时，
∴，
解得：，
当抛物线与线段只有交点时，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
∴方程有两个相等实根，
∴，
解得：，
∴二次函数的图象与线段有两个交点，的取值范围为．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，画二次函数的简易图象，一元二次方程的解法与根的判别式的应用，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
13．(1)，
(2)或或
(3)，
【分析】（1）将，代入解析式，即可求解；
（2）由二次函数的对称轴得对称轴为直线，设，①当时，②当时，由勾股定理，即可求解；
（3）过作轴交于，由等腰三角形的定义得，由勾股定理得直线的解析式为，设，，可得，，由二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
解得，
故抛物线的表达式为：，
当时，，
；
（2）解：，
对称轴为直线，
设，
①当时，如图，
，
解得：，
；
②当时，如图，
，
解得：，，
；
故点D的坐标为或或；
（3）解：过作轴交于，
轴，
，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
，
，
当时，
的最大值是；
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，二次函数的性质求最值，掌握待定系数法，能熟练利用二次函数的性质求最值及根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键．
14．(1)
(2)①；②或
【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，二次函数与面积，全等三角形的性质．
（1）将两点分别代入列方程计算即可；
（2）①过点作轴的平行线，交于点，连接，，先求出直线的函数解析式为，再设点，则点，根据求面积最大值即可；
②由，得到，设点，则，或，再根据点在抛物线对称轴右侧或左侧时，列方程求出，的值即可．
【详解】（1）解：将两点分别代入，
得，解得，
该抛物线的函数解析式为．
（2）解：①如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，．
设直线的函数解析式为．
将两点分别代入，得，
解得，
直线的函数解析式为．
设点，则点，
，
，
，且，
当时，的面积有最大值，最大值为．
②由（1）易知，抛物线的对称轴为，
，
∵，
∴，
设点，
∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，
∴，或，
当点在抛物线对称轴右侧时，，
，
，
，，或．
当点在抛物线对称轴左侧时，，
，
，
，，或与点在直线的下方矛盾，应舍去．
所以，点的坐标为或．
15．(1)
(2)
(3)点E的坐标为
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3），由时，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，
，
，
∴直线解析式为：，
当时，，
∴点，
∵抛物线经过点A，B，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：轴，
，
，
点，
点，则点，
则，
当时，最大．，
；
（3）解：根据题意得，，
由（2）得，，
，
，
解得：（舍去）或，
∴点E的坐标为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16．(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意解得点、，设抛物线的交点式解析式，代入点利用待定系数法解题即可；
（2）先解得抛物线与轴的交点，再利用待定系数法求解直线的解析式，设直线上的，抛物线上的点，解得，用配方法解得最值即可解题；
（3）分三种情况讨论：① 当点E为顶点时，②当点C为顶点时，③当点D为顶点时，根据等腰三角形的性质解题．
【详解】（1）解：∵，
∴
设抛物线关系式为，代入
得：，
，
∴抛物线的解析式为；
（2）令，解得抛物线与轴的交点，
设直线为，把，
代入得，
解得，
∴，
设
∴当时，S取得最大值
此时；
（3）∵点，，即，
∴，
∵轴，
∴，
① 当点为等腰三角形的顶点时，如解图1，
，则，
∴轴，
又∵，
∴；
② 当点为等腰三角形的顶点时，，如解图2，则，过点作，垂足为，
∴，，
∵，
∴，代入解析式得，
（不合题意舍去）；
③当点为等腰三角形的顶点时，，如解图3，
如图，∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，（不合题意舍去）；
综上：或或.
17．(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）设，可得，即得，再根据二次函数的性质解答即可；
（）分四种情况：①点在轴上方，点在对称轴右侧；②点在轴下方，点在对称轴右侧，分别画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：设，
∵轴交直线于点，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为；
（3）解：存在．
①当点在轴上方，点在对称轴右侧时，如图，
设对称轴与轴交于点，过点作于点，
∵为等腰直角三角形，且为直角，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
设点坐标为，则，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得，，
解得或（不合，舍去），
点坐标为；
②当点在轴下方，点在对称轴右侧时，如图，
同理可得，点坐标为；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)①
②当时，P点有2个，当时，P点只有1个
【分析】（1）把，，两点坐标代入，求出a，b的值即可；
（2）过点P作轴交于点Q，连接，证明轴，得出直线的解析式为，设，根据，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①设，且，则，根据对称性可得，则，进而分类讨论得出；
②分别求得两段二次函数的最值，进而画出图象，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：把，两点坐标代入，得：
，
解得，；
（2）如图1所示，过点P作轴交于点Q，连接，
由（1）可得抛物线解析式为，
对称轴为直线，
当时，，则，
∵，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴轴，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
所以直线BC的解析式为，
设，
∵点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，则且，则，
∴，，
∵，
∴，
解得：或(舍去)；
（3）如图2所示，
设，且，则，
过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，
则N点与P点关于对称，
∴，
∴，，
∴；
当时，，
当时，，
∴；
②∵，
当时，，
∵当时，，
对称轴为直线，开口向下，当时，d随m的增大而增大，上限为6(取不到)，
当时，，
当时，，
对称轴为直线，开口向下，当时，d随m的增大而减小，
当时，(取不到)，
函数图象如图所示，
∴当时，P点有2个，当时，P点只有1个．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合问题，难度较大，运用数形结合思想解题是解题的关键．
19．(1)；
(2)当M为时，四边形的面积有最大值为；
(3)点D的坐标为或．
【分析】（1）将A，C两点坐标代入，利用待定系数法求解；
（2）连接，过M作x轴的垂线交于点N，，其中为定值，设M点坐标为，则，化为顶点式，即可求出最值；
（3）由题意判断得到是等腰直角三角形，据此求解即可．
【详解】（1）解：把，两点坐标代入抛物线解析式，
可得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N，
在中，令，
解得或，
∴B点坐标为．
∴，且，
∴，
∵，，
∴直线解析式为，
设M点坐标为，则N点坐标为，
∵M在第四象限，
∴，
∴，
∴当时，，，
∴当M为时，四边形的面积有最大值，
最大值．
（3）解：∵，，
∴抛物线的对称轴为，
如图，设抛物线的对称轴交轴于点，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴，
∵的外心在轴上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴D点坐标为，
当点在轴下方时，同理D点坐标为，
综上，点D的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形的外心的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想．
20．(1)二次函数的表达式为，点的坐标为
(2)，点的坐标为或或或
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（）利用待定系数法可求出二次函数的表达式，再根据二次函数的表达式可求出点的坐标；
（）利用点坐标可求出的面积，设点的纵坐标为，进而根据两个三角形面积相等列出方程求出的值，再代入二次函数表达式求出点的横坐标即可求解；
（）求出二次函数的对称轴为直线，设，分点为等腰的顶点和点为等腰的顶点两种情况，根据等腰三角形的性质、两点间距离公式列出方程解答即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
∵当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
设点的纵坐标为，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
当时，由，解得，，
∴或；
当时，由，解得，，
∴或；
综上，点的坐标为或或或；
（3）解：存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
当点为等腰的顶点时，，
则，
解得，
∴或；
当点为等腰的顶点时，，
则，
解得或，
∴或；
综上，对称轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，等腰三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．