2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊四边形问题）（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊四边形问题）
1．如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．直线过抛物线的顶点P．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．
①当取得最大值时，求m的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点E的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标；
(3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长．
3．如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的表达式：
(2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上一点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)作抛物线关于直线上一点对称的函数图象，且与只有一个公共点（在轴右侧），为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值；
(3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标；
(3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为，与轴负半轴交于点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点为抛物线对称轴上的一点，，求点的坐标：
(3)抛物线沿射线平移至第一象限，顶点为，与原抛物线交于点．在原抛物线上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），经过点的直线：与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．
(1)求、两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）；
(3)点是直线上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求的值；
(4)设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点、、、为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
8．综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标．
(3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线的图象经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积；
(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点、以为边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求b，c，m的值；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．
11．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图①，在直线上方的抛物线上存在一点M，使得，求出M的坐标；
(3)若点P是该抛物线上位于直线下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当四边形为平行四边形时，求点的坐标；
(3)设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标．
13．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点，，．
(1)判断点是否在轴上，并说明理由；
(2)求抛物线的函数表达式；
(3)在轴的上方是否存在点，，使以点，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知抛物线，y的最大值为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点Q和点P是直线上方抛物线上一动点（点Q在点P的左侧），分别过点Q，P作y轴的平行线，分别交直线于点N，M，连接．若四边形是平行四边形，试求平行四边形周长的最大值以及此时P点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求面积的最大值；
(3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标．
16．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点P的坐标；
(3)在平面内是否存在一个点M，使点A、点C、点M、点B所围成的图形为平行四边形，若存在求出M点的坐标；若不存在请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若连接，，并把沿翻折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出这个菱形的面积；若不存在，请说明理由；
(3)当点运动到什么位置时，由，，，这四点组成的四边形的面积最大？并求出此时点的坐标和该四边形的最大面积．
18．如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点在B的左侧，与y轴交于点
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)将抛物线经过向右与向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B，两点在B的右侧，顶点D的对应点为点，若，求点的坐标及抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动时，连接，求的最小值；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1，抛物线与直线相交于O、B两点，点A在抛物线上且横坐标为2，点D为抛物线与x轴的交点，点E是线段上一动点．
(1)求点B坐标；
(2)连接、，求的最小值；
(3)为什么三角形？请说明理由：
(4)如图2，点C是线段的中点，连接、，将沿折叠，得到，若与重叠部分的面积是面积的，求的长．
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《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（特殊四边形问题）》参考答案
1．(1)
(2)①当时，取最大值，②或或
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，勾股定理等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）由抛物线与轴交于和两点，得抛物线对称轴为直线，即可得抛物线顶点为，设抛物线函数解析式为，将代入可得，故抛物线函数解析式为；
（2）①求出，得直线解析式为，故，，得；
②根据二次函数性质可得答案；
③由，，，得，，；分三种情况列方程可解得答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于和两点，
抛物线对称轴为直线，
在中，令得，
抛物线顶点为，
设抛物线函数解析式为，
将代入得：
，
解得，
抛物线函数解析式为；
（2）解：①如图：
在中，令得，
，
设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
直线解析式为，
设，则，
，
当时，取最大值，
②设，则，，
，，；
若，则，
解得（与重合，舍去）或，
；
若，则，
解得（舍去）或或（不符合题意，舍去），
，；
若，则，
解得（舍去）或或（不符合题意，舍去），
；
综上所述，的坐标为或或．
2．(1)
(2)曲线顶点坐标为，解析式为
(3)，正方形的边长为
【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数与特殊图形求边长的计算是关键．
（1）根据抛物线过点，对称轴直线为，代入计算即可求解；
（2）根据对称轴直线为，结合可得，代入抛物线，运用待定系数法即可求解；
（3）根据四边形是正方形，得到，设，则，，，，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为，
∴，且，
∴解得，，
∴，
∴，且，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，即抛物线顶点坐标为，
∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为，
∴曲线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上，
∴设，
∴，
∴，，
∵点关于对称，
∴，则，
∴，
∴，整理得，，
解得，（大于，不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，正方形的边长为．
3．(1)；
(2)最大值，此时点的坐标为；
(3)或或．
【分析】根据二次函数的解析式可得抛物线与轴的交点坐标为，再根据求出点、的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
连接，过作，交于点，根据轴可证，根据相似三角形的性质可证，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，从而可得，所以有，根据二次函数的性质可得当时，取得最大值，此时点的坐标为；
把代入，求出点的坐标，再根据两抛物线关于点中心对称，求出抛物线的顶点坐标，根据点为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，设，，然后再分三种情况：当点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，当点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，当为平行四边形的对角线时求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
可得：，
点的坐标为，
，
点、的坐标分别为，，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：
抛物线的解析式为；
（2）解：如下图所示，连接，过作，交于点，
轴，
，，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：当时，
可得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
与关于中心对称，
整理，
可得：，
的顶点为，
设的顶点坐标为，
则有，
解得：，
的顶点为，
为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，
设，，
点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时：
当点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：，，
解得：，，
点的坐标为；
当点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：，，
解得：，，
点的坐标为，
当为平行四边形的对角线时：
中点为，中点为，
，，
解得：，，
点的坐标为；
综上所述，的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用、平行四边形的判定与性质、用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、分类讨论的思想，解决本题的关键是利用分类讨论的思想，讨论以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时点的坐标．
4．(1)
(2)点的坐标为，的最大值为
(3)存在，或
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出直线的解析式为，设，则，表示，可知当时，取得最大值，最大值为，此时，，即可求解坐标以及面积最大值；
（3）根据菱形的对角线垂直且互相平分即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
设，则，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为，
此时，
点的坐标为，的最大值为；
（3）解：存在．如图，
设点，交于点，若四边形是菱形，连接，则，，
，
解得，
或．
5．(1)
(2)的最大值为，此时点
(3)或或或
【分析】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）设，利用表示出的长，即可求解；
（3）当是对角线时，由勾股定理和中点坐标公式，列出方程组即可求解；当是边时，同理可解．
【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，
设抛物线解析式为，
把代入抛物线可得，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
在中，，
，
如图，
轴，
，
设点，则点，
则，
则，
，
，故当时，有最大值，为，此时点；
（3）解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位，
则新抛物线的对称轴为直线，设点，
如图，当为对角线时，存在两种情况，可得，
，
解得，
则，
的中点为，即，
设，则可得，解得，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时，
当时，，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
如图，当为边时，当在上方时，
可得，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
综上，或或或．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设顶点式，再代入原点坐标即可求解；
（2）设对称轴与x轴交于点D，在轴上方对称轴上取点，使得，联结，构造，即可求解；
（3）先求出直线的表达式为，设，则平移后的抛物线表达式为，与抛物线的联立求得，过点M作y轴的平行线，过点N、P作平行线的垂线，垂足分别为G、H，可得，则，解得：，故，，由点的平移求得，再验证点在原抛物线上即可．
【详解】（1）解：∵顶点为，
∴设解析式为：，
又∵抛物线经过原点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设对称轴与x轴交于点D，在轴上方对称轴上取点，使得，联结，
∵顶点为，
∴对称轴为直线，，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设直线的表达式为，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
设，
∴平移后的抛物线表达式为，
与抛物线的联立得：，
解得：，
∴，
过点M作y轴的平行线，过点N、P作平行线的垂线，垂足分别为G、H，
∴.，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵矩形，，
∴，
∴，，
∴，
将代入原抛物线解析式得：，
∴点Q在原抛物线上，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，函数图像的平移，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键在于构造相似三角形．
7．(1)，，抛物线的对称轴为直线
(2)
(3)
(4)能成为矩形，此时点的坐标为或
【分析】（1）求出当时，的值即可得点的坐标，将抛物线的解析式化成顶点式即可得抛物线的对称轴；
（2）过点作轴于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得点的横坐标为4，代入抛物线的解析式可得点的纵坐标，然后根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（3）过点作轴的平行线，交直线于点，设点的坐标为，则，，再分两种情况：和，利用三角形的面积公式求出面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解即可得；
（4）设点的坐标为，点的坐标为，分三种情况：①当为矩形的一条边时，则对角线与互相平分且相等，②当为矩形的一条边时，则对角线与互相平分且相等，③当为组成的矩形的对角线时，则与互相平分且相等，先利用点坐标的中点公式求出点的坐标（用表示），再根据对角线相等建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：对于抛物线，
当时，，
解得或，
∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），
∴，，
将抛物线化成顶点式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）解：如图，过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为4，
将代入得：，
∴，
将点和代入得：，解得，
所以直线的函数表达式为．
（3）解：如图，过点作轴的平行线，交直线于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∵，
∴的边上的高为，
将代入直线得：，即，
当时，的边上的高为，
则面积为
；
当时，的边上的高为，
则面积为
；
综上，当时，的面积为，
∵，
∴由二次函数的性质可知，当时，的面积取得最大值，最大值为，
又∵的面积的最大值为，
∴，
解得．
（4）解：由上已得：，，抛物线的对称轴为直线，
∴可设点的坐标为，
设点的坐标为．
①当为矩形的一条边时，则对角线与互相平分且相等，
∴，解得，
将代入得：，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，方程没有实数根，舍去；
②当为矩形的一条边时，则对角线与互相平分且相等，
∴，解得，
将代入得：，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
解得或，
∴，
所以此时点的坐标为；
③当为组成的矩形的对角线时，则与互相平分且相等，
则，解得，
将代入得：，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
解得或，
∴，
所以此时点的坐标为；
综上，以点、、、为顶点的四边形能成为矩形，此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、一次函数的应用、矩形的性质、一元二次方程的应用等知识，综合性较强，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
8．(1)
(2)点的坐标为
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式；
（2）过点作轴于点，交于点．设，则，，，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，的值，进而求得点的坐标；
（3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得的坐标进而求得点的坐标．
【详解】（1）将，分别代入，
得
解得
该抛物线的表达式为．
（2）对于，令，则，
，
可设直线的表达式为，
将代入，
得，解得，
如图（1），过点作轴于点，交于点．
设，则，
．
，，，
，，，
，
，，
当时，取最大值，最大值为，
此时点的坐标为．
（3）存在．点的坐标为或或或．
设，．
，．
如图（2），①当为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，可得
解得（舍去）或
，．
②当为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，可得
解得或
，或，
．
③当为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，可得
解得（舍去）或
，．
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
9．(1)，
(2)存在，取最大值，点P的坐标为
(3)存在，点P坐标为或．
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解．
（1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解；
（2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解．
（3）根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将，，三点代入
可得，
解得：，
故抛物线的解析式为；
∵．
∴抛物线的顶点M的坐标为．
（2）解：设直线的解析式为，把点、代入得，
解得：，
得直线的解析式为．
如图，过点E作轴，交于点F，
设点E为，则点F为，
∴．
∴．
∴．
∴当时，取最大值．
∴点E的坐标为．
（3）解：∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴或，
∴或，
∴点P坐标为或．
10．(1)，；
(2)；
(3)或或或．
【分析】（1）把，代入，解二元一次方程组即可得b，c的值，令即可得m的值；
（2）设设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解；
（3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求解直线的解析式为： 可得 设，再利用勾股定理表示，，，再分三种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得．
∴这个抛物线的解析式为：，
令，则，
解得，，
∴，
∴；
（2）解：∵抛物线的解析式为；
∴对称轴为直线，
设，
∵轴，
∴，
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的周长
∵
∴当时，四边形的周长最大，则，
∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为；
（3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，
∴，
由翻折得，
∵．
∴，
∴，
∵对称轴于H，
∴轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为：，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：
∴，
设，
∴，，，
分两种情况：
①当时，，
∴
解得：，
∴；
②当时，，
∴
解得：，
∴点的坐标为；
③当时，，
∴
解得：或
∴点的坐标为或，
综上，所有符合条件的点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
11．(1)
(2)或
(3)或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可；
（2）直线的表达式为，代入A、C求出表达式，过点M作轴，交于点N，设，则，结合，再根据即可求出答案；
（3）求解对称轴为直线，顶点坐标为，如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于；，设，，证明，可得，，再建立方程求解即可；如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于，同理可得：，可得，，如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为，此时，，证明四边形是正方形，从而可得答案．
【详解】（1）解：，，
，
将A、B、C代入，得
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的表达式为，
代入A、C得，
解得，
，
过点M作轴，交于点N，
设，则，
，
，
即，
解得或，
或；
（3）解：∵抛物线为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于；
∴，
设，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，（舍去），
∴，，
同理可得：，，
∴，
∴；
如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于，
同理可得：，
∴，，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴；
如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为，
此时，，
∴，且，
此时四边形是正方形，
∴，
综上：或或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．
12．(1)
(2)或或
(3)或
【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设点P的坐标为，分两种情况讨论：为平行四边形的一条边，为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线中，列出方程求解即可；
（3）当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作于点H，则有，证明可得，设点P坐标为，点R坐标为，由相似比得到，进而得，过点Q作轴于点K，设点Q坐标为，由得到关于m的方程求得m，进而完成解答．
【详解】（1）解：将代得，
∴点A的坐标为，
将，代入，得∶
，解得∶ ，
∴抛物线：．
（2）解：如图，设点P的坐标为，
第一种情况：为平行四边形的一条边，
①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为，
将代入，得：
，解得或，
因为时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，
此时点P的坐标为；
②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为，
将代入得∶
，解得∶或，
∴此时点P的坐标为或；
第二种情况：当为平行四边形的一条对角线时，
∵，
∴的中点坐标为，得的中点坐标为，
故点Q的坐标为，
将代入得∶
，解得，或，
因为时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，
此时点P的坐标为．
综上所述，点P的坐标为或或．
（3）解：当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分，
当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方，
过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，
过点P作于点H，则有，
由平分，得，则，
∴，
∴，
设点P坐标为，点R坐标为，
所以有整理得：，
在中，，
过点Q作轴于点K，
设点Q坐标为，
若，则需，
所以，
所以解得∶，
所以点Q坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的性质与判定、角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用所学知识成为解题的关键．
13．(1)点在轴上，理由见解析；
(2)；
(3)当点的坐标为时，点的坐标为或，当点的坐标为时，点的坐标为或．
【分析】（）连接，四边形是矩形，，，通过，求出，则，即与旋转角相同来得出在轴上的结论；
（）过点作轴于，由旋转的性质可得，，，，分别求出，，，然后代入解析式即可求解；
（）由矩形的面积为，则以点，，，为顶点的平行四边形的面积为，根据题意，设点的坐标为，则点的坐标为，由于点在抛物线上，则，然后解出方程即可求解．
【详解】（1）解：点在轴上，理由如下：
连接，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
∴点在轴上；
（2）解：过点作轴于，
由旋转的性质可得，，，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴将，，，代入得，
，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（3）解：∵矩形的面积为，
∴以点，，，为顶点的平行四边形的面积为，
∵，
∴边上的高为，
根据题意，设点的坐标为，则点的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，，
当点的坐标为时，点的坐标为或，
当点的坐标为时，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解一元二次方程，解直角三角形等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键．
14．(1)
(2)12，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
（1）一般式化为顶点式，根据最值求出的值即可；
（2）求出两点坐标，进而求出直线的解析式，根据平行四边形的性质，得到，进而设出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，求出两点的横坐标之间的关系，进而设出两点坐标，得到两点的坐标，将平行四边形周长转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：∵，且y的最大值为，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴设直线的解析式为：，
令，整理，得：，
∴，
设，则：，，
∴，
∵分别过点Q，P作y轴的平行线，分别交直线于点N，M，
∴，
∴，，
∴四边形的周长
，
∴当时，四边形的周长最大为12，
当时，，
此时，
∴．
15．(1)二次函数的解析式；
(2)面积的最大值为；
(3)点的坐标为或．
【分析】（）利用待定系数法求函数解析式即可；
（）过点作轴，交于点，设，求出直线解析式为，则，然后求出，再通过面积为，最后二次函数的性质即可求解；
（）分以，，，为顶点的四边形是正方形，当时和以，，，为顶点的四边形是正方形，当时两种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
设，
∴点的横坐标为，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上，
∴，
∴面积为
，
∴当时，面积有最大值为；
（3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴点，
∵点在直线：上，
∴，
解得：（舍去），，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
同上理得：，，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
综上可知：点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
16．(1)；；
(2)；
(3)M点的坐标为或或．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，轴对称、平行四边形的判定与性质．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，，此时有最大值，直线与对称轴的交点即为点；
（3）利用中点坐标公式结合平行四边形的性质，分三种情况，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴设抛物线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，连接，

由对称性得，
∴，三点共线时，有最大值，
∵，抛物线的对称轴为直线，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴，
当时，，
∴；
（3）解：∵点，，，

∴，
当为对角线时，点的坐标为；
当为对角线时，点的坐标为；
当为对角线时，点的坐标为；
综上，M点的坐标为或或．
17．(1)
(2)存在，
(3)点的坐标为，四边形的面积的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点坐标为，则有，连接，并设交于，则有于，确定在的垂直平分线上，从而知道的纵坐标，然后将纵坐标代入二次函数中，即可求得横坐标；
（3）先求得直线的解析式，然后过点作轴的平行线与交于点，与交于点，又设，则点的坐标为，那么有，推出，从而知道当时，四边形的面积最大．
【详解】（1）解：将、两点的坐标代入得
解得：
所以二次函数的表达式为：；
（2）解：存在点，使四边形为菱形
设点坐标为
假设四边形是菱形，则有
连接，并设交于，则有于
点的纵坐标为
解得，（不合题意，舍去）
的长为
（3）解：设直线的解析式为，
将和两点代入，得
解得
直线的解析式为
过点作轴的平行线与交于点，与交于点
又设，则点的坐标为
当时，四边形的面积最大
此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，以及图形对称变换，菱形的判定，点的坐标的确定，一元二次方程的求解，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
18．(1)，，
(2)，
(3)存在，满足条件的点P的坐标为或或或或
【分析】（1）令或，解方程可得结论；
（2）设平移后的抛物线的解析式为，如图1中，过点作于，连接，．构建方程组解决问题即可；
（3）观察图象可知，当点的纵坐标为3或时，存在满足条件的平行四边形．分别令和等于3或，解方程即可解决问题．
【详解】（1）解：对于，令，
得到，解得或1，
，，
令，得到，
；
（2）解：设平移后的抛物线的解析式为，
如图1中，过点作于，连接．
是抛物线的顶点，
，，
，，
，
，
，
又，经过，
，
解得或1（不合题意舍弃），，
，；
（3）解：如图2中，
观察图象可知，当点的纵坐标为3或时，存在满足条件的平行四边形．
对于，令，，
解得或，可得，
令，则，
解得，可得，，，，
对于，令，方程无解，
令，则，
解得或4，可得，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的平移，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
19．(1)
(2)；
(3)存在，点的横坐标为，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法，将点，的坐标代入解析式中求解即可．
（2）设出点的坐标，易得，，当取最大值时，取得最大值，利用利用二次函数的性质即可求出点P的坐标；设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接，易证四边形是平行四边形，推出，求出，根据为定值，当三点共线时，有最小值，得到有最小值，即有最小值，利用两点间距离公式求解即可；
（3）在轴负半轴上取点，使得，连接，证明，进而证明，得到，设出点坐标，进而建立方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得．
该抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线与轴交于点，且当时，，
，
，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为，
设点，则，，
，
轴，
，
，
当取最大值时，取得最大值，
即，
，
∴当时，取得最大值，
则
点的坐标为；
设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵为定值，
当三点共线时，有最小值，
∴有最小值，即有最小值，
∵，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为，
（3）解：存在，点的横坐标为，使得，理由如下：
在轴负半轴上取点，使得，连接，如图．
设点的坐标为，则，．
在中，
，
，
解得，
，
．
，
，
，
，
．
又∵，
∴，
∴，即，
设，
∴，
解得或（舍去）．
存在点，当点的横坐标为时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，一次函数与几何综合，等边对等角，三角形外角的性质等等，通过作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)直角三角形，见解析
(4)或
【分析】本题综合考查二次函数的性质．难点在于分类探讨折叠后的图形，以此判断出点E所在的位置．
（1）二次函数和一次函数联立，求得合适的解即为点B的坐标；
（2）取二次函数的，求得点D的坐标，点D关于直线对称的点，连接交线段于E，此时最小，再由勾股定理求出最小值即可；
（3）根据点A、点B的坐标，进而根据两点间的距离公式分别求得，，，得到较小的两边的平方和等于较大边的平方，那么为直角三角形；
（4）分类探讨画出相关图形，易得折叠后连接后点、B、C、E组成的四边形是平行四边形，进而根据，以及折叠得到的边长相等可得的长度．
【详解】（1）解：∵将代入抛物线得，
，
∴联立，
解得或，
；
（2）解：当代入抛物线得，
解得或，
，
∴点D关于直线对称的点，
连接交线段于E，此时最小，
过A作轴，交y轴于F，则，
，
∴最小值为；
（3）解：是直角三角形，理由如下：
，
，
，
是直角三角形；
（4）解：分以下两种情况：
①当在上方时，设与交于点M，
∵C是的中点，
，
，
∴M是的中点，
由折叠可知，，
，
，
∴M是的中点，
∴四边形是平行四边形，
，
②当在下方时，设与交于点M，
同理可得四边形是平行四边形，
；
∴在直角中，，
又，
所以，
综上所述：的长为或．