湖北省部分高中协作体2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷(含详解)

湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期期中联考
高一数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角α的终边在直线y=-x上,则角α的取值集合为( )
A.
B.
C.
D.
2.函数f(x)=sin在区间上的最小值为( )
A.-1 B.-
C. D.0
3.函数y=sin在区间上的简图是( )
4.正六边形ABCDEF中,用和表示,则=( )
A.- B.-
C.- D.-
5.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,那么|4a-b|=( )
A.2 B.6
C.2 D.12
6.在△ABC中,||=3,||=2,,则直线AD通过△ABC的( )
A.重心 B.外心
C.垂心 D.内心
7.若复数是纯虚数,则实数a=( )
A.- B.
C.- D.
8.若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.(多选题)已知函数f(x)=3sin x-4cos x,若f(α),f(β)分别为f(x)的极大值与极小值,则( )
A.tan α=-tan β B.tan α=tan β
C.sin α=-sin β D.cos α=-cos β
10.(多选题)已知点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的有( )
A.若=0,则点O为△ABC的重心
B.若=0,则点O为△ABC的垂心
C.若()·=()·=0,则点O为△ABC的外心
D.若,则点O为△ABC的内心
11.(多选题)已知两个复数z1,z2满足z1z2=i,且z1=1-i,则下面说法正确的是( )
A.z2= B.|z1|=
C.|z1+z2|≥2 D.=-i
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的平均气温为 ℃。
13.已知点P,Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点,=a,=b,且a,b是不共线的向量,则向量 。
14.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量对应的复数为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x。
(1)求f的值;
(2)若f,α∈,求cos α的值。
16.（本小题满分15分）
已知函数f(x)=4sin ωxsin-1(ω>0)的最小正周期为π。
(1)求ω及f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)图象的对称中心。
17.（本小题满分15分）
经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设,(m>0,n>0)。
(1)证明:为定值;
(2)求m+n的最小值。
18.（本小题满分16分）
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·()=18,求c。
19.（本小题满分16分）
在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos Csin(A-B)=cos Bsin(C-A)。
(1)求tan A的最小值;
(2)若tan A=2,a=4,求c。
高一数学试题答案
一、选择题：
1.D 解析　如图可知,角α的取值集合为。故选D。
2.B 解析　由已知x∈,得2x-,所以sin,故函数f(x)=sin上的最小值为-。故选B。
3.A 解析　令x=0,得y=sin,排除B,D项,当x∈时,-,在此区间上函数不会出现最高点,排除C项。故选A。
4.B 解析　设边长为2,如图,设AD,EC交于点O,则OD=1,AO=3,得()+()=-。故选B。
5.C 解析　|4a-b|2=16a2+b2-8a·b=16×1+4-8×1×2×cos=12。所以|4a-b|=2。故选C。
6.D 解析　因为||=3,||=2,所以,,则||。因为,所以AD平分∠EAF,所以AD平分∠BAC,所以直线AD通过△ABC的内心。故选D。
7.A 解析　i,因为是纯虚数,所以得a=-。故选A。
8.C 解析　因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1。故选C。
二、选择题：
9.BCD 解析　对于A,B,由题意,得f'(x)=3cos x+4sin x,因为f(α),f(β)分别为f(x)的极大值与极小值,所以f'(α)=f'(β)=0,即3cos α+4sin α=0,3cos β+4sin β=0,所以tan α=tan β=-,故A不正确,B正确;对于C,f(x)=3sin x-4cos x=5sin(x-φ),其中sin φ=,cos φ=,因为tan α=tan β,且α,β分别为f(x)的极大值点与极小值点,所以由正弦函数的图象知β=α+π+2kπ(k∈Z),所以sin β=sin(α+π+2kπ)(k∈Z),cos β=cos(α+π+2kπ)(k∈Z),即sin β=-sin α,cos β=-cos α,故C,D正确。综上所述,选BCD。
10.AC 解析　选项A,设D为BC的中点,由于=-()=-2,所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D),同理可证O为AB,AC边上中线的三等分点,所以O为△ABC的重心,选项A正确;选项B,向量,分别表示在边AC和AB上的单位向量,设为,和,则它们的差是向量,则当·=0,即时,点O在∠BAC的平分线上,同理由·=0,知点O在∠ABC的平分线上,故O为△ABC的内心,选项B错误;选项C,由()·=0,得()·()=0,即,故||,同理有||,于是O为△ABC的外心,选项C正确;选项D,由··,得··=0,所以·()=0,即·=0,所以,同理可证,,所以OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的垂心,选项D错误。故选AC。
11.ABD 解析　因为z1z2=i,z1=1-i,所以z2=,故A正确;|z1|=,|z2|=,所以|z1|=,故B正确;因为|z1+z2|=<2,故C错误;=(1+i)×=-i,故D正确。故选ABD。
三、填空题：
12. 20.5 解析　因为当x=6时,y=a+A=28;当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,所以y=f(x)=23+5cos,所以当x=10时,f(10)=23+5cos=20.5。
13.a-b
解析　如图,取AB的中点E,连接PE,QE,由题意,得a,b,则a-b。
14. -2+i 解析　因为点A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量对应的复数为-2+i。
四、解答题：
15.解　(1)因为f(x)=2cos2x+2,所以f=1+1=2。
(2)由f,α∈,得α+,sin,cos,所以cos α=cos。
16.解　(1)f(x)=4sin ωx-1=2sin2ωx+2sin ωxcos ωx-1=1-cos 2ωx+sin 2ωx-1=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin。因为最小正周期为π,所以=π,所以ω=1,所以f(x)=2sin,令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)。
(2)令2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z。
17.解　(1)证明:设=a,=b。由题意知
()=(a+b),=nb-ma,a+b,由P,G,Q三点共线,得存在实数λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,从而消去λ,得=3。
(2)由(1),知=3,于是m+n=(m+n)=(2+2)=。当且仅当m=n=时,m+n取得最小值,最小值为。
18.解　(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。因为·()=18,所以·=18,即abcos C=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。
19.解　(1)由已知得cos C(sin Acos B-cos Asin B)=cos B(sin Ccos A-cos Csin A),又sin(B+C)=sin A,所以整理得2cos Csin Acos B=cos Asin A,因为sin A>0,所以2cos Ccos B=cos A。又cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,所以sin Bsin C=3cos Ccos B,即tan Btan C=3。tan A=-tan(B+C)=,当且仅当tan B=tan C=时等号成立,故tan A的最小值为。
(2)因为tan A=2,所以tan B+tan C=4,又tan Btan C=3,所以tan C=1或tan C=3,当tan C=1时,sin C=,由正弦定理,得c=;当tan C=3时,sin C=,由正弦定理,得c=。综上,c=5或3。