四川省仁寿县铧强中学2024-2025学年高一下学期第一次教学质量检测数学试卷（含解析）

铧强中学2024-2025学年高一下学期3月教学质量检测数学试题
一、单选题
1．已知点是角终边上的一点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知某扇形的弧长为5，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中既是上的奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的周期为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点对称
C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
11．在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：为角的正矢，记作；为角的余矢，记作.则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．若，则
C．若函数，则的最大值为
D．
三、填空题
12．已知菱形的边长为2，则向量 .

13． .
14．已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．（1）化简：；
（2）已知，求.
16．（1）已知，求的值；
（2）若，求的值.
17．已知函数．
(1)化简的表达式；
(2)求函数的最小正周期和单调递增区间．
(3)若，求函数的值域.
18．已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
(1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值.
(3)利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
19．如图所示，立德中学植物园为矩形区域，其中为植物园入口.已知有三条路、、，路上点处为植物园的物品管理站，其中，路上有一个地标建筑L，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设.
(1)当，时，求张角的正切值；
(2)当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此时的总费用.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C A A C B A ABD ACD
题号 11
答案 BD
1．A
利用三角函数的定义即可求解.
【详解】根据三角函数的定义，可得.
故选：A.
2．D
利用扇形的弧长公式和面积公式即可求解.
【详解】因为扇形的弧长为5，圆心角为，
由弧长公式可知：，所以该扇形的半径，
由扇形面积公式可知：，所以该扇形面积为．
故选：D.
3．C
根据初等函数的性质判断即可.
【详解】对于A，因为是偶函数，不是奇函数，故A错误；
对于B，因为是偶函数，不是奇函数，故B错误；
对于C，因为是奇函数，在上单调递增，故C正确；
对于D，因为是上奇函数，不是上的奇函数，故D错误.
故选：C
4．A
根据正切周期公式计算求解即可.
【详解】函数的周期为.
故选：A.
5．A
根据平面向量的线性运算可得结果.
【详解】∵ ，
∴.
故选：A.
6．C
结合诱导公式，直接求解三角函数图像平移即可.
【详解】因为，
即图像上所有的点向右平移个单位，
又，
即上述图像再次向右平移个单位，
综上，为了得到的图象，
只要把上所有的点向右平行移动个单位长度.
故选：C
7．B
先应用同角三角函数关系求出则，再根据两角和差余弦公式计算求解.
【详解】因为，
所以，
则，
所以.
故选：B.
8．A
根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可.
【详解】依题意，设关于的函数解析式为，
由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得，
由转一周大约需要，得，解得，又当时，，
即，而，解得，
因此，或，A正确，BCD错误.
故选：A
9．ABD
对于A，特殊角三角函数值代入即可；对于B，利用余弦的二倍角公式化简计算即可；对于C，利用两角差的正弦公式化简求值即可；对于D，利用正切的倍角公式化简即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD
10．ACD
首先根据题意得到，
对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确.
【详解】由图可知：的最小正周期，
当时，，所以；
对于A，，正确；
对于B，，错误；
对于C，将向右平移，得到，正确；
对于D，的大致图像如下：
欲使得在内方程有2个不相等的实数根，
则，正确；
故选：ACD.
11．BD
对于A求单调减区间即可判断，对于B，代入即可判断，对于C即可求出的最大值，对于D即可判断.
【详解】由已知有，，
对于A：，
令，
当时，，所以函数在为减函数，故在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于B：，则，故B正确；
对于C：，
则的最大值为4，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：BD.
12．2
应用向量加减法的几何意义化简得，即可得答案.
【详解】由图知.
故答案为：2
13．
根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、两角和的余弦公式计算可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
14．
问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数的图象及相关性质列不等式求参数范围.
【详解】由，则，
由题意在上单调递增，且，
所以，则，故，
综上，，则，故.
故答案为：
15．（1）（2）
（1）利用诱导公式及商数关系化简即可求解；
（2）找到角与角的关系，利用诱导公式即可求解.
【详解】（1）.
（2）.
16．（1），（2）
（1）根据余弦的和差角公式的展开式，联立可得即可根据弦切互化求解，
（2）根据平方和公式，结合余弦和角公式即可求解.
【详解】（1）由可得故
故，
（2）由可得，故，
即，解得
17．(1)
(2)最小正周期为，单调递增区间为，
(3)
【详解】（1）因为，又，
所以．
（2）函数的最小正周期为，
令，,
则，,
所以函数的单调递增区间为，
（3）已知，则，.
当时，取得最小值；
当时，取得最大值.
所以，则，即的值域为.
18．(1),图象如图所示
(2)
(3)
【详解】（1）设函数的最小正周期为，由题意，，
且，解得，则，即有，
将点代入，化简可得，则，
即，因，故得，即.
取函数在一个周期上的五点列表如下：
0 2 0 0
在直角坐标系中作图如下：
（2）依题意，是偶函数，
故，解得，即，
因，则得，则时，取得最小值为 .
（3）由（2）分析可得，因，则，
结合余弦函数的图象性质可得，故得，
因对任意的，恒有成立，故得，
解得或，即的取值范围为.
19．(1)
(2)时，总费用最少为
【详解】（1）由题知，，，即，故，
所以.
（2）由题知，，则，且，
所以修建费用，且，即，
而，
由，则，故，
所以在上单调递增，
所以，故，即，
此时，总费用最少为.