河北衡水市武强中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷(含详解)

河北省衡水市武强中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知函数是的导数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有12个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第7排有（ ）个座位.
A．20 B．22 C．24 D．26
3．有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是（ ）
A．12 B．64 C．81 D．256
4．若在数列中，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．已知数列满足且，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
6．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数
A． B． C． D．
7．三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共有7项 B．每一项中的指数都是偶数
C．各项系数的和为64 D．常数项为540
10．已知函数的导函数的图像如图，则下列叙述正确的是（ ）
A．函数只有一个极值点
B．函数满足，且在处取得极小值
C．函数在处取得极大值
D．函数在内单调递减
11．某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则（ ）
A．若不选择生物、政治，选法总数为8种
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为12种
三、填空题
12．若函数，则 ．
13．在各项均为正数的等比数列中，，，则 ．
14．某校学生会打算将甲 乙 丙 丁 戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是 .
四、解答题
15．已知数列中，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
16．已知函数的图象过点，且在和上为增函数，在上为减函数．
(1)求的解析式；
(2)求在R上的极值．
17．已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，.
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18．已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
19．数列满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)若，证明：数列的前项和．
河北省衡水市武强中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D B D A C ABC AC
题号 11
答案 BCD
1．A
【详解】，所以.
故选：A
2．C
【详解】根据题意可设第排的座位个数为，
易知成等差数列，且；
所以可得.
故选：C
3．C
【详解】由题意可得每个信号灯有三种情况，各自独立，所以一共有种.
故选：C
4．D
【详解】因为，，
所以，，，，
所以是以为周期的周期数列，所以.
故选：D
5．B
【详解】,∴数列是以2为公差的等差数列，
，
，，，
故选：B.
6．D
【详解】由题=,解得a=4
故选D
7．A
【详解】，
因为三次函数在上是减函数，
所以恒成立，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：A
8．C
【详解】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为，
依题意成等差数列，故，得到：，
化简得，即：，
解得：或（舍去）
故选：C
9．ABC
【详解】对于A,根据，即可得展开式共有7项，故A正确，
对于B，的展开式的通项为，由于为偶数，因此每一项中的指数都是偶数，故B正确，
对于C,令，则系数和为，故C正确，
对于D，令，故，故常数项为，故D错误，
故选：ABC
10．AC
【详解】由导函数的图像可得，当x<2时，，函数单调递增；当x>2时，，函数单调递减.所以函数的单调递减区间为,只有当x=2时函数取得极大值，无极小值.
故选: AC.
11．BCD
【详解】对于A选项：已知不选择生物、政治，则从剩余的4门课程中选择三门作为选修科目，
可得选法总数为种，故A不正确；
对于B选项：采用间接法，六门课程中选三门，选法总数为种，
若物理和化学均不选，选法总数为种，
若物理和化学至少选一门，选法总数为种，故B正确；
对于C选项：采用间接法，若物理和历史同时选，选法总数为种，
若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对于D选项：在物理和历史不同时选的前提下，排除物理和化学均不选，
结合选项B、C可知：选法总数为种，故D正确；
故选：BCD．
12．
【详解】．
故答案为：
13．3
【详解】等比数列中，，由，
得，由，得，
所以．
故答案为：3．
14．240
【详解】先将甲 乙 丙 丁 戊这5名同学分为4组，共有种，
再安排到4个不同的社团负责组织活动，共有种不同的安排方法.
故答案为：240.
15．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）因为，，所以，即，
所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列.
（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，所以.
16．(1)；
(2)极大值，极小值.
【详解】（1）的图象过点，
，
，
，
由已知：是的两个根，则，
.
.
（2）由题设：是的极大值点， 是的极小值点，
极大值，极小值.
17．(1);
(2)
【详解】（1）设数列的公差为，数列的等比为，
因为，，，
所以，解得
，.
（2）因为，
所以，
则，
所以
.
18．(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
(2)
【详解】（1）当时，，
，
所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是
（2）由函数在上是减函数，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，则，
设，则，
由，知，
函数在上递增，在上递减，
∴，∴．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由可得，解得，则.
且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证.
（2）由（1），故
（3），
故
，即得证.