【浙教版】2024-2025学年第二学期七年级数学期中模拟试卷（2）（含解析）

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2024-2025学年第二学期七年级数学期中模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，将三角形ABC沿BC′方向平移4cm，得到三角形A′B′C′，如果B′C＝3cm，那么BC′＝（　　）
A．11cm B．3cm C．4cm D．7cm
2．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．x2+2y﹣1＝0 B．x﹣y＝2 C．2xy﹣x＝10 D．
3．如图中的∠1和∠2不是同位角的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．（3a2）3＝9a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a 3a＝6a2
5．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．将含有45°角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2度数（　　）
A．30° B．20° C．15° D．10°
7．已知等式（x+m）（x﹣n）＝x2+kx﹣36（m，n为正整数），则k的值不可能是（　　）
A．﹣9 B．﹣5 C．15 D．16
8．图是一个长为2a、宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图1﹣2那样拼成一个正方形，则中间空余的正方形的面积是（　　）
A．ab B．（a+b）2 C．a2﹣b2 D．（a﹣b）2
9．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　）
A． B． C． D．
10．将一副三角板如图放置，则下列结论中正确的是（　　）
①如果∠2＝30°，则有AC∥DE； ②∠BAE+∠CAD＝180°；
③如果BC∥AD，则有∠2＝45°； ④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如果将方程x+4y＝10变形为用含x的式子表示y，那么y＝　 　 ．
12．这三个数按照从大到小的顺序排列 　 　 ．
13．若a2+2（m﹣3）a+16是完全平方式，则m的值为 　 　 ．
14．如图所示，∠ABC＝36°，DE∥BC，DF⊥AB于点F，则∠D＝　 　 ．
15．若x2+y2+2x﹣4y+5＝0，则（x+y）2021的值为 　 　 ．
16．已知x、y满足+|x﹣2y+2|＝0，则x﹣4y的平方根是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．计算下列各题：
（1）（﹣2x2y）2 （﹣2xy）；
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）．
18．解方程组：．
19．如图，D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，连接DE，DF，点G是线段DF上的点，连接EG，已知∠1+∠2＝180°．
（1）判定AB与EG的位置关系，并说明理由；
（2）若DE∥BC，EG平分∠DEC，∠C＝70°，求∠B的度数．
20．根据如表素材，探索完成任务．
背景 萧红中学在组织开展体育文化节亚冬会知识竞赛活动时，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决：
（1）A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
（2）在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
（3）根据素材2，小明恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？
21．在计算（ax+1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+6x+4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2+12x+5．
（1）求a，b的值．
（2）计算（ax+1）（2x+b）的正确结果．
22．【阅读】代数式x2+6x+10＝（x2+6x+32）﹣32+10＝（x+3）2+1．
∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2+1≥1，
∴当（x+3）2＝0时，（x+3）2+1的值最小，最小值为1，
即x2+6x+10的最小值为1．
【应用】（1）代数式（x+1）2+3的最小值为 　 　 ；
（2）求代数式a2﹣12a+32的最小值．
【拓展】代数式﹣a2﹣2a+3的最大值为 　 　 ．
23．已知，直线AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E．
（1）如图1，若∠B＝68°，求∠AED的度数；
（2）如图2，点F在线段AE上，∠DFC＝∠FCD+∠FDE，求证：CF平分∠ACD；
（3）如图3，点F是线段AE上，∠ABF＝3∠FBE，CD⊥BD，DG∥EA交AC于点G．在射线AE上另取一点P，使∠PBF＝∠CDG，直接写出的所有值，并写出其中一个值的求解过程．
24．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：　 　 ；
方法2：　 　 ．
（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；
②已知（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝44，求（x﹣2023）2的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，将三角形ABC沿BC′方向平移4cm，得到三角形A′B′C′，如果B′C＝3cm，那么BC′＝（　　）
A．11cm B．3cm C．4cm D．7cm
【点拨】根据平移的性质得到BB′＝CC′＝4cm，则BC′＝BB′+CC′+B′C＝11cm．
【解析】解：∵将三角形ABC沿BC′方向平移4cm，得到三角形A′B′C′，
∴BB′＝CC′＝4cm，
又∵B′C＝3cm，
∴BC′＝BB′+CC′+B′C＝11cm，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
2．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．x2+2y﹣1＝0 B．x﹣y＝2 C．2xy﹣x＝10 D．
【点拨】根据二元一次方程的定义解答即可．
【解析】解：A、x2+2y﹣1＝0未知数的次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
B、x﹣y＝2是二元一次方程，符合题意；
C、2xy﹣x＝10未知数的次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有2个未知数，未知数的次数是1的整式方程是二元一次方程．
3．如图中的∠1和∠2不是同位角的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此求解即可．
【解析】解：根据同位角的定义可知，A、B、D三个选项中∠1和∠2是同位角，C选项中∠1和∠2不是同位角，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是同位角定义的熟练掌握．
4．下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．（3a2）3＝9a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a 3a＝6a2
【点拨】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解析】解：A、原式＝2a，不符合题意；
B、原式＝27a6，不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝6a2，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】把已知方程组中的两个方程相减得到x﹣y＝m+3，再根据关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，列出关于m的方程，解方程即可．
【解析】解：，
①﹣②得：x﹣y＝m+3，
∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝5，
∴m+3＝5，
解得：m＝2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．
6．将含有45°角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2度数（　　）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【点拨】依题意得：AB∥CD，∠EFH＝45°，再根据平行线的性质得∠EFG＝∠1＝30°，然后∠2＝∠EFH﹣∠EFG即可得出答案．
【解析】解：如图所示：
依题意得：AB∥CD，∠EFH＝45°，
∴∠1＝∠EFG，
又∵∠1＝30°，
∴∠EFG＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠EFH﹣∠EFG＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
7．已知等式（x+m）（x﹣n）＝x2+kx﹣36（m，n为正整数），则k的值不可能是（　　）
A．﹣9 B．﹣5 C．15 D．16
【点拨】先根据多项式乘多项式法则计算（x+m）（x﹣n），再根据（x+m）（x﹣n）＝x2+kx﹣36（m，n为正整数）得到mn＝36，k＝m﹣n，从而求出m，n和k，进行判断即可．
【解析】解：（x+m）（x﹣n）
＝x2﹣nx+mx﹣mn
＝x2+（m﹣n）x﹣mn，
∵（x+m）（x﹣n）＝x2+kx﹣36（m，n为正整数），
∴mn＝36，k＝m﹣n，
∴当m＝1，n＝36，k＝1﹣36＝﹣35；
m＝2，n＝18，k＝2﹣18＝﹣16；
m＝3，n＝12，k＝3﹣12＝﹣9；
m＝4，n＝9，k＝4﹣9＝﹣5；
m＝6，n＝6，k＝6﹣6＝0；
m＝9，n＝4，k＝9﹣4＝5；
m＝12，n＝3，k＝12﹣3＝9；
m＝18，n＝2，k＝18﹣2＝16；
m＝36，n＝1，k＝36﹣1＝35；
∴k的值为0或±5或±9或±16或±35，
∴k的值不可能是15，
∴A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
8．图是一个长为2a、宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图1﹣2那样拼成一个正方形，则中间空余的正方形的面积是（　　）
A．ab B．（a+b）2 C．a2﹣b2 D．（a﹣b）2
【点拨】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算．
【解析】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算是解题的关键．
9．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设客人为x人，银子为y两，根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系解即可．
【解析】解：根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键．
10．将一副三角板如图放置，则下列结论中正确的是（　　）
①如果∠2＝30°，则有AC∥DE； ②∠BAE+∠CAD＝180°；
③如果BC∥AD，则有∠2＝45°； ④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【点拨】根据平行线的性质与判定，余角的性质，等逐项分析并选择正确的选项即可．
【解析】解：①∵∠2＝30°，∴∠1＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正确；
②∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝∠2+∠1+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确；
③∵BC∥AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°，
又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝45°，
∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③正确；
④∵∠CAD＝150°，∠DAE＝90°，
∴∠1＝∠CAD﹣∠DAE＝150°﹣90°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，
∴∠4＝∠C，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质与判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如果将方程x+4y＝10变形为用含x的式子表示y，那么y＝　2.5﹣　 ．
【点拨】根据等式的性质，把二元一次方程变形为“y＝含x整式”的形式即可．
【解析】解：移项，得4y＝10﹣x，
∴y＝．
即y＝2.5﹣．
故答案为：y＝2.5﹣或y＝．
【点睛】本题考查了等式的性质．理解等式的性质是解决本题的关键．
12．这三个数按照从大到小的顺序排列 　　 ．
【点拨】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求出三个数的结果，然后比较大小即可．
【解析】解：，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，正确计算出三个数的结果是解题的关键．
13．若a2+2（m﹣3）a+16是完全平方式，则m的值为 　7或﹣1　 ．
【点拨】根据完全平方式的结构特征，列出关于m的方程，解方程即可．
【解析】解：∵a2+2（m﹣3）a+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）＝±8，
m﹣3＝±4，
解得：m＝7或﹣1，
∴m的值为7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，解题关键是熟练掌握完全平方式的结构特征．
14．如图所示，∠ABC＝36°，DE∥BC，DF⊥AB于点F，则∠D＝　54°　 ．
【点拨】由DE∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠DAF的度数，再利用垂线的定义可得出∠DAF+∠D＝90°，代入∠DAF的度数可求出∠D的度数．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴∠DAF＝∠ABC＝36°．
∵DF⊥AB，
∴∠DAF+∠D＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠DAF＝54°．
故答案为：54°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、垂线及角的计算，利用平行线的性质求出∠DAF的度数是解题的关键．
15．若x2+y2+2x﹣4y+5＝0，则（x+y）2021的值为 　1　 ．
【点拨】通过因式分解把已知方程化成两个非负数和等于0的形式，再根据非负数的性质求得x、y，进而代值计算所求代数式的值．
【解析】解：∵x2+y2+2x﹣4y+5＝0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2＝0，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣1，y＝2，
∴（x+y）2021＝（﹣1+2）2021＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了配方法，非负数的性质，求代数式的值，关键在运用配方法把方程转化为非负数和的形式．
16．已知x、y满足+|x﹣2y+2|＝0，则x﹣4y的平方根是 　±2　 ．
【点拨】由非负数的性质可得关于x，y的二元一次方程组，解方程组，再把相应的值代入所求的式子运算即可．
【解析】解：∵+|x﹣2y+2|＝0，
∴，
解得：，
∴x﹣4y的平方根是：＝．
故答案为：±2．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，非负数性质，解答的关键是由非负数的性质得到关于x，y的方程组．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．计算下列各题：
（1）（﹣2x2y）2 （﹣2xy）； （2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）．
【点拨】（1）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及平方差公式化简，进而合并同类项得出答案．
【解析】解：（1）（﹣2x2y）2 （﹣2xy）
＝4x4y2 （﹣2xy）
＝﹣8x5y3；
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）
＝4x2+8x+4﹣4x2+25
＝8x+29．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式化简是解题关键．
18．解方程组：．
【点拨】先将方程组化简得，再利用加减消元法即可求解．
【解析】解：将原方程组化简整理得：，
①+②×2得，3x+4x＝﹣1+16，
∴7x＝15，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．如图，D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，连接DE，DF，点G是线段DF上的点，连接EG，已知∠1+∠2＝180°．
（1）判定AB与EG的位置关系，并说明理由；
（2）若DE∥BC，EG平分∠DEC，∠C＝70°，求∠B的度数．
【点拨】（1）根据平角的定义和平行线的判定即可证得．
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解．
【解析】解：（1）平行．
理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠ADF＝180°，
∴∠2＝∠ADF，
∴AB∥EG．
（2）∵DE∥BC，∠C＝70°，
∴∠DEC＝110°，
∵EG平分∠DEC，
∴∠DEG＝55°，
∵AB∥EG
∴∠ADE＝∠DEG＝55°，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝55°．
答：∠B的度数为55°．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质与判定．
20．根据如表素材，探索完成任务．
背景 萧红中学在组织开展体育文化节亚冬会知识竞赛活动时，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决：
（1）A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
（2）在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
（3）根据素材2，小明恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？
【点拨】任务1：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了（3a﹣a﹣b）杯，即（2a﹣b）杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
【解析】解：任务1：A款奶茶和B款奶茶的销售单价分别为x元、y元，
由题意得：，
解得：，
答：A款奶茶和B款奶茶的销售单价分别为10元，12元；
任务2：设购买A种款式的奶茶与B种款式的奶茶分别为m杯、n杯，
由题意得：10m+12n＝220，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
任务3：设A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了（3a﹣a﹣b）杯，即（2a﹣b）杯，
由题意得：10a+12b+（12+2）（3a﹣a﹣b）＝380，
整理得：b＝19a﹣190，
∵a、b、3a﹣a﹣b均为正整数，
∴
∴2a﹣b＝2×11﹣19＝3，
答：B款加料的奶茶买了3杯．
【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意找出数量关系，列出二元一次方程（组）是解题的关键．
21．在计算（ax+1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+6x+4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2+12x+5．
（1）求a，b的值．
（2）计算（ax+1）（2x+b）的正确结果．
【点拨】运用多项式乘多项式的计算方法进行逐一求解．
【解析】解：（1）∵（ax+1）（2x+b）
＝2ax2+abx+2x+b，
∴2a＝2，b＝5，
解得a＝1，b＝5；
（2）由（1）题结果可得，
（ax+1）（2x+b）
＝（x+1）（2x+5）
＝2x2+5x+2x+5
＝2x2+7x+5．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
22．【阅读】代数式x2+6x+10＝（x2+6x+32）﹣32+10＝（x+3）2+1．
∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2+1≥1，
∴当（x+3）2＝0时，（x+3）2+1的值最小，最小值为1，
即x2+6x+10的最小值为1．
【应用】（1）代数式（x+1）2+3的最小值为 　3　 ；
（2）求代数式a2﹣12a+32的最小值．
【拓展】代数式﹣a2﹣2a+3的最大值为 　4　 ．
【点拨】【应用】【拓展】根据偶次方的非负性、完全平方公式解答即可．
【解析】解：【应用】（1）∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+3≥3，
∴当（x+1）2＝0时，（x+1）2+3的值最小，最小值为3，
故答案为：3；
（2）a2﹣12a+32＝a2﹣12a+36﹣4＝（a﹣6）2﹣4，
则a2﹣12a+32的最小值是﹣4；
【拓展】﹣a2﹣2a+3＝﹣a2﹣2a﹣1+4＝﹣（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴﹣（a+1）2≤0，
∴﹣（a+1）2+4≤4，
∴代数式﹣a2﹣2a+3的最大值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是配方法是应用，掌握完全平方公式、熟记偶次方具有非负性是解题的关键．
23．已知，直线AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E．
（1）如图1，若∠B＝68°，求∠AED的度数；
（2）如图2，点F在线段AE上，∠DFC＝∠FCD+∠FDE，求证：CF平分∠ACD；
（3）如图3，点F是线段AE上，∠ABF＝3∠FBE，CD⊥BD，DG∥EA交AC于点G．在射线AE上另取一点P，使∠PBF＝∠CDG，直接写出的所有值，并写出其中一个值的求解过程．
【点拨】（1）由AC∥BD得∠B+∠BAD＝180°，∠CAE+∠AED＝180°，则∠BAD＝180°﹣∠B＝112°，由AE平分∠BAD得∠BAE＝∠CAE＝56°．由此可得∠AED的度数；
（2）过点F作FM∥AC，证明AC∥FM∥BD，则∠CFM＝∠ACF，∠MFD＝∠FDE，进而得∠DFC＝∠ACF+∠FDE，再根据∠DFC＝∠FCD+∠FDE得∠ACF＝∠FCD据此可得出结论
（3）设∠FBE＝α，则∠ABF＝3α．则∠ABE＝4α．根据AC∥BD得∠BAC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣4α，则∠CAE＝90°﹣2α，∠AEB＝∠AEB＝90°﹣2α，再根据DG∥EA，CD⊥BD得∠GDB＝∠AEB＝90°﹣2α，∠CDG＝90°﹣∠GDB＝2α．则∠PBF＝∠CDG＝2α．①当点P在线段AF上时，则∠ABP＝∠ABF﹣∠PBF＝α，∠EBP＝∠FBE+∠PBF＝3α，由此可求出的值，②当点P在线段AF的延长线上时，则∠ABP＝∠ABF+∠PBF＝5α，∠EBP＝∠PBF﹣∠FBE＝α，由此可求出的值，综上所述即可得出答案．
【解析】（1）解：∵AC∥BD，
∴∠B+∠BAD＝180°，∠CAE+∠AED＝180°，
∵∠B＝68°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣68°＝112°．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAD＝×112°＝56°．
∴∠AED＝180°﹣∠CAE＝180°﹣56°＝124°；
（2）证明：过点F作FM∥AC，如图2所示：
∵AC∥BD，
∴AC∥FM∥BD，
∴∠CFM＝∠ACF，∠MFD＝∠FDE，
∴∠CFM+∠MFD＝∠ACF+∠FDE，
即∠DFC＝∠ACF+∠FDE，
∵∠DFC＝∠FCD+∠FDE，
∴∠ACF＝∠FCD
∴CF平分∠ACD；
（3）解：∵∠ABF＝3∠FBE，
设∠FBE＝α，则∠ABF＝3α．
∴∠ABE＝4α．
∵AC∥BD，
∴∠ABE+∠BAC＝180°，∠CAE＝∠AEB，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣4α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣2α，
∴∠AEB＝∠AEB＝90°﹣2α，
∵DG∥EA，
∴∠GDB＝∠AEB＝90°﹣2α
∵CD⊥BD，
∴∠CDB＝90°
∴∠CDG＝90°﹣∠GDB＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α．
∴∠PBF＝∠CDG＝2α．
①当点P在线段AF上时，如图3①所示：
∠ABP＝∠ABF﹣∠PBF＝3α﹣2α＝α，∠EBP＝∠FBE+∠PBF＝2α+α＝3α，
∴＝＝，
②当点P在线段AF的延长线上时，如图3②所示：
∠ABP＝∠ABF+∠PBF＝3α+2α＝5α，∠EBP＝∠PBF﹣∠FBE＝2α﹣α＝α，
∴＝＝5．
∴的值为或5．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，垂线定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，垂线定义是解决问题的关键．
24．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：　a2+b2　 ；
方法2：　（a+b）2﹣2ab　 ．
（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；
②已知（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝44，求（x﹣2023）2的值．
【点拨】（1）方法1：根据“阴影部分的面积＝边长a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积”即可得出答案；
方法2：根据“阴影部分的面积＝边长为（a+b）的正方形﹣2×边长为a，b的长方形”即可得出答案；
（2）由（1）计算的结果即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（2）①由（2）的结果得m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，则2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2），将m+n＝5，m2+n2＝20代入计算即可得出mn的值；根据m2+n2＝20，2mn＝5得m2+n2﹣2mn＝15，由此可得（m﹣n）2的值；
②设x﹣2022＝a，x﹣2024＝b，则a+b/2＝x﹣2023，a﹣b＝2，进而由（a﹣b）2＝4得2ab＝a2+b2﹣4，根据（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝44得a2+b2＝44，继而得2ab＝40，然后根据（x﹣2023）2＝＝即可得出答案．
【解析】解：（1）方法1：∵阴影部分的面积＝边长a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积，
∴阴影部分部分的面积为：a2+b2；
方法2：∵阴影部分的面积＝边长为（a+b）的正方形的面积﹣2×边长为a，b的长方形的面积，
∴阴影部分的面积为：（a+b）2﹣2ab；
故答案为：a2+b2；（a+b）2﹣2ab；
（2）由（1）可知：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）①由（2）可知：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn；
∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2），
∵m+n＝5，m2+n2＝20，
∴2mn＝52﹣20＝5，
∴mn＝2.5；
∵m2+n2＝20，2mn＝5，
∴m2+n2﹣2mn＝15，
∴（m﹣n）2＝15；
②设x﹣2022＝a，x﹣2024＝b，
∴＝x﹣2023，a﹣b＝2，
∴（a﹣b）2＝4，
∴2ab＝a2+b2﹣4，
∵（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝44，
∴a2+b2＝44，
∴2ab＝44﹣4＝40，
∵x﹣2023＝，
∴（x﹣2023）2＝＝＝＝21．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
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