2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（线段周长问题）（含解析）

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2025年九年级中考数学压轴题训练：二次函数综合（线段周长问题）
1．点 、、 的坐标为分别，抛物线经过这三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点，是抛物线上的两个动点，且点 在直线 下方．
①如图1，过 点作轴的垂线，垂足为，交直线 于点，连接，，，猜想与的数量关系，并说明理由；
②如图2，点 在直线 上，且横坐标为，过点 作轴于点 ，求线段 长度的最大值．
2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值．
(3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；
(3)如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
4．抛物线与轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且．
(1)直接写出抛物线解析式；
(2)如图1，点为第二象限抛物线上一点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，直线与抛物线交于两点，点坐标为，连接，分别与抛物线交于M，N两点，连接，求证：直线过定点．
5．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ．
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值；
(3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
(4)如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
7．已知抛物线表示的二次函数的最大值是5．
(1)抛物线的对称轴是______，a的值是______．
(2)当时，二次函数的最大值是m，最小值是n，若，求t的值；
(3)如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线，在x轴上存在点P，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，与抛物线和抛物线分别交于点M，N，当时，求出点P的坐标．
8．已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点．
(1)求抛物线表达式和点A、B的坐标；
(2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标：
(3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式．
9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最大值，及此时点的坐标；
(3)如图，将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标．
10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为
(1)请直接写出A、B、D三点坐标．
(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值；
(3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标．
11．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点P是x轴上方抛物线上一动点，轴于点M，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，当点P在第二象限时，连接交y轴于点D，若，求m的值；
(3)当点P不与抛物线的顶点重合时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点Q，作轴于点N，四边形的周长记为l．
①求l关于m的函数解析式；
②当l随m的增大而增大时，请写出m的取值范围．
12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若平面直角坐标系内一动点P满足，请求出的最小值．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标．
14．如图，抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
15．如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标；
(3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数表达式：
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
17．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接，
若，求点M的坐标；
(3)如图②，P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，交于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标．
18．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，当线段长度取得最大值时，求的最大值，及此时点的坐标；
(3)如图，将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标．
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《2025年九年级中考数学压轴题训练：二次函数综合（线段周长问题）》参考答案
1．(1)
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，面积问题以及线段最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①先求得直线的解析式为，进而表示出，根据点的坐标求得到的距离，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
②先求得直线的解析式，进而求得的长，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为代入得，
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）①，理由如下：
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
∵，轴，
∴，，
∴，，
∵，
∴点到的距离为，
∵，，，
∴到的距离为，
∴，，
∴；
②∵，，则，
设直线的解析式为
∴
解得：
∴
∵的横坐标为
∴
∵
∴当时的最大值为
2．(1)
(2)最小值为
(3)存在，点Q的横坐标为或．
【分析】（1）对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．由根与系数关系可得：，，得到，即可得到答案；
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．过点E作交y轴于点F．求出．得到．当时，点M坐标为，面积最大．得到的最小值为；
（3）点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限，分情况进行解答即可．
【详解】（1）解：对于，令．
∴．
∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．
由根与系数关系可得：，
∴．
∴抛物线的解析式为．
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．
过点E作交y轴于点F．
根据题意，为等腰直角三角形．
故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：．
∴点G坐标为．
∵，，
．
∴．
当时，点M坐标为，面积最大．
此时点H与点E重合，点M与点G重合，
当点M坐标为时，为和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上．
作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为．
∴．
∵，
∴四边形在平移时始终为平行四边形，．
∴．
对于，，．
∴．
∴的最小值为．
故面积最大时，的最小值为2．
（3）根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图，
根据平移性质可得．
由（2）知．
，则．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位，
∴直线的解析式为．
如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限：
①点是和新抛物线y′的交点，满足．
结合直线和新抛物线的解析式：．
解得或，
由于在第三象限，所以的横坐标为．
②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点．
这样根据轴对称的性质，．
设交于点R．
∵，
∴．，
∵，即，
把，，代入比例式解得：
．
在中， ．
∴点的坐标为．
设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得：
，解得．
∴直线的解析式为：y．
结合抛物线可得： ，解得或．
由于点在第四象限，所以的横坐标为：．
综合①②可得，点Q的横坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、函数的平移和对称等知识，分情况讨论是解题的关键．
3．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用的待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴交于点Q，先求出点C的坐标，再求出直线的解析式，设，则，求出，根据平行线的性质可得，利用正弦的定义可得，利用勾股定理求出，从而得到的代数式，利用二次函数的性质即可求出的最大值，进而确定点P的坐标；作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接，由对称的性质得到，即可得到的周长为，当点四点共线时，有最小值，最小值为的长，再由对称的性质求出两点的坐标，即可求解；
（3）先求出平移后的抛物线解析式为：，过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G，如图，分当点N在右侧和左侧两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：过点P作轴交于点Q，
将代入：，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵，则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最小值，
此时，，
∴；
作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接，
则，
∴由对称的性质得，
∴的周长为，
当点四点共线时，有最小值，最小值为的长，
设，
∴的中点坐标为，
由对称的性质可得的中点坐标在直线直线上，
则，即，
∴，
∴，
由对称的性质得，即，
∴，整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴周长的最小值为；
（3）解：∵，且，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
∵，
将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的解析式为：，
过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G，
如图，当点N在右侧时，
∵，轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
由平移的方式得，
设，
∴，
∴，，
∴，
即，整理得：，
解得：或（点重合，舍去），
∴，
∴；
如图，当点N在左侧时，作点A关于y轴的对称点D，过点D作于点H，连接，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴（三线合一），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
整理得：，
解得：或（点重合，舍去），
∴，
∴；
综上，符合条件的点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键．
4．(1)
(2)的最大值为，
(3)见解析
【分析】（1）对于函数，令，则，得到，根据，得到，，把点A，B的坐标代入抛物线，求出a，b的值，即可解答．
（2）过点D作轴交于点G，设（），待定系数法求得直线的解析式为，则，，
根据，得到，从而根据二次函数的性质即可解答；
（3）设，，，，得到直线，直线，直线，直线；根据直线过定点，得到①，根据直线过点，得到②，根据直线过点，得到③，由②得，由③得，代入①，得，即，因此直线，即当时，，得证直线过定点．
【详解】（1）解：对于函数，令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵抛物线过点，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点D作轴交于点G，
设，
设过点，的直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
，
∵轴，
∴，
∴，
∴在中，
，
∴当，有最大值，为，此时．
（3）解：设，，，
，
由，可得直线；
由，可得直线；
由，可得直线；
由，可得直线；
∵直线，
∴直线过定点，
把点代入直线，可得，即①，
∵直线过点，
∴，即②，
∵直线过点，
∴，即③，
由②得，
由③得，
代入①，得，
整理，得，
∴，
∴直线
，
∴当时，，
∴直线过定点．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形等，综合运用相关知识是解题的关键．
5．(1)
(2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为
(3)，
(4)点的坐标为或或或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式；
（2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答；
（3）作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标；
（4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为；
（3）解：作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，
此时的值最小，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
则直线的解析式为，
令，
解得：，
此时点；
（4）解：设，
∵，，
∴，，，
当斜边为时，，
即，整理得：，
解得：；
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
综上：点的坐标为或或或．
6．(1)
(2)的周长的最大值为
(3)存在，或或
(4)
【分析】（1）由一次函数与坐标轴交点坐标特点求出、两点坐标，代入二次函数解析式即可求解；
（2）设 ，则可用表示出点、点坐标，由两点间的坐标公式，可用表示出周长，再证明 ，则由周长比等于相似比，即可表示出周长，将得到的式子配成顶点式并利用二次函数性质即可求解；
（3）由（2）可知、点坐标，则可分成为边和为对角线去求解即可；
（4）在轴上截取 ，连接 ，可证得：，则可得当、 、共线时，有最小值，且最小值为 ，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则；
令，则，
，
抛物线经过、两点，
，
解得： ，
；
（2）设，则 ， ，
， ，
，
点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），
，
，
的周长为： ，
， ，
，
，
，
，
，
的周长为： ，，
时，的周长最大值为 ；
（3）存在点，或或；
由（2）可知： ，
此时可得： ，
，
抛物线的对称轴为： ，
则点的横坐标为，
，
，
设 ，
①当为平行四边形的边时，且点在点的左侧，
此时： ，
点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，
则点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，
点的横坐标为，
，
将其代入抛物线解析式得： ，
，
②当为平行四边形的边时，且点在点的右侧，
同理可知：将点先向右平移个单位，再向上平移个单位到，
此时 ，
代入抛物线解析式得： ，
，
③当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得：
，
，
代入抛物线解析式得： ，
综上所述：或或；
（4）在轴上截取 ，连接 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
当、 、共线时，有最小值，且最小值为 ，
在直角三角形中， ，
的最小值为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和三角形的综合问题，点到点的距离，相似三角形判定与性质，最值问题，平行四边形的存在性问题，熟练掌握基础知识并会综合应用，掌握分类讨论的数学思想方法，作辅助线构造相似三角形是解题关键．
7．(1)直线，
(2)
(3)或或
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，即可求解；
（2）由（1）可知当时，y随x的增大而增大，则，；，，进而求解；
（3）根据两点距离公式求出，，然后根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
解得：，
故答案为：直线，；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
∴当时，；当时，，
则，
解得：（正值已舍去）；
（3）解：，
则，
设点，则点，则点、，
则，，
∵，
∴
解得：或，
即点P的坐标为：或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到绝对值的运用、二次函数的图象和性质，有一定的综合性，难度适中．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、三角形相似等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）将点代入，求出的值，从而确定函数的解析式，再求、点坐标即可；
（2）求出，由题意得出直线的解析式，则可得出答案；
（3）证明，可以得到， 即，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，，解得，
∴抛物线解析式为 ，
令则 ，
解得：或 ，
∵点在点的左边，
；
（2）解：∵点为线段的三等分点，
，
∴直线的解析式为，
令，
，
，
，
；
（3）解：作点轴于点，
设直线BC的解析式为，把点、的坐标代入得，
，解得，
∴直线的表达式为：，
设平移后的抛物线表达式为：，
则点， 点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设直线交轴于点， 则点，联立和的表达式得：，
解得：，
即点的横坐标为，
∵，
则，
∴即
解得：
则平移后抛物线的表达式为：．
9．(1)
(2)的最大值为，点的坐标为
(3)点的坐标为或
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）先求得直线的解析式为，设，则，得出的关系式，进而得，作关于轴对称点，连接交轴于，，此时的值最大为，由轴对称的性质得，利用勾股定理即可求出，再利用待定系数法求出直线的解析式即可求出点的坐标；
（）根据平移得出新抛物线的解析式，设直线与轴交于点，证明，，根据相似三角形的性 质得出的坐标，进而求得直线的解析式为，最后联立函数解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∵点是抛物线上位于直线下方一动点，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值为，此时点，
如图，作关于轴对称点，连接交轴于，，此时的值最大为，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最大值为，
设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入，得，
∴，
∴当线段长度取得最大值时，的最大值为，此时点的坐标为；
（3）解：∵，
∴将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式为，
设直线与轴交于点，如图，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立函数解析式得，，
解得或，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，二次函数与一次函数的交点问题等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；
(2)
(3)或
【分析】由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点D的坐标；
设轴于点E，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论；
确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下：
在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
当时，得，
解得：或，
当时，得，
，，，
抛物线，
，
点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；
（2）解：设轴于点E，设，如图1，
设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
过点M作x轴的垂线，交直线于点N，
，
，
，
当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为；
（3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
①如图2，
，
∴，
设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点P的坐标为；
②如图3，设交于点G，作射线交于点F，
，
，
，，
，
垂直平分，
点F是的中点，
点F的坐标是，即，
设直线的解析式为，过点，
，
，
直线的解析式为，
直线：与直线：交于点G，
联立，
解得：，
，
设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得，得到，设，则，根据，建立方程求出n的值，再根据，由题意可知，，求出，利用建立方程求解即可；
（3）①求出抛物线的对称轴为，分当时，当时两种情况，求出，即可解答；②根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
解得，；
抛物线的函数解析式为．
（2）解：当时，
解得．
，
．
轴，轴，
．
．
．
，
．
．
设，则．
，
．
解得．
．
由题意可知，，
．
．
解得， ，（不合题意，舍去）
．
（3）解：①抛物线的对称轴为，
如图2，当时，，
．
如图3，当时，，
．
②如图4所示，由图象可知或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，二次函数的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
12．(1)
(2)存在，或或；
(3)
【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解；
（2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立方程组求解即可；
（3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：在中，当，则，
∴，
∵，
∴，
∴将代入，得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点，
∴,
在中，当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，，
∴，轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△为等腰直角三角形，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点的坐标为；
②当时，
∵，，，
∴，轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴当点M与点B重合时，满足是以为直角边的直角三角形，即此时点M的坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
，
当点三点共线时且点P在上时，的值最小，即最小，最小值为线段的长的2倍，
在中，当时，，
∴，
，，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键．
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可；
（3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分点Q在下方和上方两种情况讨论，计算即可求解．
【详解】（1）解：把，代入中得：，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴,
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当,即时，有最大值，此时，
∴，
∴，，
∴，，
如图所示，连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当共线时，取最小值，即取最小值，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且，
∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到，
∴新抛物线解析式为，
∵新抛物线经过点D，
∴，
解得或（舍去），
∴新抛物线解析式为，
联立，解得或，
∴；
同理可得直线解析式为；
过点作交抛物线于点，
∴，
同理求得直线的解析式为，
∵，
∴当点Q 在下方时，满足，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立；
综上所述，.
【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．
14．(1)
(2)点坐标为
(3)存在，点坐标为或
【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键．
（1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式．
（2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标．
（3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标．
【详解】（1）解：把点代入中，
∴，
解得，，
∴．
（2）解：作于，于，
当时，，
∴点坐标为，
设解析式为：，
，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
解得，
∴点坐标为．
（3）解：作过三点的圆，连接，作于，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴点坐标为，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，（不合题意舍去），，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为或．
15．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）先由一次函数求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作轴交直线于点F，求出，得到，设点P的坐标为，则，得到，求出抛物线的对称轴为直线，得到，则，解方程求出答案；
（3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况分别画出图形，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：当时，，解得，
当时，，
∴点，，
经过点，，

解得
抛物线的函数解析式为：
（2）过点P作轴交直线于点F，
∵
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点P的坐标为，则，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴
（3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，
如图，当点P在直线上方时，
∵轴，
∴，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴，
∴，
把代入得到，
则，
∴点P的纵坐标为1，
把代入得到，
解得（不合题意，舍去）
∴，
∴，
∴点Q的坐标为，
同理，如图，当点P在直线下方时，
∵，
∴点P的纵坐标为1，
把代入得到，
解得（不合题意，舍去），，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为，
综上可知，点Q的坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、轴对称的性质、待定系数法求函数解析式、一次函数和二次函数的交点问题、解直角三角形等知识，综合性强，分情况讨论是解题的关键．
16．(1)
(2)取得最大值，
(3)或或
【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可；
（2）设交于，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可．
【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：如图，设交于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设，则，，
∴，
∴当时，取得最大值，此时；
（3）解：由题意得：平移后抛物线解析式为，，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴设，，
分情况讨论：
①当为对角线时，
则，
解得：，此时，
∴；
②当为对角线时，
则，即，
此时，
∴；
③当为对角线时，
则，即，
此时，
∴，
综上所述，点的坐标为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程．
17．(1)抛物线的解析式为
(2)点M的坐标为
(3)线段的最大值为，点P的坐标为
【分析】（1）先求出两点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）如图，以为圆心，为半径作圆，当点过上时，则，
得到，求出抛物线的对称轴为，设，建立方程求解即可；
（3）先求出点C的坐标，证明是等腰直角三角形，延长交y轴于点F，过点作y轴的平行线交于点H，过点Q作于点G，解直角三角形求出，当求最大值时，则取得最大值，求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：将代入，则，
令，解得：，
∴，，
把、的坐标代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，以为圆心，为半径作圆，
∵两点关于抛物线对称轴对称，即抛物线对称轴垂直平分，
∴，
当点过上时，则，
∴，
∵抛物线的对称轴为，，，
设，
∴，
解得：，
∴点M的坐标为；
（3）解：令，则，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
延长交y轴于点F，过点作y轴的平行线交于点H，过点Q作于点G，
∵轴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当求最大值时，则取得最大值，
设直线的解析式为，
将代入，则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，，，
∴线段的最大值为，点P的坐标为．
【点睛】主要考查了用待定系数法二次函数的解析式和二次函数的图象性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
18．(1)
(2)的最大值为，此时点的坐标为
(3)点的坐标为或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得直线的解析式为．设，则，得出的关系式，进而得出当点，，三点在一条直线上时，取得最大值为，延长，交轴于点，得出为等腰直角三角形，进而得出点的坐标为；
（3）根据平移得出新抛物线的解析式，设直线与轴交于点，证明，，根据相似三角形的性质得出的坐标，进而求得直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
，
，
该抛物线的函数表达式为；
（2）设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
设，则，
点是抛物线上位于直线下方一动点，
，
，
当时，取得最大值为，此时点．
点是轴上的一个动点，
，
当点，，三点在一条直线上时，取得最大值为，
延长，交轴于点，如图，
则轴，
，，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
．
当线段长度取得最大值时，的最大值为，此时点的坐标为；
（3），
将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式为 ．
设直线与轴交于点，如图，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
，
，．
点的坐标为或