6.1.1 函数的平均变化率 课件（20页）2024-2025学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.1.1 函数的平均变化率
第六章 导数及其应用
1.理解函数平均变化率的概念.
2.理解函数平均变化率的几何意义.
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
登泰山过程中，会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈.当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢.从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？
假设一座山的剖面示意图如图所示，建立平面直角坐标系，A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示.
自变量x表示某爬山者的水平位置，函数值y=f(x)表示此时爬山者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).
(1)若爬山者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少?
(2)根据y的改变量的大小能否判断山路的陡峭程度?
(3)怎样用数量刻画弯曲山路AB的陡峭程度?
(1)自变量x的改变量为x2-x1，记作Δx，函数值的改变量为y2-y1，记作Δy.
(2)不能.山路的陡峭程度也与自变量x的改变量有关.
(3)对于山路AB，可用Δ????Δ????=????2?????1????2?????1近似地刻画其陡峭程度.
?
概念讲解
一、函数的平均变化率
一般地，若函数y=f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f(x1)，y2=f(x2)，则称 Δx=x2-x1
为自变量的改变量；称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))
为相应的因变量的改变量；称
为函数y=f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率.
(或 ）
思考：(1)Δx的取值一定是正值吗?
(2)公式中，若将Δx改为x1-x2，则Δf是否还是f(x2)-f(x1)?
(1)不一定.Δx可以为正，也可以为负.
(2)若Δx=x2-x1，则Δf=f(x2)-f(x1)；
若Δx=x1-x2，则Δf=f(x1)-f(x2).
二、平均变化率的几何意义：如图所示，????(????2)?????(????1)????2?????1表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势.
?
概念讲解
练习：如图，函数y=f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率最大的一个区间是 .
[x3，x4]
例1 已知函数f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.40　　 B.0.41　 C.0.43　 D.0.44
解析：因为x=2,Δx=0.1,所以Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2)
=(2.12+1)-(22+1)=0.41.
B
例2 求函数f(x)=3x2+2在下列区间上的平均变化率.
(1)[x0,x0+Δx]；
(2)以x0=2,Δx=0.3为端点的闭区间.
解：(1)函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
Δ????Δ????=????(????0+Δ????)?????(????0)????0+Δ?????????0= 3(????0+Δ????)2+2?(3????02+2)Δ????=6x0+3Δx.
(2)当x0=2,Δx=0.3时,函数y=3x2+2在区间[2,2.3]上的平均变化率为6×2+3×0.3=12.9.
?
(1)先计算函数值的改变量Δy=y2-y1；
(2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1；
(3)最后求平均变化率Δ????Δ????=????2?????1????2?????1.
?
求函数平均变化率的步骤
归纳总结
问题1：已知函数y=f(x)的图象经过A(1，1)，B(3，9)两点，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率是多少呢?你能估计出当x=2时y的值吗?
△????△????=9?13?1=4.
直线AB的方程为y-1=4(x-1)，即y=4x-3.
当x=2时，y=5，故估计y的值为5.
?
0≤t≤0.5时，????=?(0.5)??(0)0.5?0=4.05(m/s)；1≤t≤2时，????=?(2)??(1)2?1=-8.2(m/s)；
0≤t≤6549时，????=?6549??(0)6549?0=0(m/s)；
虽然运动员在0≤t≤6549这段时间里的平均速度是0 m/s，
但实际是该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
?
问题2：在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.5，
1≤t≤2，0≤t≤6549内的平均速度吗？
?
若物体运动的位移与时间的关系式为x=h(t)，则物体在[t1，t2](t1 [t2，t1](t2?
知识梳理
例3 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t，t∈0，π2.求s(t)在区间0，π4和π4，π2上的平均速度.
?
解：物体在区间0，π4上的平均速度为????1=????(????2)?????(????1)????2?????1=????π4?????(0)π4?0=22?0π4=22π.
物体在区间π4，π2上的平均速度为????2=????π2?????π4π2?π4=1?22π4=4?22π.
?
(1)先计算位移的改变量s(t2)-s(t1)，
(2)再计算时间的改变量t2-t1，
(3)得平均速度????=????(????2)?????(????1)????2?????1.
?
求物体运动的平均速度的主要步骤
归纳总结
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是函数的平均变化率？
2.求函数的平均变化率的步骤.
1.设函数y=f (x)=x2-1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A. 2.1 B. 1.1 C.2 D.0
2.函数f (x)=x2-x在区间[-2，t]上的平均变化率是2，则t=________.
A
5
3.已知函数????(????)=?????2+????的图象上的一点????(?1,?2)及临近一点????(?1+????????,?2+????????),则△????△????=( )
A .3? B.3?????????(????????)2????? C.3?(????????)2?????? D.3?????????
4.一物体的运动方程是s=3+2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( )
A.0.4 B.2
C.0.3 D.0.2
?
D
B