6.1.2 课时2 导数的几何意义 课件(共15张ppt)2024-2025学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.1.2 课时2
导数的几何意义
第六章 导数及其应用
1.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
在赛跑、赛车和滑冰运动中，我们常听到“弯道超越”这样的词语，教练通过回放录像分析运动员弯道时的运动方向，这需要求运动曲线在任意一点的切线，那么怎样求曲线的切线？
问题：从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？
设函数y=fx的图象如图所示，AB是过点Ax0,fx0 与点
Bx0+Δx,fx0+Δx 的一条割线，
此割线的斜率是ΔyΔx=fx0+Δx?fx0Δx.
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A 转动，它的极限位置为直线AD，
这条直线AD叫作此曲线在点A 处的切线.
于是当△x→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k ，
即k=f′x0=limΔx→0?fx0+Δx?fx0Δx .
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知识梳理
(1)切线的概念：如图，对于割线 PPn ，当点 Pn 无限接近于点 P 时，割线 PPn
无限接近于通过点 P 的一条直线，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线.
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(2)导数的几何意义：函数 fx 在 x=x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k ，即
k=limΔx→0?fx0+Δx?fx0Δx=f′x0 .
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例1 求曲线????=1????在点A(12,2)处的切线的斜率，并写出切线方程.
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解：∵△y=21+2??????2=?4?????1+2?????，∴??????????=?41+2?????，
∴切线的斜率k=lim?????→0?41+2?????=?4，
∴切线的方程为 ?????2=?4(?????12)，
即4????+?????4=0.
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归纳总结
求曲线在某点处的切线方程的步骤
例2 求过曲线y=f(x)=x3上的点(1，1)的切线方程.
错解:∵Δf=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=(Δx)3+3(Δx)2+3Δx，
∴??????????=(????????)3+3(????????)2+3?????????????=(Δx)2+3Δx+3，
∴f(1)=lim?????→0[(????????)2+3????????+3]=3，
∴所求切线方程为y-1=3(x-1)，
即3x-y-2=0.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
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求过曲线上某点的切线方程时该点不一定是切点，错解只考虑了该点是切点的情况，导致漏解.
例2 求过曲线y=f(x)=x3上的点(1，1)的切线方程.
求过曲线上某点的切线方程时，要注意该点不一定是切点.因此，在解题时要先设出切点，再求出切线斜率，根据切点与斜率写出切线方程，最后将该点的坐标代入.在解题过程中不必考虑该点是否为切点.
归纳总结
借助曲线的切线，我们还可以从几何上来理解瞬时变化率的实际意义，并可利用某一点的导数来估计这一点附近的函数值.
例3 已知f(x)=????33，利用f(3)=9，f'(3)=　　，Δx=0.02，可得f(3.02)的近似值为　　　.
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9
9.18
解析：f'(3)=limΔ????→0(3+Δ????)33?333Δ????=limΔ????→09+3Δ????+(Δ????)23=9，
f(3.02)≈f(3)+0.02f'(3)=9+0.02×9=9.18.
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根据今天所学，回答下列问题：
1.导数的几何意义是什么？
2.如何求函数在某点处的切线的方程？
1.设f'(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A.不存在 B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴斜交
2.曲线f(x)=9????在点(3，3)处的切线的倾斜角α等于( )
A.45° B.60°
C.135° D.120°
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B
C
3.(多选)下面说法不正确的是(　 　)
A.若f'(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f'(x0)必存在
C.若f'(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f'(x0)有可能存在
4.曲线y=-2x2 +1在点P(1，-1)处的切线方程为 .
ABD
4x+y-3=0