2025年中考数学压轴题专练：反比例函数与一次函数综合（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：反比例函数与一次函数综合
1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出满足的x取值范围．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结．
(1)求k、b的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
4．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
5．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．
(1)求的值及点的坐标．
(2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标．
9．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)当时，求的面积．
10．如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
11．直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)若，请直接写出满足条件的的取值范围；
(3)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上．
(1)求k与m的值；
(2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式．
13．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．

(1)求与的解析式；
(2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
(3)求的面积．
14．如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
16．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积．
17．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求的值；
(2)利用图像直接写出时的取值范围；
(3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
18．如图，直线与双曲线相交于点，．

(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
19．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．

(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
20．如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
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《2025年中考数学压轴题专练：反比例函数与一次函数综合》参考答案
1．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
2．(1)的值为，的值为1
(2)3
(3)经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合运用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
（1）利用反比例函数求出点和点，代入计算即可；
（2）利用、、三点的坐标和面积公式计算即可；
（3）求出点的坐标，然后写出解析式即可．
【详解】（1）解：把点、代入得，，
解得，，
，，
把，代入中得：
，
解得，
即的值为，的值为1；
（2）解：直线与轴交于点，
，
的面积为：；
（3）解：当时，，
，
则设经过点的一次函数解析式为，
随的增大而增大，
，
经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）．
3．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：
（1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
4．(1)，
(2)或
(3)点坐标为
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题．
【详解】（1）解：将代入得，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式的解集为：或．
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
5．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键．
（）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解；
（）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解；
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：把代入得，，
∴，
∵轴，
∴点的横坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴．
6．(1)，
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：设直线与轴交于点，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的面积．
7．(1)，
(2)
【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标；
（2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可；
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．
∴，
∴,
∴，
∴反比例函数为：；
∴，
解得：，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，,
∴，
∴，，
如图，当时，最短；
∴；
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键.
8．(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
（1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故，再由，进而计算可以得解；
（３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上，
∴．
∴反比例函数表达式为．
又在反比例函数上，
∴．
∴．
设一次函数表达式为，
∴，
∴，．
∴一次函数的表达式为．
（2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为，
∴，．
∴，，
∴；
（3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长．
∵与关于y轴对称，
∴为．
又，设的解析式为，
则，解得，
∴直线为．
令，则．
∴．
9．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式．
（2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4．
∴，
∴，
∴
过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，
∴，点E的纵坐标为，
∴，
把代入，得，
∴，
∴点，
∴，
∴
10．(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数的解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵轴，，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在中，当时，，即；
在中，当时，，即；
∴，
∵，
∴．
11．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键．
（1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答；
（2）根据函数图像确定不等式的解集即可；
（3）先把代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，，
点坐标为，点坐标为，
把A点坐标，点坐标分别代入,可得，解得：
，
一次函数表达式为．
（2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，
∴由图象可知，当时，或．
（3）解：把时代入中，得，
点坐标为，即，
．
12．(1)，
(2)
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，确定反比例函数及一次函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握两个函数的基本性质是解题关键．
（1）根据题意将点代入反比例函数即可求解；
（2）根据题意及反比例函数的性质得出，设直线所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：两点在反比例函数的图象上．
∴，
∴，
将点代入得：，解得：；
（2）∵连接，并延长交反比例函数的图象于点C，
∴，
∵，
设直线所在直线的解析式为，代入得：，
解得：，
∴．
13．(1)；
(2)或
(3)
【分析】本题考查反比例函数图象和性质，反比例函数与一次函数综合，求出一次函数与反比例函数图象交点坐标是关键；
（1）根据题意可得，即有，问题随之得解；
（2）表示反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，对应的自变量的取值范围，据此数形结合作答即可；
（3）若与y轴相交于点C，可得，则，根据，问题即可得解．
【详解】（1）由题知，
∴，
∴，，
∴，
把，代入得，
∴，
∴；
（2）由图象可知自变量x的取值范围为或
（3）若与y轴相交于点C，
当时，，
∴，即：，
∴．

14．(1)
(2)
【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点A在反比例函数图象上，
∴，解得，
将代入，
；
（2）解：如图，过点C作轴于点F，
，
，，
，
，
，，
∵直线向上平移m个单位长度得到，
令，得，令，得，
，，
，，
，
双曲线过点C，
，
解得或（舍去），
．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键．
15．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)点的坐标为
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为；
（3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
16．(1)
(2)6
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：点在正比例函数图象上，
，解得，
，
在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为．
（2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，
令，则，
∴记直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
，
由题意得：，
∴同底等高，
．
17．(1)
(2)或
(3)8
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可；
（2）图像法求不等式的解集即可；
（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可．
【详解】（1）点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
（2）由（1）知：，
联立，解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，
∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
∴．
又，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
18．(1)，
(2)
(3)或
【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积
数形结合求出x的范围即可.
【详解】（1）将代入双曲线，
∴,
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴,
∴,
将代入,
，
解得，
∴直线解析式为；
（2）∵直线向下平移至,

∴,
设直线的解析式为将点代入
∴解得
∴直线的解析式为
∴
过点作交于,
设直线与轴的交点为，与轴的交点为,
∴,
∵,
∴,
∵,
，
，
∵，
，
，
∴的面积
（3）由图可知或时,
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.
19．(1)；
(2)
【分析】（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得；
（2）根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可．
【详解】（1）解：∵，的面积是6，
∴，
∴，
∵图象在第二象限，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）∵点，，在的图象上，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵轴交x轴于点C，
∴，
∴，
设直线上在第一象限的点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
20．(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
（3）解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．