2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（相似三角形问题）（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（相似三角形问题）
1．已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标；
(3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标．
2．已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，图象的顶点为，对称轴是直线，图象经过点，向左平移一个单位后经过坐标原点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)试判断的形状，并说明理由．
(3)直线经过点，交轴于点，求的度数．
3．如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合．
(1)求该抛物线的关系式；
(2)如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标；
(3)如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由．
4．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标；
(3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标．
5．如图，直线与轴、轴分别交于点与点，抛物线经过点，在线段上有一动点，点不与点，重合，过点作轴的垂线分别交直线于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当点是的中点时，求的值；
(3)过点作，垂足为点，当点坐标为多少时，线段的长最大，最大值为多少？
6．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标．
7．如图，抛物线与轴交于A、两点，其中，，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线经过点A、，连接．
(1)求抛物线和直线的解析式：
(2)若抛物线上存在一点，使的面积是面积的2倍，求点的坐标；
(3)将直线绕点旋转，与抛物线交于点，请直接写出点的坐标．
8．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是，．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标；
(3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标．
9．已知抛物线与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点，且．
(1)分别求该抛物线和直线的函数表达式；
(2)如图1，若点P在直线下方的抛物线上，且，求点P的横坐标；
(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．
10．如图，直线过定点，抛物线与x轴交于两点，与轴负半轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，在抛物线上，过点的直线：交线段于点，交轴于点，交抛物线于点，若，求的值；
(3)如图，是线段上一个动点，点在线段上，且，若有且只有两个不同的点使和相似，求的值．
11．已知，抛物线经过点和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上，存在一点P，使的值最小．求点P的坐标；
(3)若点M在抛物线上，轴于N点，且与相似，直接写出点M的坐标．
12．如图，抛物线的对称轴，且经过两点，与x轴交于另一点B．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)抛物线上是否存在点M，过点M作垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点三点，其对称轴为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，且满足，求点的坐标．
14．已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为直线下方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)点为直线下方的抛物线上一个动点，连接交于点，求的最大值．
15．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是第二象限内抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)如图1，设对称轴交线段于点，点在对称轴上，且在点的下方，是否存在以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
(3)如图2，连接、，直线交线段于点，交轴于点，令，求的最大值．
16．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过线段上的一个点作轴的垂线，交线段于点，交抛物线于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)问点在什么位置时能成为等腰三角形？
(3)若连接，，则当___________时，与相似．（直接写出结果即可，不用写出解答过程）
17．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结．
①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标；
②若，求出的值．
18．如图，二次函数与轴交于，，与轴交于点，连接．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图，点为下方抛物线上一动点，过作交轴于点，过作交轴于点，求的最大值以及对应点的坐标；
(3)在问（2）的条件下，将二次函数沿射线平移使得平移后的抛物线恰好经过点点为平移后抛物线对称轴上一动点，且满足，请直接写出所有符合题意点的坐标．
19．已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合．
(1)求该抛物线的关系式；
(2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标；
(3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
20．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，连接．
(1)求二次函数解析式；
(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交于点D，求线段的最大值．
②如图2，过点P作，交直线于点Q，若，求点P的坐标．
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《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（相似三角形问题）》参考答案
1．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，作出图形，利用分类讨论的思想是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可即可解答；
（2）证明为等腰直角三角形，则最大时，的周长最大，设，则，可利用表示出，利用二次函数的性质求得最大值即可；
（3）分类讨论，分当点在轴正半轴或当点在轴负半轴，利用相似三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解方程即可．
【详解】（1）解：把，代入可得，
解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，则，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
，
为等腰直角三角形，
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故要使的周长最大，即最大，
设，则，
，其中，
故当时，最大，即的周长最大，
此时；
（3）解：设新抛物线的解析式为：，则，
抛物线的对称轴为直线，
，
如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点，
，，
,
，
，，
点必定在第一象限，
点必定在第三象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
如图，当点在轴负半轴上时，过点作轴于点，
，，
,
，
，，
点必定在第四象限，
点必定在第四象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
，
综上，点的坐标为或．
2．(1)
(2)是直角三角形，见解析
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理及其逆定理的应用，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）由、两点坐标、对称轴，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）利用勾股定理可求得，，的长，根据勾股定理的逆定理判断的形状；
（3）先求得点坐标，根据相似三角形的判定与性质可得，依此可求的度数．
【详解】（1）解：把，代入二次函数得，
，即，
联立解得，，，
这个二次函数的表达式为．
（2）解：由题意知：，，，
，，，
，
是直角三角形；
（3）解：当时，，
，
，，
，
，
．
3．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
（1）先求出点和的坐标，然后代入解析式计算解题即可；
（2）求出点和的坐标，即可求出和长，，然后分为或两种情况求出长，即可解题；
（3）设直线的解析式为，直线的解析式为，求出点P和Q的坐标，过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，得到，即可得到，然后求出直线的解析式，即可得到点M的坐标解题即可．
【详解】（1）解：当时，，令，则，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
把和代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点D的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，即，
∴，
当时，，即，
解得：，
过点F作轴于点G，则，
∴，
∴点F的坐标为；
当时，，即，
解得：，不符合题意舍去；
综上，点F的坐标为；
（3）解：∵点C的坐标为，
设直线的解析式为，
联立解得：
或，
∴点P的坐标为，
设直线的解析式为，
同理可得点Q的坐标为，
再过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
设直线的解析式为，
把点P和Q的坐标代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴与对称轴的交点M是定点，为．
4．(1)
(2)的最大值为，此时点P的坐标为
(3)点D的坐标为或
【分析】（1）由抛物线解析式可求得点C的坐标，从而由可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）过点Q作轴于点H，易得为等腰直角三角形，则，因而有；求出直线的解析式为，设点P的坐标为，求得，则得关于m的二次函数，利用二次函数的知识即可求解；
（3）设点D的坐标为，由题意得，，；分两种情况讨论：①当时，②当时；利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，
令，得，
∴点C的坐标为，
∴，
∵，
∴，
即点A的坐标为，
∵点，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式是；
（2）解：过点Q作轴于点H，如图1所示：
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，
∵轴，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴
，
∴当时，有最大值，且最大值为，
∴的最大值为，此时点P的坐标为：
（3）解：如图2，
设点D的坐标为，
∵，
∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形，
∴点D在点C的上方，
∴，
∴，
∵，，，
①当时，
∴，即，
解得：，
即点，
②当时，
∴，即，
解得：，
即点，
综上所述：符合条件的点D的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论，灵活运用这些知识是解题的关键．
5．(1)抛物线的函数表达式为；
(2)；
(3)，有最大值．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）先由求出，，然后代入求出的值即可；
（）先求出，，根据中点坐标可得，则有，然后求出的值即可；
（）先证明，则，再求出，，，再由勾股定理得出，再代入，得到，然后通过二次函数的性质即可求出最大值及点坐标．
【详解】（1）解：由得，当时，，当时，，
∴，，
∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，当时，，，
∴，，
∵点是的中点时，
∴，
∴，整理得：，
解得：，，
∵点不与点，重合，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴．
6．(1)
(2)点的坐标是或
【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数与相似三角形综合、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由待定系数法求二次函数表达式即可得到答案；
（2）先求出关于轴对称得到抛物线，由题意可知，从而由题中和相似，分两种情况分类讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线关于轴对称得到抛物线，
抛物线的函数表达式为，
，抛物线的对称轴为，
，，
，
，
若和相似，则分两种情况：①；②；
设，则，
当时，
，则，
，则，
解得或（与重合，舍去），
为抛物线上一点且在轴上方，
；
当时，
，则，
，则，
解得或（与重合，舍去），
为抛物线上一点且在轴上方，
；
综上所述，当和相似时，符合条件的点的坐标是或．
7．(1)，
(2)或
(3)或或或
【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与相似三角形的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式求得b、c得值即可确定抛物线的解析式，然后确定点C的坐标，最后运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）利用抛物线的对称性得出，进而可得，此时点P与点B重合；过点作交抛物线于点P，将直线的解析式与抛物线的解析式联立即可得出点P的坐标；
（3）根据已知条件易得，，；如图：当顺时针旋转时，，易证可得、，过F作轴于G，则，即点F的纵坐标为，进而确定点，然后运用待定系数法求的直线的解析式，并与抛物线的解析式联立即可解答；如图：当顺时针旋转时，，易得，再构造全等三角形求得，然后运用待定系数法求的直线的解析式并与抛物线的解析式联立即可解答；
【详解】（1）解：把点A、点B的坐标代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∴当时，，即点C的坐标为．
设直线的解析式为，
则，解得：，
所以直线的解析式为．
（2）解：如图1，连接，
∵点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
此时，点P与点B重合，即；
过点作交抛物线于点P，
设直线的解析式为，
将点代入可得：，即，
∴直线的解析式为，
由题意可得：，解得：或
∴，
∴即点P的坐标为或；
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，即点D的坐标为，
∴
∵，，，
∴，
∴，，，
如图：当顺时针旋转时，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
过F作轴于G，则，即点F的纵坐标为，
∴，解得：，
∴，
设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴设直线的解析式为，
联立，
解得：或
所以点E的坐标为或；
如图：当顺时针旋转时，，
∴，
∵，
∴，
∴,
在x轴截取，过M作轴交直线与K，
∵，
∴,，
∴，
∴,
∴,,
∴，
∴,
设直线的解析式为，
则有，解得：，
∴设直线的解析式为，
解：，
解得：或，
∴点E的坐标为：或．
综上，点E的坐标为或或或．
8．(1)直线；
(2)最大值为，此时点P的坐标为：；
(3)或．
【分析】（1）由抛物线解析式可求得点C的坐标，从而由可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式，从而求得抛物线的对称轴；
（2）过点Q作轴于点H，易得为等腰直角三角形，则，因而有；求出直线的解析式为，设点P的坐标为，求得，则得关于m的二次函数，利用二次函数的知识即可求解；
（3）设点D的坐标为，由题意得，，；分两种情况讨论：①当时，②当时；利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，
令，得，
∴点C的坐标为，
∴，
∵，
∴，
即点A的坐标为，
∵点，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式是，即；
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：过点Q作轴于点H，如图1所示：
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，
∵轴，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴
，
∴当时，有最大值，且最大值为，
∴的最大值为，此时点P的坐标为：
（3）解：如图2，
设点D的坐标为，
∵，
∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形，
∴点D在点C的上方，
∴，
∴，
∵，，，
①当时，
∴，即，
解得：，
即点，
②当时，
∴，即，
解得：，
即点，
综上所述：符合条件的点D的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论，灵活运用这些知识是解题的关键．
9．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为
(2)点P的横坐标为或
(3)的最大值是
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
（1）先根据一次函数确定，即，再结合可得，可确定，然后运用待定系数法求解即可；
（2）如图：过点P作轴交直线于点Q，易得、，即，进而得到、；设，则，
；再结合可得，最后解一元二次方程即可；
（3）如图：作轴交于N，过点N作轴交于E，设，则，再说明可得、，同理：可得，然后得到，最后根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：经过点C，
∴令得，
，
，
，
∴，在抛物线上，
∴，解得：，
，
在直线上，
∴，解得：，
，
∴抛物线的解析式为，直线的解析式为．
（2）解：如图：过点P作轴交直线于点Q，
，
令得或，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
或，
∴点P的横坐标为或．
（3）解：如图：作轴交于N，过点N作轴交于E，
设，
，
，
，
，
，
，，，
，，
同理：，
，
，
，
当时，的最大值是．
10．(1)抛物线解析式为
(2)
(3)
【分析】（1）由求出定点，再把代入计算即可；
（2）先求出， 代入得，得到，，再联立，得到，根据，得到，过作轴，过作轴交于，根据，得到，代入列方程计算即可；
（3）先求出，，得到，则，即可得到或，再根据有且只有两个不同的点使和相似，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴定点，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
把代入得，得到，
∴，
令，则，
令，则，
∴，，
联立，整理得，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
过作轴，过作轴交于，则，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，
∵过点的直线：交线段于点，
∴，
∴；
（3）解：令，解得，令，则，
∴，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴设直线解析式为，代入可得，
解得，
∴直线解析式为，
设，
过作于，则，，
∴，
∵是线段上一个动点，点在线段上，且，
∴，
∵和相似，
∴或，
当时，，
∴，
解得，
∴当时，成立，即此时存在一个点使；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∵有且只有两个不同的点使和相似，
∴方程有且唯一解，
∴，
解得．
11．(1)
(2)存在，
(3)或或
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数与几何图形的综合，掌握相似三角形的性质是关键．
（1）运用待定系数求解即可；
（2）根据题意得到抛物线的对称轴直线为，则点关于对称轴的对称点，运用待定系数法求值直线的解析式，将代入计算即可求解；
（3）根据相似三角形的性质数形结合，分类讨论．
【详解】（1）解：抛物线经过点和，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：存在，理由如下，
已知抛物线解析式为：，
∴对称轴直线为，
∴点关于对称轴的点的坐标为，如图所示，连接交对称轴与点，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴设，且点在直线上，
∴，
∴；
（3）解：已知抛物线解析式为：，
当时，，
∴，
∵，
∴，
点M在抛物线上，轴于N点，设点，则，
第一种情况，当点在轴上方时，即，
①点在位置时，，如图所示，
∴，
∴，，
∴，
整理得，，
解得，，
当时，点于点重合，不符合题意，
∴，则，
∴；
②当点在位置时，，
∴，
∴，，
∴，
整理得，，
∴，
解得，（舍去），，
∴，
∴；
第二种情况，当点在轴下方时，即或，
①点在位置时，即，，如图所示，
∴，
∴，，
∴，
整理得，，
解得，（均不符合题意，舍去）；
②点在位置时，即，，如图所示，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），，
∴，
∴；
综上所述，或或．
12．(1)
(2)的面积的最大值是4，此时
(3)
【分析】（1）利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为，然后将点C的坐标代入即可求得a的值即可；
（2）过点P作轴交于点Q，设，从而可得到线段，然后利用三角形的面积公式可求得，然后可求得的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）设，则，若以点A、M、N为顶点的三角形与相似，则或，分别求出t的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线对称，
∴点B的坐标为，
∵抛物线过，
∴可设抛物线解析式为，
又∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：设，
如图，过点P作轴交于点Q，

∵直线经过两点，
∴设的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
则，
则，
∴，
∴当时，的最大值是4，此时．
（3）解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵轴，
∴若以点A、M、N为顶点的三角形与相似，则或，
设，则，
①，
∴，
解得： ；
②，
∴，
解得：；
综上所述：存在使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似．

【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积综合、二次函数与几何综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
13．(1)
(2)①②
【分析】（1）根据点坐标可以求出，根据对称轴直线可以求出；
（2）①过作于，根据三角形内角和定理，可以得出，所以可以得出，设直线的表达式，从而得出和的坐标，再根据两点距离公式求解即可；
②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，可得，即，证明，设，得到直线的解析式，求出点D的坐标，即可得到点的坐标，将点E的坐标代入解方程，即可解答．
【详解】（1）解：令，，
，
抛物线的对称轴直线为：，
，
；
（2）解：令，则或，
，，
直线的表达式为：，
设直线的表达式为：，
，
联立直线和的表达式：
，
，
①过作于，如图：
，
又，
，
又，
，
为等腰三角形，
，
即，
解得：，（不符合题意的已舍）
；
②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即点D的横坐标为，
，
设的解析式为，将，，
代入得，
解得，
的解析式为，
，即，
，
四边形是矩形，
，
，即，
将代入，
得，
解得，（舍去），
．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．(1)
(2)面积最大时，点
(3)的最大值为
【分析】本题是二次函数的综合，涉及求解析式，二次函数与面积综合，二次函数与相似三角形综合运用．
（1）将、代入，计算即可求解析式；
（2）先求出的解析式，再设，则，求出，再根据计算即可；
（3）如图，过点作轴交直线于点，则，，
由（2）可得，轴，，得到，则，利用二次函数的性质求最大值即可．
【详解】（1）解：将、代入得，
解得：，
∴；
（2）解：过点作轴交交于点，
设直线的解析式为，代入、得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
则，
∵，
∴当时，面积有最大值，此时点；
（3）解：如图，过点作轴交直线于点，
∵直线的解析式为，当时，，
∴，
∴，
由（2）可得，轴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大，
∴的最大值为．
15．(1)
(2)存在，P的坐标为
(3)的最大值为
【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）将点和点代入求得a、b的值即可解答；
（2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即即可求解；
（3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。
【详解】（1）解：将点和点代入可得：
，解得：，
故抛物线的表达式为．
（2）解：存在，理由如下：
∵抛物线的表达式为，
∴当时，，即
∴，即为等腰直角三角形，
∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，
∴为等腰直角三角形，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线AC的表达式为∶，
∵，
∴该抛物线的对称轴为：，
当时，y= 2，即点，
∵，
故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；
当为直角时，则，即，解得：，
∴点．
（3）解：如图：连接，设点，
设直线的表达式为，
则有，解得：，
∴直线的表达式为，
∴点，即，
∴，
．
∴的最大值为．
16．(1)
(2)当点坐标为或或时，是等腰三角形
(3)
【分析】（1）用待定系数法将点的坐标代入中即可求解；
（2）设直线的解析式为，得直线的解析式为，设点的坐标为，其中，由题意得点，进而可得，，由，得；同理可得，；分三种情况：当时；当时；当时分别列方程求解即可求是等腰三角形时D的坐标；
（3）若与相似，可得，设， 得 ，’ 解方程即可求得．
【详解】（1）解：把点的坐标代入中，得，
解得，
此抛物线的解析式为；
（2）解：对于，取，得，
点的坐标为；
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
设点的坐标为，其中，
由题意得点，
，
又，
，
；
同理，，；
当时，，
解得，
经检验，舍去，只取；
当时，，
解得，符合题意；
当时，，
解得或，经检验，舍去，只取；
综上所述，当点坐标为或或时，是等腰三角形．
（3）解：点，点的坐标为，
，
若与相似，
可得，
，
设，
， ，
，
或（舍去），
时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，相似三角形的性质等，解题关键是在求等腰三角形的存在性质时注意分类讨论思想的运用，要把所有符合条件的点求全．
17．(1)
(2)①点的坐标为或；②的值为或5
【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式．
（2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可；②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
故，
则的坐标为，
把代入中
得，
解得：，
∴抛物线的解析式的为：．
（2）解：①∵，
令，则，解得：或3，
∴，
又∵，
∴，，，
又轴，
，
，
，
∵，
∴，，
，
当，即时，，
解得：（舍去）或，
故；
当，即时，，
解得：（舍去）或，
故，
综上，或．
②∵点，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
当点P在x轴下方时，如下图所示：
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为：或5．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
18．(1)；
(2)9，；
(3)，，，．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴于点R，轴，交于点Q，过点B作轴，交于点H，根据相似三角形的判定与性质，分别证明，，然后证明，即得，设，进一步求得，最后根据二次函数的性质求解即可；
（3）分两种情况讨论：平移后抛物线得对称轴右侧部分经过点F和左侧部分经过点F．通过构造全等三角形的方法及用勾股定理列方程得方法，可分别求得答案．
【详解】（1）解：把，代入，得，
解得，
二次函数的解析式；
（2）解：过点P作轴于点R，轴，交于点Q，过点B作轴，交于点H，
令，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
轴， 轴，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，，
当时，的最大值为9，
，
此时点的坐标为；
（3）解：分两种情况讨论：
①如图，当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点F时，平移的距离为线段的长，
相当于抛物线先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，
抛物线的对称轴为直线，
所以平移后抛物线的对称轴为直线，
设与平移后的对称轴交于点M，过点P作轴，与平移后的抛物线交于点S，过点M作交于点N，过点N作轴，与平移后的抛物线交于点T，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
连结，由（2）知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
把，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
由可得，
，
解得，
；
设，
，
，
，
，
解得，
；
②如图，当平移后抛物线对称轴左侧部分经过点F时，延长交抛物线于点D，则平移的距离为线段的长，
联立方程组，
解得，，
，
相当于抛物线先向右平移6个单位，再向上平移3个单位，
所以平移后抛物线的对称轴为直线，
根据①，同理可求得，；
综上所述，符合题意点的坐标是，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确画出图形平移后的图形及添加辅助线是解题的关键．
19．(1)；
(2)点的横坐标为或；
(3)直线过定点．
【分析】（1）先求出点坐标，再求出点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再代入点，解得，从而可得抛物线解析式；
（2）先求出抛物线与 轴交点，，直线的解析式为，直线的解析式为，接下来分两种情况讨论以、、为顶点的三角形与相似，即①和②，再分别求解即可；
（3）由，可设直线解析式为，直线解析式为，令直线与抛物线联立可得，由根与系数的关系可得，即，从而可得；同理可得，根据待定系数法可得直线的表达式，再构造一线三垂直模型，如图所示，则，，，，易证，由相似三角形性质推得，把代入中，即，故直线过定点．
【详解】（1）解：抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，
当，则，，
，则，，
设抛物线解析式为顶点式，
代入点，可得，
解得，
故该抛物线的解析式为；
（2）解：令，
可解得或，
即，，
由待定系数法可得直线的解析式为，直线的解析式为，
，
可能存在两种情况：
①，
，
，，，
，是等腰直角三角形，
可得，，
作轴于点，如图所示，
，进而可得，
则直线的解析式为，
联立与，整理得，
解得，
又为抛物线上第二象限内点，
；
②，
此时，
则直线的解析式为，
联立和，整理得，
解得（正值舍去），
则．
综上，点的横坐标为或．
（3）解：直线过定点，理由如下：
，设直线解析式为，
直线解析式为，
令直线与抛物线联立可得，
由根与系数的关系可得，即，
从而可得，
令直线与抛物线联立，同理可得，即，
从而可得，
根据待定系数法可得直线的表达式为，
过点作轴，于，于，
如图所示，
则，，
，，
，
，
，
，
，
，即，
整理可得，
把代入中，
即，
令，即，此时，
故直线过定点．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、根与系数的关系，解题关键是分类讨论及构造一线三等角模型帮助解题．
20．(1)
(2)①；②P为或
【分析】（1）把，点，点，代入二次函数中，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①设P点的横坐标为m，则，根据二次函数的最值即可求解；
②过点P，A分别作y轴的平行线与直线交于点M，N，可证，由，可得，设P点的横坐标为a，则，可计算出的代数式，即，解方程即可得出答案．
【详解】（1）
解：设，
把，点，点，代入二次函数中，
得，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）
解：①∵点，点，
设直线的解析式为，
将点，代入得；
解得：；
∴直线的解析式为，
设P点的横坐标为m，
则，
∴，
∴时，线段的最大值为；
②过点P，B分别作y轴的平行线与直线交于点M，N．如图：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的解析式为，
∴，
则，
∴，
设P点的横坐标为a，则，
得，
令，解得或，
故P为或．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的特征及二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的最值，相似三角形的应用．