2025年中考数学压轴题专练：几何猜想与证明（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：几何猜想与证明
1．在等边中，点D为线段上一动点，连接，F为直线上一动点．
(1)如图1，当点D为中点时，点F在线段上，连接．若，求的长；
(2)如图2，若点F为延长线上一点，且，点E为延长线上一点，且．猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（1）的条件下，G为线段上一点，连接，将线段绕点F逆时针旋转得到线段连接当的值最小时，的面积为 ．
2．已知为的外接圆，．
(1)如图1，延长至点B，使，连接．
①求证：为直角三角形；
②若的半径为4，，求的值；
(2)如图2，若，E为上的一点，且点D，E位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明．
3．综合与实践课上，老师给出定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”．同学们以此开展了探究活动：
【概念理解】
（1）如图1，在四边形中，，，判断四边形________“垂美四边形”（填“是”或“否”）；
【问题应用】
（2）如图2，四边形的对角线交于点O，．若，，，，则四边形的面积是________．
【性质探究】
（3）小明结合勾股定理的知识探究猜想：垂美四边形中，两组对边与这四条边具有一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并给出证明．
4．如图，已知，，，且点在线段上．
(1)求的长．
(2)求证：．
(3)猜想与的位置关系，并说明理由．
5．某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值；
(2)如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，且，求的值；
(3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：．
6．如图1，为圆O的直径，弦交于点G（不与O重合），C是的中点，分别过点A，B作的垂线，垂足为E，F，连结．
(1)求的度数；
(2)如图2，连结，猜想与的关系，并说明理由；
(3)如图3，连结交于点P，若，，求圆半径．
7．已知、是等腰直角三角形，，，．将绕顶点A旋转，将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，得到线段，连接，，．
【观察发现】（1）如图1，当点E在线段上时，猜想的形状_______．
【探究迁移】（2）如图2，当点E不在线段上时，（1）猜想的结论是否依然成立？请说明理由．
【拓展应用】（3）若线段，时，在绕点A旋转过程中．当垂直时，求的正切值．
8．四边形中，，，，分别是边，上的动点，且．
(1)如图1，当，分别在线段，上时，
①填空：若设，则之间的数量关系是______；
②猜想之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)如图2，当，分别运动到在线段，延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明．
9．如图，已知，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点恰好落在边上
(1)求证：平分；
(2)当时，其它条件不变，如图，连接，判断线段与线段的位置关系，并说明理由；
(3)如图，请连接，猜想与的数量关系，并说明理由；
(4)如图，当，，时，求的长.
10．综合与实践
数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．
(1)猜想证明
如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明．
(2)迁移探究
如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：．
(3)拓展应用
如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长．
11．在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．
(1)【猜想观察】如图①，若，交于点，则的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______；
(2)【类比探究】如图②，若，与，分别相交于点，，求的值及的度数；
(3)【解决问题】如图③，当时，若，，三点在同一直线上，且，交于点，，求的长．
12．【问题感知】
如图1，中，分别以、为边向上作等腰直角和等腰直角，使，，连接，可以通过全等三角形的知识证得；
【深入探究】
（1）如图2，中，分别以、为边向上作等腰和等腰，使，连接、，试猜想与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（2）如图3，在中，，以为直角边，点为直角顶点向上作等腰直角，连接，若，此时_____________；
（3）若将（2）中的“”改为，其他条件不变，那么当_____________时，的长可以取得最大值，此时_____________．
13．如图，在中，且，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，连接．
(1)如图1，当点D为边的中点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，连接，连接交于点F．若时，求的长；
(2)当点D为边上任意一点时（），将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，分别连接，，再将线段绕着点C顺时针方向旋转得到线段，连接．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，当点D为边上任意一点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，分别连接，．作点A关于直线的对称点，点M是边的中点，连接，若，当的长度最大时，直接写出的长度．
14．如图（1），菱形中，，点E为对角线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，使点E的对应点F落在直线上．
【猜想证明】
（1）问：与有怎样的数量关系？请结合图（1）加以证明．
【探索发现】
（2）当时，如图（2），延长交的延长线于点G，求证：．
【拓展延伸】
（3）当时，如图（3），延长到点P，使得，连接，若，直接写出的周长最小时线段的长．
15．如图，等边三角形，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交直线于点．
(1)如图1，若，，求的长度；
(2)如图2，当，，三点共线时，连接，点为中点，连接，过点作于点，请猜想，的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，连接，点在边上运动时，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，且，当以及均最小时，连接，若，直接写出当以及均最小时对应的面积．
16．综合与实践
问题情境：
如图（1），矩形纸片的对角线，相交于点，将纸片折叠，使点与点重合，折痕为．
猜想证明：
（1）请判断与的数量关系，并加以证明．
（2）如图（2），将矩形纸片展开，连接，取的中点，连接，将绕点逆时针旋转，角的两边分别与，的延长线交于点，，请判断与的数量关系，并加以证明．
解决问题：
（3）在（2）的条件下，当经过点时，如图（3），若，，请直接写出的长．
17．已知如图，点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O上，并在内部作射线．
(1)如图①，三角板的一边落在射线上，若，则的度数为________；
(2)如图②，将三角板放置到如图所示的位置，使恰好平分，且，求的度数；
(3)若仍将三角板按照图②所示的方式放置，仅满足平分，试猜想与之间的关系，并说明理由．
18．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，为的中点，绕点旋转，连接，．
(1)【观察猜想】在旋转过程中，与的数量关系为 ；
(2)【实践发现】如图，当点，在内且，，三点共线时，求证：；
(3)【解决问题】若中，，在旋转过程中，当且，，三点共线时，直接写出的长．
19．如图，在正方形中，对角线、交于点，点是直线上一点，连接，在左侧作等腰，使得．
(1)如图1，点在线段上，若，与相交于点，且，求的度数（用含的代数式表示）；
(2)如图2，点是线段延长线上一点，若，连接交的延长线于点，取的中点，连接、，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若，，，请直接写出的长度．
20．模型：如图①，在正方形中，若，则．
(1)【问题探究】如图②，在正方形中，点，，，分别在线段，，，上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．
(2)【知识迁移】如图③，在矩形中，，，点，，，分别在线段，，，上，且，则_______．
(3)【拓展应用】如图④，在四边形中，，，，点，分别在线段，上，且．求的值．
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《2025年中考数学压轴题专练：几何猜想与证明》参考答案
1．(1)
(2)；证明见解析
(3)
【分析】（1）过点D作于点G，则，由等边三角形的性质得出，，求出，由勾股定理可得出答案；
（2）在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）在截取，连接，证明，得出，，由（1）知，证出，点H在直线上运动，作点A关于直线的对称点T，连接交直线于H，此时的值最小，由等腰三角形的性质、直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：过点D作于点G，则，
∵为等边三角形，，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
（2）解：，理由如下：
在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：在截取，连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
点H在直线上运动，
作点A关于直线的对称点T，连接交直线于点K，连接交直线于H，
此时的值最小，
∵于K，，
∴，
过点A作于I，则四边形是矩形，
∴，
∴，即，
如图，过点D作于点，交的延长线于点，则，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．(1)①见解析；②
(2)，理由见解析
【分析】（1）①由题意得出，由等边对等角得出，，由三角形内角和定理求出即可得证；②连接，，设，则，由勾股定理求出，由①知：，，从而得出，由相似三角形得到，即可得解；
（2）延长交于点，连接，，由等腰直角三角形的性质得出，求出，由勾股定理得出．求出，再证明得出即可得解．
【详解】（1）证明：①，
，
，，
∵，
，
∴为直角三角形；
②连接，，如图，
，
∴，
且．
的半径为4，
．
设，则，
，，
∴．
解得：．
由①知：，，
∵，
，
∴，
∴
；
（2）解：，，三者之间的数量关系为：．
证明：延长交于点，连接，，如图，
，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．即．
，
，
．
在和中，
，
．
．
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
3．（1）是；（2）；（3），理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键．
（1）根据题意可证，得到，再证，得到，根据得到，由此即可求解；
（2）根据四边形的面积，代入计算即可求解；
（3）运用勾股定理得到，，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“垂美四边形”，
故答案为：是；
（2）解：∵四边形的面积，
，
故答案为：；
（3）解：，理由如下，
证明：在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，，
∴．
4．(1)；
(2)证明见解析；
(3)直线与直线垂直，理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解；
（）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证；
（）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点在线段上，
∴
∴，
∴；
（3）解：直线与直线垂直，理由：
如图，延长交于点，
∵，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴．
5．(1)1
(2)
(3)见解析
【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到；
（2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值．
（3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进而可求出，即．
【详解】（1）解：猜想，理由如下：
设与的交点为G，
∵四边形是正方形，，
，
，
，
，，
．
在和中
，
，
，
；
（2）解：∵四边形是矩形，
，
，
∴，
，
∴；
（3）解：如图，过点F作，
∴，
，
∴四边形是矩形,
，
又，
，
∴,
，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6．(1)
(2)，，理由见解析
(3)圆半径为9
【分析】对于（1），根据中点的定义得，可得，再结合可得答案；
对于（2），延长交于点H，先证明，可得，，再连结BD，可说明，进而得出，根据等腰三角形的性质得出答案；
对于（3），结合题意得，再说明，可得，然后设为x，则，作，即可得，根据相似三角形的性质得，可得，，，再根据平行线的性质得，代入数值可得出答案.
【详解】（1）解：∵为直径，C是的中点，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：，．
延长交于点H，
∵，，
∴，
∴．
又，，
∴，
∴，．
连结，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，．
（3）解：∵C是的中点，
∴．
∵，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴
设为，则．
过F作于点H，
∴
∵
∴，
∴，
∴，，
∴.
∵，
∴，
即，
解得或（舍去）．
所以，圆半径为9．
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等（相似）三角形是解题的关键．
7．（1）是等腰直角三形；（2）成立，见解析；（3）或．
【分析】（1）作于，证明四边形是矩形，由，，进而可得， ，即可得结论；
（2）①解法一：连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，证明，得，，进而可证明 ，作射线，交于，作于，证明，进而可证明结论．
解法二∶ 连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，作射线，交于，作于，证明∽，得．即，进而证明∽，即可得结论；
（3）分两种情况：①过F点作交延长线于H点，证明四边形是矩形，根据矩形性质及勾股定理求得，，进而可求，由三角函数的定义可得答案；②方法同①．
【详解】解：（1）作于，
，
，
，
由题意知∶ ，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
中，，，
，
，
，
等腰直角三形．
故答案为：等腰直角三形；
（2）①解法一
证明：连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，
，
，
，
，．
，
，，，
，，
，
，
作射线，交于，作于，
，
，
，
将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴等腰直角三角形．
②解法二∶ 连接、，延长、交于点G，延长交于点H，与交于，作射线，交于，作于，
，
，
，
将线段沿从A到C方向平移，使平移后的点A与顶点C重合，再将平移后的线段伸长到，然后绕点C逆时针方向旋转，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴∽，
∴．即，
，即，
∵，
∴∽，
∴，
∴即，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（3）①过F点作交延长线于H点，
四边形中，，
∴，
四边形是矩形，
，
∵，，
∴，
由（2）的结论，，，
∴中，，
中，，，
∴，，
∴，
∴中，．
②如图，于，
四边形中，，
∴，
四边形是矩形，
，，，
∵，，
∴，
由（2）的结论，，，
∴中， ，
．
综上所述，或．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，勾股定理及应用，相似三角形的性质及判定，解直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
8．(1)①．②猜想：．证明见解析
(2)（1）②中猜想不成立，．证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
（1）①根据四边形内角和是求解即可；
②利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可；
（2）在上截取，连接，利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【详解】（1）解：（1）①四边形中，，
∴
∵．
∴
∵，
∴.
故答案为：．
②猜想：．
证明：延长至点，使，连接．
．
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
．
（2）解：（1）②中猜想不成立，．
证明：如图，在上截取，
，
．
在和中，
，
．
．
，
．
．
．
在和中，
，
，
，
，
．
9．(1)见解析
(2)，见解析
(3)，见解析
(4)
【分析】（1）由旋转的性质可得：，，所以，求得，即可得证；
（2）由旋转的性质可得：，，，进而可得，由得，所以，即，即可求解；
（3）由旋转的性质得到：，，，进而可得，由三角形内角和定理得：，再结合，即可求解；
（4）由旋转的性质得到：，，，，进而得到，所以，由（3）可知，，求得，在中,求得，设，则，在中，，所以，解出的值即可．
【详解】（1）证明：由旋转得到，由旋转的性质可得：，，
，
，
平分；
（2）解：，理由：
由旋转的性质可得：，，，
，，
，
在中，，
，
，即，
；
（3）解：，理由：
由旋转得到，
，，，
，
在中：，
，
；
（4）解：由旋转得到
，，，，
，
，
由（3）可知，，
又，
在中，，则，
设，则，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
10．(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，如图所示，由矩形性质得到相关角度与边长，由三角形全等的判定得到即可得到答案；
（2）过点作交的延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定确定，再由三角形相似的判定得到，从而得证；
（3）由矩形的性质得到相关角度与边长关系，再由矩形性质与三角形相似的判定得到，再由相似比求出，过点作交于点，如图所示，先判定，再由相似三角形的判定与性质即可得到答案．
【详解】（1）解：，
证明如下：
过点作于点，过点作于点，如图所示：
则，
在正方形中，，
四边形，四边形是矩形，
∴，
设交于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：在矩形中，，，
∴，
平分，
∴，
∴，
∴，
当时，如图所示：
此时，点在上，，，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
过点作交于点，如图所示：
，，
，，
，
∴，，
，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似综合，涉及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线定义、直角三角形性质等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形及矩形性质、灵活运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质求解是解决问题的关键．
11．(1)1；
(2)；
(3)的长为1
【分析】（1）延长交于，根据证，即可得出，然后根据角相等得出即可；
（2）先证，根据线段比例关系得出的值，然后根据角的等量代换得出，即可，
（3）设，则，证，根据比例关系得出方程求解即可．
【详解】（1）解：延长交于，
，
，，
∴都是等边三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
在和中，且，
，
故答案为：，；
（2）解：线段绕点逆时针旋转得到线段，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
，
，
又，
即，
，
，
，
，，
；
（3）解：设，则，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
解得或（舍去），
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
12．（1），见解析；（2）；（3）135，
【分析】（1）由等腰三角形的性质解得，继而可证及，再由全等三角形对应边相等解答即可；
（2）过A作交于点，连接，先证明是等腰直角三角形，得到 ，，再证明，由全等三角形的性质得到，接着在等腰直角三角形中，由勾股定理解得，最后在中，由勾股定理即可解得的长；
（3）过A作，且，连接，则，，，证明得到，，由三角形的三边关系可得，当D、E、C共线时取等号，此时，利用三角形的外角性质可得，进而利用三角形的内角和定理得到当时，的长可以取得最大值，此时．
【详解】解：（1）．理由为：
∵和是等腰三角形，
，
，
即：，
在和中，
，
，
；
（2）如图（1）所示，过A作交于点，连接，
，
是等腰直角三角形，
，,，
又是等腰直角三角形，
，
，
即：，
在和中
，
，，
，
在中，由勾股定理得：．
在中，由勾股定理得：，
故答案为：；
（3）过A作，且，连接，，如图，
则，，，
是等腰直角三角形，
，
，
即：，
在和中
，
，，
∵，当D、E、C共线时取等号，
∴的最大值为；
此时，如图，
∵，
∴，
∴．
故当时，的长可以取得最大值，此时．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系、三角形的外角性质和三角形的内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
13．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角三角形性质得，，得 ，，由旋转和等腰三角形性质得， ，，可得，，得，∴，可得；
（2）由线段旋转得，， 由余角性质得，可得 ，得，∴，由线段旋转得到，证明点E、D、F共线，过点E作，交于点G，可得，，证明 ，得，根据，，可得 ，即得；
（3）当M，C，三点共线时，取得最大值，过点E作，交延长线于点H，连接，设交直线于点I，由轴对称知，， 得，根据，得,得，得，得， ，得，设，可得，解得，即得．
【详解】（1）解：∵在中，且，
∴，，
∵D为边的中点，
∴，，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
∵将线段绕着点C顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴,
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点E、D、F共线，
过点E作，交于点G，
则，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
∵点A关于直线的对称点为，
∴，
∵，
∴当M，C，三点共线时，取得最大值,
∵，
∴，
过点E作，交延长线于点H，连接，设交直线于点I，
由轴对称知，，
∵,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，
∵，
∴，
解得，
故．
【点睛】本题考查了等腰三角形和旋转．熟练掌握等腰三角形性质，等腰直角三角形判定和性质，旋转性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，含30度的直角三角形判定和性质，添加辅助线，是解题的关键．
14．（1），见解析；（2）见解析；（3）的周长最小时线段的长为12
【分析】（1）连接，证明，得到，，旋转，得到，等边对等角，等量代换得到，8字形得到，平行线的性质，得到，等量代换得到即可；
（2）易得四边形是正方形，连接，易得，等边对等角，等角的余角相等，推出，进而得到，作交于点H，得到，，即可得证；
（3） 在上截取，连接，证明，得到当的周长最小时，的周长最小，根据的周长为，得到当点N，E，C共线时，的周长最小，证明，得到，过点A作于点Q，利用三角函数求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：（1）．
证明：如图（1），连接，设交于点M．
四边形为菱形，
，，．
又，
，
，．
∵旋转，
，
，
，
．
又，
，
，
，
．
（2）证明：四边形是菱形，由（1）可知：，
四边形是正方形，
，．
如图（2），连接，同法（1）可得：，
．
又，，
，
．
作交于点H，则，，，
∵，
，
∵，，，
∴，
．
（3）如图（4），在上截取，连接．
，
，
．
又，
，
当的周长最小时，的周长也最小．
同（1）可知：，
的周长为，
当点N，E，C共线时，的周长最小，如图（5）．
，
，
，
．
过点A作于点Q，则，，
，
，
．
【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，相似三角形和特殊图形，是解题的关键．
15．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，分别解，，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可；
（2）连接，延长至点使得，连接，证明，旋转，结合等边对等角，求出，三线和一得到为中垂线，进而得到，证明，得到，为含30度角的直角三角形，进而求出，线段的和差关系求出；
（3）延长至点，使，证明，从而推出，得到点在直线上运动，垂线段最短，得到时最短，得到此时三点共线，结合（2）中结论得到，将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到当，，三点共线时，有最小值，求出的长，进而确定的位置，利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：过点作于点
∵旋转，
∴
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
中，，，
∴，
∴，，
∴，
；
（2）连接，延长至点使得，连接，
∵点为中点，
∴，
∵，
，
∴，
∵旋转，
∴，，
，，三点共线，
∴，
∴，
∵，
，，
为中垂线，
，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
，
∴；
；
（3）延长至点，使，则：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
∴当时，最小，
此时，
∴，
∴当最小时，点，，三点共线，
由（2）可知，此时为中点，，，
如图，将绕点旋转，得到，连接，则：，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当，，三点共线时，有最小值，
过点作，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图当以及均最小时，，位置如图，则：，
过点，则：，，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，确定动点的位置，是解题的关键．
16．（1），证明见解析
（2），证明见解析
（3）
【分析】本题主要考查折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）由折叠的性质得到，有矩形的性质证明，得到，根据平行的性质证明，即可得到结论；
（2）由旋转可得，证明，即可得到结论；
（3）连接，根据题意证明，，由相似三角形的性质得到比例关系即可求出答案．
【详解】（1）．
证明：由折叠可得，
．
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
；
（2）；
证明：由旋转可得，
，
即．
由（1）得，
．
在中，是的中点，
，
．
易得，
，
，
，即．
又，
，
，
；
（3）．
，，，
，
．
，，
．
又，
，
，即，
，，
，
如图，连接，
是的中点，是的中点，
，，
，
，即，
，
．
17．(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握定义，理清各个角之间的关系是解题的关键．
（1）根据和即可得出答案；；
（2）根据，恰好平分，得出，根据，得出，求出，即可得出答案；
（3）令，则，根据，恰好平分，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（2）解：（1）∵，恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：．理由：
令，
则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
18．(1)；
(2)见解析；
(3)的长为或．
【分析】（）连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解；
（）由（）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解；
（）点三点共线，分类讨论，推理即可求解；
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：，理由如下如图所示，连接，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
故答案为: ；
（2）证明：如图所示，连接，
由（）可知，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，三点共线，
由（）可知，，
由（）可知，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴（不符合题意）；
如图所示，由（）可知，，，，
∴
∴是直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴；
如图所示，连接，
根据（）中的证明可知，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
综上所述，的长为或．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形得到，则，可得为等边三角形，则，由即可求解；
（2）过点F作交延长线于点M，先证明，再证明，则，由三角形中位线定理得到，由勾股定理得，则，即可证明；
（3）当点E在点B上方时，在延长线上取点H，连接，使得，延长，在延长线上取点G，使得，连接，过点F作于点J，证明，则，，设，则，，而，则，则，，在中，由勾股定理得：，则，整理得：，即可求解；当点E在点B下方时，构造上述辅助线，同理设，则，，，在中，由勾股定理得∴，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点F作交延长线于点M，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴点P是中点，
∵的中点，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点E在点B上方时，如图：
在延长线上取点H，连接，使得，延长，在延长线上取点G，使得，连接，过点F作于点J，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴
整理得：，
，
，
∴
∴（舍），，
∴；
当点E在点B下方时，构造上述辅助线，如图：
同理设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴
解得：，（舍），
∴，
综上，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，角直角三角形的性质，难度较大，对计算能力要求很高，正确构造全等三角形是解题的关键．
20．(1)1，见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点A作交于点M，作交的延长线于点N，在正方形中，，证明，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）过点A作交于点M，作交的延长线于点N，利用在长方形中，，证明，再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
（3）如图3中，过点C作于点M．设交于点O，证明，推出，可得结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
证明：如图，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，

∴，
在矩形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图，过点C作于点M，设交于点O，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．