2025年中考数学压轴题专练：旋转综合题（面积问题）（含解析）

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2025年中考数学压轴题专练：旋转综合题（面积问题）
1．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．
2．已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且．
(1)如图1，当时，求证：四边形是正方形；
(2)如图2，将射线绕着点O进行旋转．
①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明；
②四边形的面积为 ；
(3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积．
3．如图1，在等腰中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点．
(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值．
4．在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段．
(1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度；
(2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积．
5．【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小；
【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积；
【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长.
6．在和中，，，，若，．
(1)如图1，当点在线段上时，连接，求；
(2)如图2．将图1中绕着点旋转，使点在的内部，连接，．线段，相交于点，且，此时_______；
(3)如图3，在绕着点旋转过程中，当点落在线段上时，过点作交直线于点，直接写出的面积．
7．综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在中，，，D，E分别为，边上一点，连接，且，将绕点A在平面内旋转．
(1)观察猜想
若，将绕点A旋转到如图2所示的位置，则与的数量关系为　　；
(2)类比探究
若，将绕点A旋转到如图3所示的位置，，相交于点O，猜想，满足的位置关系，并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（2）的条件下，连结，分别取，，的中点M，P，N，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值．
8．如图1，中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点，的对应点分别为点，，且，，三点在同一直线上．

(1)填空：　　　　；（用含α的代数式表示）
(2)如图2，若，请补全图形，再过点作于点，然后探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，若，，求四边形面积的最大值．
9．如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．

(1)当点E落在上时，则线段的长度等于 ；
(2)如图2，当点E落在上时，求的面积；
(3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由；
(4)在旋转过程中，请直接写出的最大值．
10．已知和都是等腰三角形，．

(1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：．
(2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由．
11．如图，将不是矩形的绕点A旋转得到．
(1)当点落在边上，且与边相交于点E时，
①点D____上(填“在”或“不在”)；
②如果点、E分别为边、的中点，求的值；
(2)当点落在对角线上，且经过边的中点M时，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
12．如图1，中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中是点A的对应点，且，连接，．

(1)求证：；
(2)如图2，当点在线段上时，求的面积；
(3)直线与直线交于点D，点E是边的中点，连接，在旋转过程中，求的最大值．
13．在 中，，是斜边的中点，把一三角尺的直角顶点放在点处，以为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与的两直角边分别交于点，．
(1)求证：；
(2)在旋转三角尺的过程中，四边形的面积大小是否有变化？若没有变化，请求出四边形的面积；若有变化，请说明理由；
(3)连接，在旋转三角尺的过程中，周长的最小值是 ．
14．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是 ，∠MNP的大小为 ；
(2)探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：当∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，AD＝AE＝6时，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请求出△MNP面积的最大值．
15．如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得．
(1)求证：；
(2)连接，求证：；
(3)若，，则______，四边形的面积＝______．
16．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值______．
17．如图，在△ABC中，AB＝，∠A＝45°，AC＝，过点C作直线平行AB，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△（点B，C的对应点分别为，），射线，分别交直线于点P、Q．
(1)如图1，求BC的长；
(2)如图2，当点C为PQ中点时，求tan∠APQ；
(3)如图3，当点P，Q分别在线段，上时，试探究四边形的面积是否存在最大值．若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
18．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”．
(1)如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由；
(2)如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由；
(3)如图4，在等边△ABC中，D是△ABC内部一点，且，，，直接写出△ABC的面积．
19．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝a，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E．
(1)如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则∠CDE=　 （用含a的代数式表示）；
(2)如图2，若A，D，E三点在同一直线上，a=60°，过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)图3中，若CA＝2，CD＝2，将△DCE绕点C旋转，当 时，△CAD的面积最大，最大面积是 ．
20．问题提出
(1)如图1，在中，，，则面积的最大值是______；
(2)问题探究
如图2，在中，，，．点P是边BC上一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，过点E作交BC于点H，求PH的长．
(3)问题解决
如图3，在中，，，P为边AC上一动点（C点除外）．将线段BP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接CE，则的面积是否存在最大值？若存在请求出面积的最大值，若不存在请说明理由．
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《2025年中考数学压轴题专练：旋转综合题（面积问题）》参考答案
1．(1)，
(2)是等腰直角三角形
(3)
【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，；
（2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立；
（3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接，
∵，
∴当点三点共线时，最大，
如图：
最大时，的面积最大，
最大，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
∵点M为中点，
，
在中，，同上可求，
，
同上可得：，
∴，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)①，证明见解析；②
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质证明四边形是矩形，再得，即可解决问题；
（2）①证明，可得即可；
②先根据正方形的性质得，则，，所以，由得，则，即可证明，于是得，根据四边形的面积的面积正方形的面积，即可解决问题；
（3）延长至点G，使，连接，证明，可得，，所以为等腰直角三角形，所以四边形的面积等腰直角三角形的面积，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：①，
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积的面积，
∴四边形的面积的面积正方形的面积；
（3）解：如图，延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴四边形的面积等腰直角三角形的面积．
【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，根据正方形性质求出三角形全等的条件是解题的关键．
3．(1)；
(2)是等腰直角三角形，见解析
(3)
【分析】（1）由题可知、均是中位线，由，根据，，，得到，继而得到，结合平行线的性质，得到即可．
（2）先证，转化成（1）证明即可.
（3）由（2）可得，要使面积的最大，只需有最大值，则只需有最大值，根据点A是定点，是定长，判定点D在以A圆心，以4为半径的圆上，根据直径是最大的弦，确定点B，A，D三点共线时，有最大值，且为14，计算的最大值即可.
【详解】（1）∵点M、P、N分别为、、的中点，
∴、均是中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，,
故答案：；．
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点M、P、N分别为、、的中点，
∴、均是中位线，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴
∴，,
故是等腰直角三角形．
（3）由（2）可得，要使面积的最大，只需有最大值，则只需有最大值，
∵点A是定点，是定长，，
∴点D在以A圆心，以4为半径的圆上，
∵直径是最大的弦，
∴点B，A，D三点共线时，且B，D在点A的两侧时，有最大值，且为14，
∴，
∴的最大值为49.
∴面积的最大值为.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，构造辅助圆求最值，熟练掌握中位线定理，构造辅助圆是解题的关键.
4．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质与判定，得到，，在中，应用勾股定理，求出的长，根据平行四边形的性质得到的长，根据等腰直角三角形的性质与判定，即可求解，
（2）连接，，根据全等三角形的性质与判定得到，，，结合旋转的性质得到，，根据平行四边形的判定得到，，根据平行四边形的性质得到的长度，即可求解，
（3）将绕点顺时针旋转，得到，由旋转的性质可得，根据两点之间线段最短，得到，当在线段上时取得最小值，作， 根据等腰直角三角形的判定与性质，得到，在中，应用勾股定理得到，，，，由，得到，
在中，得到，在中，得到，，根据，即可求解，
本题考查了，平行四边形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过旋转得到．
【详解】（1）解：过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由旋转的性质可得：，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：，
（2）解：连接，，
∵，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
（3）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∴，当在线段上时取得最小值，
延长与延长线交于点，过点作于点，连接，
由旋转的性质可得，，，
∵，
∴，，
∴，
在中，，，，
∵，即：，解得：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将绕B点逆时针旋转得到，连接，则为等边三角形，.再由 得到，用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，从而得到；
（2）将绕点逆时针旋转得到，得到，证明得到；
（3）证明是等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则为等腰直角三角形，，再计算得，用勾股定理得到，从而利用全等三角形的性质得到.
【详解】解：（1）如图，将绕B点逆时针旋转得到，连接，则
，，
∴为等边三角形.
∴，
又∵
∴
∴ 是直角三角形，，
（2）由正方形的性质得：，，
如图，将绕点逆时针旋转得到，
，，
∴，
，
∵，，，
（3）∵，，
∴是等腰直角三角形，，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接.
则，，，
为等腰直角三角形.
，
又
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理等知识，利用旋转作出正确作出辅助线是解题的关键.
6．(1)
(2)
(3)的面积为或
【分析】（1）过点B作，交的延长线于点F，求出,，即可求出的值；
（2）过点D作于点H，过点A作于点G，连结，先证明，得到，进一步推得，然后证明，得到，可知点D在上，由此即可得到答案；
（3）当点E在左上方时，过点C作于点M，过点E作于点N，延长交于点T，设交于点，利用和逐步求出，，，求得，的值，最后再利用相似三角形的性质即可求得答案．
【详解】（1）如图1，过点B作，交的延长线于点F，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
在中，；
（2）如图2，过点D作于点H，过点A作于点G，连结，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
点D在上，
，
，
故答案为：．
（3）当点E在右下方时（如图3），
过点C作于点M，过点E作于点N，延长交于点T，设交于点，
，， ，
，
，， ，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得；
当点E在右下方时（如图4），
同理可求得，，，，
；
综上所述，的面积为或．

【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了图形的旋转，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的定义等知识，构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．
7．(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）由旋转性质和“”可证，即可求解；
（2）由旋转性质和“”可证，可得，由外角的性质可得结论；
（3）先证明是等腰直角三角形，可得，则当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即可求面积最大值．
【详解】（1）解：如图1，，
，
，
，
，
，
，
由旋转得:
,
,
在和中
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
理由如下：如图，设与的交点为点P，
绕点A旋转到如图3所示的位置，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的外角，也是的外角，
，
，
；
（3）解： M，P，N分别是，，的中点，
，，
，，
，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
∴当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即面积有最大值，
的最大值为，
面积的最大值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，三角形的外角性质，掌握“手拉手”型的旋转模型、线段和最值问题的解法，灵活运性质解决问题是解题的关键．
8．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，即可求解；
（2）由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解；
（3）如图3中，过点作交的延长线于，设交于．由旋转的性质可得，因为，得出，则点在以为直径的圆上运动，即图中上运动，当，四边形的面积最大，此时，又因为，，得出，因为，则，因为，得出，可得，设，求出，在中，，则，所以，则，求出四边形最大面积．
【详解】（1）解：将绕点按逆时针方向旋转角得到，
，，
，
，
故答案为：；
（2）；
理由如下：如图，
将绕点按逆时针方向旋转角得到，
，
，，，
是等边三角形，且，
，
，
，
，，之间的数量关系为；
（3）如图3中，过点作交的延长线于，设交于．
绕点按逆时针方向旋转 得到，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动，即图中上运动，
当，四边形的面积最大，此时，
，，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
，
四边形最大面积．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，方程思想．
9．(1)2
(2)
(3)，理由见解析
(4)的最大为12
【分析】（1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可；
（2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积；
（3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出；
（4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，， ，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值．
【详解】（1）解：当落在上时，如图所示：

∵四边形是矩形，
∴每个内角都等于，
∵，由勾股定理得：
，
由旋转的性质可知：，
∴，
故答案为：2；
（2）解：当点E落在上时，过点B作于点M，

在中，由勾股定理得：
,
∵是直角三角形，，
∴,
∴，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P，

由旋转的性质知：，，
∴在等腰和等腰中得到：，，
∴，
∵，
∴，
即；
（4）解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，

∴， ，
∵
∴，
∴当最大时，最大，
在旋转过程中，，
∴，
∴当点三点共线时，，此时最大，
∴的最大值为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算，属于中考压轴题，难度较大，在旋转的过程中，找到变化的量和不变的量，通过分析得出三点共线时．最大是解题的突破口．
10．(1)见解析
(2)，见解析
(3)存在，7
【分析】（1）证明 ，即可得出结论；
（2）由等腰直角三角形的性质得 ，则 ，同 （1） 得 ，则 ， 然后由等腰直角三角形的性质得 ，即可解决问题；
（3）根据旋转的过程中 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中， 的边 始终保持不变，即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵，
即 ，
在 和 中，
（2），理由如下：
∵ 是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同 （1）得： (SAS)，
∴，
∴，
∵ 是等腰直角三角形， 为 中 边上的高，
∴，
∵，
∴；
（3） 与 的面积和存在最大值为7，理由如下：
如图（4）

由旋转可知，在旋转的过程中 的面积始终保持不变 ，
∵ 与 面积的和达到最大，
∴ 面积最大，
∵在旋转的过程中， 始终保持不变， ，
∴ 面积最大时， 点 到 的距离最大，
∴，
∴ 与 面积的和达到的最大值为：
【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性 质以及三角形面积等知识，本题综合性强， 熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型
11．(1)①在；②
(2)
【分析】（1）①先证明，得出，再结合旋转的性质和平行四边形的性质，得出，从而得到D在上；
②设，，，则，利用求出，继而求出，再利用得到即，再消去m得到，从而得到或，检验发现不合题意，取，即；
（2）依然设，，则，作于E，于F，证明得到，从而得到，再证明得到，从而得到，利用，即即得到，至此得解．
【详解】（1）解：①在，理由如下：
旋转的性质可知：，，，
∴，
∴
∴
又∵四边形是平行四边形，
∴
又∵绕点A旋转得到，
∴
∴点D在上，
故答案是：在；
②设，，，则，

∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵点、E分别为边、的中点，
∴，
旋转的性质可知：，，，，
∴，
∴
∴，即，
∴
又∵绕点A旋转得到，
∴，，，
∴．
∵，，
∴
∴，即
由得：
由得：，
∴，
∴即
∴，
∴整理得：，即
∴或
∴或
当时，如下图所示，

则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵
∴，
∴(不合题意，舍去)
∴，即
（2）依然设，，则，
根据题意画出图形如下：作于E，于F，
∵经过边的中点M，
∴，
由旋转可知：，
又∵
∴
∵，
∴
∴，即
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
由，即得：，即，
∴求y关于x的函数关系式为， x的取值范围为．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
(3)4
【分析】（1）通过证明，可得结论；
（2）先求出的面积，由相似三角形的性质可求解；
（3）先确定点D在以为直径的圆上运动，由三角形中位线定理可求的长，即可求解．
【详解】（1）∵在，，，，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，过点B作于H，

∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图3，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D在以为直径的圆上运动，
设的中点为P，
当点P在线段上时，有最大值，
∵，
∴，
∴，
∴DE的最大值为4．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．(1)证明见解析；
(2)四边形的面积没有变化，为1；
(3)
【分析】（1）过点作于点，作于点，可得四边形是矩形，再证得．可得四边形是正方形，从而得到，即可；
（2）根据，可得，从而得到 ，即可求解；
（3）由（1）得：，从而得到，进而得到，可得到当最小时，的周长最小，为，然后取的中点G连接，，再根据直角三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，作于点，
．
，
四边形是矩形．
∴， ，，
∴，
，
．
四边形是正方形．
，
．
．
．
（2）解：四边形 的面积没有变化．
由（1）可知 ，
，



四边形是正方形，且，
，
即四边形的面积没有变化，为1；
（3）解：由（1）得：，
∴，
∴，
∴当最小时，的周长最小，为，
如图，取的中点G连接，，
∵，
∴，
∴，
∵是斜边的中点，
∴，
∴在旋转三角尺的过程中，周长的最小值是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，正方形的判定和性质，直角三角形的性质，根据题意证得是解题的关键．
14．(1)MN＝NP，∠MNP＝60°；
(2)△MNP是等边三角形，理由见解析；
(3)△MNP面积的最大值是32．
【分析】（1）根据AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再根据三角形中位线定理可知MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，利用平行线的性质可证得∠MNP＝60°；
（2）先通过SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再由（1）同理可证；
（3）由三角形三边关系可知：BD≤8，由题意证得△MNP是等腰直角三角形，MN＝BD，则MN最大值为8，即可求得△MNP的最大面积．
【详解】（1）解：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，
∴∠MNE＋∠ENP＝∠ABE＋∠AEB，
∵∠ABE＋∠AEB＝180° ∠BAE＝60°，
∴∠MNP＝60°，
故答案为：MN＝NP，∠MNP＝60°．
（2）△MNP是等边三角形，理由如下：
由旋转得：∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP＋∠NPB＝∠NBP＋∠ECB，
∵∠EBD＝∠ABD＋∠ABE＝∠ACE＋∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE＋∠ENP＝∠ACE＋∠ABE＋∠EBC＋∠EBC ∠ECB＝180° ∠BAC＝60°，
∴△MNP是等边三角形；
（3）由旋转得：∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MP＝EC，PN＝BD，MP∥EC，PN∥BD，
∴MP＝PN，∠ACE＝∠ABD，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC，
∴∠MPD＝∠ECA＋∠ACD＝∠ABD＋∠ACD，
∠DPN＝∠PCB＋∠PNC＝∠PCB＋∠DBC，
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ABD＋∠ACD＋∠PCB＋∠DBC＝∠ABC＋∠ACB＝180° ∠BAC＝90°，
∴△MPN是等腰直角三角形，
由三角形三边关系可知：BD≤AB＋AD，
即BD≤16，
PM＝，
∴PM＝8时，S△MNP最大，
∴S△MNP最大为：×8×8＝32．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质求∠MNP的度数是解题的关键．
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)；
【分析】（1）由旋转的性质得，从而得到，即可证明结论；
（2）由旋转的性质得，，则，再利用即可证明；
（3）如图，过点作于，由（1）得，，在中，由勾股定理得，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再利用可得出答案．
【详解】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转得，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵将绕点顺时针旋转得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（3）解：如图，过点作于，
∵将绕点顺时针旋转得，，，
∴，
由（1）得，，
在中，，
由（2）得，，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积：
．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质等知识．证明是解题的关键．
16．(1)，
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)8
【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出、PN∥BD得出、∠DPN=∠ADC，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【详解】（1）解：点N，分别是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．理由如下：
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上时，BD最大，
，
，
故答案为：8
【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．
17．(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于D，则可得CD=AD，在Rt△ADC中，由勾股定理，得2AD2=AC2=，即可求得AD=CD=2，则BD=AB-AD=3-2=，在Rt△BDC中，由勾股定理，即可求得BC长；
（2）延长AC至E，使CE=AC，连接PE，过点A作AF⊥l于F，证△ACQ≌△ECP（SAS），得∠E=∠CAQ，从而证得∠BAP=∠CAQ，继而证△APC∽△AEP，得，即可求出AP=4，又因为AF=CD=2，在Rt△AFP中，由勾股定理，求得PF=6，即可由tan∠APQ=求解；
（3）过点P作PH⊥AQ于H，S四边形PQC′B′=S△AB′C′－S△APQ=－=，当AP·AQ取最小值时，取最大值，当AP=AQ时，S四边形PQC′B′的面积取最大值，最大值为：，此时∠APQ=∠AQP=67.5°，旋转角∠BAP=∠CAQ=67.5°，则CQ=AC=，过A作AT⊥CQ于T，则AT=，由勾股定理得：CT=，所以TQ=CQ-CT=-由勾股定理得：AQ2=AT2+TQ2==，即可求出S四边形PQC′B′的最大值．
【详解】（1）解：如图1，过点C作CD⊥AB于D，
∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=45°，
∴∠ACD=45°，
∴AD=CD，
在Rt△ADC中，由勾股定理，得
2AD2=AC2=，
∴AD=CD=2，
∴BD=AB-AD=3-2=，
在Rt△BDC中，由勾股定理，得
BC=；
（2）解：如图2，延长AC至E，使CE=AC，连接PE，过点A作AF⊥l于F，
当点C为PQ中点时，则PC=CQ，
在△ACQ和△ECP中，
，
∴△ACQ≌△ECP（SAS），
∴∠E=∠CAQ，
∵∠PAC+∠CAQ=∠PAQ=45°，∠BAP+∠PAC=∠BAC=45°，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵lAB，
∴∠APC=∠E，
∵∠PAC=∠EAP，
∴△APC∽△AEP，
∴，
∵AC=2，AE=2AC=2×2=4，
∴AP2=ACAE==48，
∴AP=4，
由（1）知，CD=2，CD⊥AB，
∵ABCF，AF⊥CF，
∴四边形ADCF是矩形，
∴AF=CD=2，
在Rt△AFP中，由勾股定理，得PF==6，
∴tan∠APQ=；
（3）解：如图所示，过点P作PH⊥AQ于H，
∴S四边形PQC’B’=S△AB’C’－S△APQ
=－
=
=，
当AP·AQ取最小值时，取最大值．
设a、b是两个正数，则：
即
ab≥，
当且仅当a=b时取等号，此时ab取最小值．
∴S四边形PQC′B′=，
当AP=AQ时，S四边形PQC′B′的面积取最大值，最大值为：，
此时∠APQ=∠AQP=67.5°，旋转角∠BAP=∠CAQ=67.5°，
则CQ=AC=，
过A作AT⊥CQ于T，则AT=，
由勾股定理得：CT=，
∴TQ=CQ-CT=-，
由勾股定理得：AQ2=AT2+TQ2==，
S四边形PQC′B′的面积最大值为：==．
【点睛】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，三角函数的定义，熟练掌握相关性质和正确作辅助线，转换所求问题是解题的关键．
18．(1)全等；理由见解析
(2)；
(3)
【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，得∠BAD＝∠CAE，利用SAS可证结论；
（2）由（1）同理可证△ABE≌△ACD（SAS），得DC＝BE，∠ABE＝∠ACD，从而得BE⊥CD；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，可证DE2＋CE2＝CD2，则∠CED＝90°，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F，得CF＝CE＝2，EF＝，在Rt△ACF中，运用勾股定理求出AC的长，从而求出等边△ABC的面积．
【详解】（1）解：全等，理由如下：
∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠BAC ∠DAC，∠CAE＝∠EAD ∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：DC⊥BE，DC＝BE，理由如下：
∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∵∠BAE＝∠BAC＋∠EAC，∠CAD＝∠EAD+∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE＋∠EBC＋∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠EBC＋∠ACB＝90°，
∴∠EAC＋∠DCB＝90°，
∴DC⊥BE；
（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，如图所示：
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，CE＝BD＝4，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠AED＝60°，
∵，，
∴，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝60°+90°=150°，
过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F，
∴CF＝CE＝2，EF＝，
∴，
在Rt△ACF中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是运用旋转将分散条件集中到一个三角形中进行求解．
19．(1)
(2)AE=BE+CF；证明见解析
(3)CD⊥AC；2
【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=α，即可求解；
（2）由旋转的性质可得AD=BE，CD=CE，∠DCE=60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF=EF=CF，即可求解；
（3）过点D作DF⊥AC于点F，当DF取得最大值时，△CAD面积最大，当CD=DF=2时可得出答案．
【详解】（1）解：如图1中，
∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，
∴△ACD≌△BCE，∠DCE=α，
∴CD=CE，
∴∠CDE=．
故答案为：．
（2）解：如图2中，
∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE，
∴DF=EF=CF，
∵AE=AD+DF+EF，
∴AE=BE+CF．
（3）解：如图，过点D作DF⊥AC于点F，
∵S△ACD=AC DF=DF，
∴当DF取得最大值时，△CAD面积最大，
又∵在△CFD中，DF＜CD，
∴只有当CD旋转到与AC垂直时，FD才能取得最大值，即FD=CD=2，
∴△CAD的面积最大，最大面积是2，
故答案为：CD⊥AC；2．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．(1)
(2)
(3)存在，最大值为8
【分析】（1）设AC=x，则AB=6-x，表示出△ABC的面积，然后利用二次函数的性质求最大值；
（2）作AG⊥BC于G，利用AAS证明△APG≌△PEH，得PH=AG，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AG的长即可；
（3）结合（1）（2）的方法，过点E作EG⊥CA，交CA延长线于G，BH⊥CA，交CA延长线于H，作AD⊥BC于D，首先利用等积法求出BH的长，设CP=x，则AP=6-x，表示出面积，利用二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）解：设，则，
，
当时，最大为，
故答案为：；
（2）作于，
将线段绕点顺时针旋转90度，得线段，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）的面积存在最大值，理由如下：
过点作，交延长线于，，交延长线于，作于，
由（2）同理知，，
，
，，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
在中，，
设，则，
，
的面积为，
当时，的面积最大值为8．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键．